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1. 如图4-4-10,在平面直角坐标系中,点$ A $,点$ B 的坐标分别为(1,4)$,$(4,4)$。若直线$ y = kx + 2 - 3k 与线段 AB $相交,则$ k $的取值范围是
$k\leqslant -1$或$k\geqslant 2$
。答案
$k\leqslant -1$或$k\geqslant 2$
解析
解：线段AB上点的纵坐标为4，将$y=4$代入$y=kx + 2 - 3k$，得$4=kx + 2 - 3k$，解得$x=\frac{3k + 2}{k}(k\neq0)$。
点A(1,4)，点B(4,4)，线段AB上点的横坐标$x$满足$1\leqslant x\leqslant4$。
当$k＞0$时，$1\leqslant\frac{3k + 2}{k}\leqslant4$，解$\frac{3k + 2}{k}\geqslant1$，得$3 + \frac{2}{k}\geqslant1$，$\frac{2}{k}\geqslant - 2$，恒成立；解$\frac{3k + 2}{k}\leqslant4$，得$3 + \frac{2}{k}\leqslant4$，$\frac{2}{k}\leqslant1$，$k\geqslant2$。
当$k＜0$时，$1\leqslant\frac{3k + 2}{k}\leqslant4$，解$\frac{3k + 2}{k}\geqslant1$，得$3 + \frac{2}{k}\geqslant1$，$\frac{2}{k}\geqslant - 2$，$k\leqslant - 1$；解$\frac{3k + 2}{k}\leqslant4$，得$3 + \frac{2}{k}\leqslant4$，$\frac{2}{k}\leqslant1$，恒成立。
当$k=0$时，直线为$y=2$，与线段AB不相交。
综上，$k\leqslant - 1$或$k\geqslant2$。
$k\leqslant -1$或$k\geqslant2$
点A(1,4)，点B(4,4)，线段AB上点的横坐标$x$满足$1\leqslant x\leqslant4$。
当$k＞0$时，$1\leqslant\frac{3k + 2}{k}\leqslant4$，解$\frac{3k + 2}{k}\geqslant1$，得$3 + \frac{2}{k}\geqslant1$，$\frac{2}{k}\geqslant - 2$，恒成立；解$\frac{3k + 2}{k}\leqslant4$，得$3 + \frac{2}{k}\leqslant4$，$\frac{2}{k}\leqslant1$，$k\geqslant2$。
当$k＜0$时，$1\leqslant\frac{3k + 2}{k}\leqslant4$，解$\frac{3k + 2}{k}\geqslant1$，得$3 + \frac{2}{k}\geqslant1$，$\frac{2}{k}\geqslant - 2$，$k\leqslant - 1$；解$\frac{3k + 2}{k}\leqslant4$，得$3 + \frac{2}{k}\leqslant4$，$\frac{2}{k}\leqslant1$，恒成立。
当$k=0$时，直线为$y=2$，与线段AB不相交。
综上，$k\leqslant - 1$或$k\geqslant2$。
$k\leqslant -1$或$k\geqslant2$
2. 某班准备在某超市购买签字笔$ x 支(x \geqslant 80)$,该超市给出两种优惠方案,顾客只能选择其中一种方案。
方案A：按总价打九折,该方案的函数图象如图4-4-11①所示。
方案B：购买数量$ x \geqslant 100 $时,超过的部分打折扣,其余部分不打折,该方案的函数图象如图4-4-11②所示。
设方案A所需的总费用为$ y_1 $元,方案B所需的总费用为$ y_2 $元。
(1)请分别求出$ y_1 $,$ y_2 与 x $之间的关系式。
(2)每支笔的原价是多少元？方案B中的折扣是多少折？
(3)该班选择哪种方案更划算？请说明理由。
方案A：按总价打九折,该方案的函数图象如图4-4-11①所示。
方案B：购买数量$ x \geqslant 100 $时,超过的部分打折扣,其余部分不打折,该方案的函数图象如图4-4-11②所示。
设方案A所需的总费用为$ y_1 $元,方案B所需的总费用为$ y_2 $元。
(1)请分别求出$ y_1 $,$ y_2 与 x $之间的关系式。
(2)每支笔的原价是多少元？方案B中的折扣是多少折？
(3)该班选择哪种方案更划算？请说明理由。
答案
(1)设$y_{1}=k_{1}x(k_{1}\neq 0)$，$y_{2}=k_{2}x+b(k_{2}\neq 0)$。把$(50,225)$代入$y_{1}=k_{1}x$，得$225=50k_{1}$，解得$k_{1}=4.5$，$y_{1}=4.5x$。把$(0,150)$代入$y_{2}=k_{2}x+b$，得$b=150$，即$y_{2}=k_{2}x+150$，把$(100,500)$代入$y_{2}=k_{2}x+150$，得$500=100k_{2}+150$，解得$k_{2}=3.5$，$y_{2}=3.5x+150$。
(2)因为方案A打了九折，由
(1)知$y_{1}=4.5x$，所以每支笔原价为$4.5÷ 90\%=5(元)$。设方案B中折扣为a折，所以$y_{2}=100× 5+5× \frac{a}{10}× (x-100)=\frac{a}{2}x+500-50a$，因为$y_{2}=3.5x+150$，所以$500-50a=150$，解得$a=7$，所以方案B中折扣为七折。
(3)当$4.5x=3.5x+150$时，解得$x=150$，当$x=150$时，选择两种方案一样划算；当$80\leqslant x＜150$时，选择方案A更划算；当$x＞150$时，选择方案B更划算。
1. 某单位准备与汽车租赁公司签订租车合同,以每月用车里程$x\mathrm{~km}$计算,甲公司每月收取的租赁费为$y_{1}$元,乙公司每月收取的租赁费为$y_{2}$元,若$y_{1}$,$y_{2}与x$之间的关系如图4-4-12所示,若该单位每月用车里程为$2500\mathrm{~km}$,下列结论正确的是(
A.甲公司更划算
B.乙公司更划算
C.两家公司价格一样
D.无法判断
B
)。A.甲公司更划算
B.乙公司更划算
C.两家公司价格一样
D.无法判断
答案
B
解析
由图可知，当$x=2000\ km$时，$y_{1}=y_{2}=2500\ 元$。
当$x＞2000\ km$时，$y_{1}$的图像在$y_{2}$的图像上方，即$y_{1}＞y_{2}$。
该单位每月用车里程为$2500\ km＞2000\ km$，故$y_{1}＞y_{2}$。
B
当$x＞2000\ km$时，$y_{1}$的图像在$y_{2}$的图像上方，即$y_{1}＞y_{2}$。
该单位每月用车里程为$2500\ km＞2000\ km$，故$y_{1}＞y_{2}$。
B
