8. 以下推导过程中竟然推出了 $ 0 ＞ 2 $ 的错误结果,请你指出问题究竟出在哪里.
已知：$ m ＞ n $.
两边都乘 $ 2 $,得 $ 2m ＞ 2n $.
两边都减去 $ 2m $,得 $ 0 ＞ 2n - 2m $.
两边都除以 $ n - m $,得 $ 0 ＞ 2 $.

已知 $m＞n$，当两边都减去 $2m$ 得到 $0＞2n - 2m$ 时，$2n - 2m=2(n - m)$，因为 $m ＞ n$，所以 $n - m＜0$。
当两边都除以 $n - m$ 时，不等式两边同时除以一个负数，不等式符号应该改变，而原推导没有改变不等式符号。
所以错误出现在“两边都除以 $n - m$”这一步，没有考虑 $n - m$ 的正负性，未根据不等式性质改变不等式方向。

9. 【阅读感悟】代数证明题是数学中常见的一种题型,它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性.
(1) 解决“已知实数 $ x $,$ y $ 满足 $ x ＞ y ＞ 0 $,证明：$ x^{2} - y^{2} ＞ 0 $”这一问题可用两种方法证明,请将下面的证明过程填写完整.
证法 1：$ \because x^{2} - y^{2} = (x + y) \cdot $(),且 $ x ＞ y ＞ 0 $,
$ \therefore x + y $$ 0 $,$ x - y $______$ 0 $(在横线上填上适当的不等符号),
$ \therefore x^{2} - y^{2} ＞ 0 $.
证法 2：$ \because x ＞ y $ 且 $ x $,$ y $ 均为正,
$ \therefore x^{2} ＞ $,$ xy ＞ $______(不等式的两边都乘以同一个正数,不等号的方向不变),
$ \therefore x^{2} ＞ y^{2} $(不等式的传递性),
$ \therefore x^{2} - y^{2} ＞ 0 $.
(2) 请你尝试证明：若 $ a ＜ b $,则 $ \frac{a + b}{2} ＜ b $.

(1) 证法1：$x - y$；$＞$；$＞$
证法2：$xy$；$y^{2}$
(2) 证明：$\because a ＜ b$，
$\therefore a + b ＜ b + b$（不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变），
即$a + b ＜ 2b$，
$\therefore \frac{a + b}{2} ＜ b$（不等式的两边都除以同一个正数，不等号的方向不变）。

10. 同学们已经学习了用作差法比较大小,请根据你学过的知识解答下列问题.
(1) 已知 $ a ＞ 0 $,$ b ＞ 0 $,比较 $ \frac{x^{2}}{a} + \frac{y^{2}}{b} $ 与 $ \frac{(x + y)^{2}}{a + b} $ 的大小.
(2) 已知 $ a ＞ 0 $,$ b ＞ 0 $,则 $ \frac{x^{2}}{a} + \frac{y^{2}}{b} $ 与 $ \frac{(x + y)^{2}}{a + b} $ 能否相等？若能相等,注明相等的条件.
★(3) 根据第(1)(2)小题中的结论,求 $ 4x^{2} + \frac{(1 - x)^{2}}{2} $ 的最小值,并指出代数式取最小值时 $ x $ 的值.

(1) $ \frac{x^2}{a} + \frac{y^2}{b} \geq \frac{(x + y)^2}{a + b} $；(2) 能相等，条件是 $ bx = ay $；(3) 最小值为 $ \frac{4}{9} $，$ x = \frac{1}{9} $。

(1) 设 $ A = \frac{x^2}{a} + \frac{y^2}{b} $，$ B = \frac{(x + y)^2}{a + b} $，则
$ A - B = \frac{x^2}{a} + \frac{y^2}{b} - \frac{(x + y)^2}{a + b} $
通分后分子为：
$ b x^2(a + b) + a y^2(a + b) - ab(x + y)^2 $
展开并化简分子：
$ = abx^2 + b^2x^2 + a^2y^2 + aby^2 - abx^2 - 2abxy - aby^2 $
$ = b^2x^2 + a^2y^2 - 2abxy = (bx - ay)^2 \geq 0 $
分母 $ ab(a + b) ＞ 0 $，故 $ A - B \geq 0 $，即 $ \frac{x^2}{a} + \frac{y^2}{b} \geq \frac{(x + y)^2}{a + b} $。
(2) 能相等，当且仅当 $ (bx - ay)^2 = 0 $，即 $ bx = ay $ 时取等号。
(3) 将 $ 4x^2 + \frac{(1 - x)^2}{2} $ 化为 $ \frac{x^2}{\frac{1}{4}} + \frac{(1 - x)^2}{2} $，令 $ a = \frac{1}{4} $，$ b = 2 $，$ y = 1 - x $。
由(1)知 $ \frac{x^2}{\frac{1}{4}} + \frac{(1 - x)^2}{2} \geq \frac{(x + (1 - x))^2}{\frac{1}{4} + 2} = \frac{1}{\frac{9}{4}} = \frac{4}{9} $。
等号成立条件：$ \frac{x}{\frac{1}{4}} = \frac{1 - x}{2} $，解得 $ x = \frac{1}{9} $。
故最小值为 $ \frac{4}{9} $，此时 $ x = \frac{1}{9} $。