22. (10分)在等腰直角$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = BC$,$D$为直线$BC$上任意一点,连接$AD$.将线段$AD$绕点$D$按顺时针方向旋转$90^{\circ}$得线段$ED$,连接$BE$.
【尝试发现】
(1) 如图1,当点$D$在线段$BC$上时,线段$BE$与$CD$的数量关系为;
【类比探究】
(2) 当点$D$在线段$BC$的延长线上时,先在图2中补全图形,再探究线段$BE$与$CD$的数量关系并证明;
【联系拓广】
(3) 若$AC = BC = 1$,$CD = 2$,请直接写出$\sin \angle ECD$的值.

(1) BE=√2 CD
(2) 补全图形如图2所示。BE=√2 CD；证明：过点E作EF⊥BC，交BC延长线于点F，∵∠ADE=90°，∴∠ADC+∠EDF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ADC+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠EDF，又∵AD=DE，∠ACD=∠DFE=90°，∴△ACD≌△DFE(AAS)，∴AC=DF，CD=EF，∵AC=BC，∴DF=BC，∵DF=DB+BF，BC=CD+DB，∴BF=CD，∵EF=CD，∴EF=BF，∠EFB=90°，∴BE=√2 BF=√2 CD
(3) 2√13/13

(1) $BE = CD$
(2) 补全图形如下：
过点$E$作$EF \perp CB$，交$CB$的延长线于点$F$
$\because \angle ADE = 90^{\circ}$
$\therefore \angle ADC + \angle EDF = 90^{\circ}$
$\because \angle ACB = 90^{\circ}$
$\therefore \angle ADC + \angle DAC = 90^{\circ}$
$\therefore \angle DAC = \angle EDF$
$\because AD = DE$，$\angle ACD = \angle DFE = 90^{\circ}$
$\therefore \triangle ACD \cong \triangle DFE$
$\therefore AC = DF$，$CD = EF$
$\because AC = BC$
$\therefore BC = DF$
$\therefore BC + CF = DF + CF$，即$BF = CD$
$\therefore EF = BF$
$\therefore \angle EBF = 45^{\circ}$
$\because \angle CBF = 180^{\circ}$
$\therefore \angle EBC = 135^{\circ}$
在$\triangle EBF$中，$EF = BF = CD$
由勾股定理得$BE = \sqrt{EF^{2} + BF^{2}} = \sqrt{2}CD$
(3) $\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{\sqrt{13}}{13}$

23. (10分)如图,$AB$是$\odot O$的直径,$\triangle ABC$内接于$\odot O$,点$I$为$\triangle ABC$的内心,连接$CI$并延长交$O$于点$D$,$E$是$\overgroup{BC}$上任意一点,连接$AD,BD,BE,CE$.
(1) 若$\angle ABC = 25^{\circ}$,求$\angle CEB$的度数;
(2) 找出图中所有与$DI$相等的线段,并证明;
(3) 若$CI = 2\sqrt{2}$,$DI = \frac{13}{2}\sqrt{2}$,求$\triangle ABC$的周长.

(1) 65°；(2) DI=DA=DB；(3) 30。

(1) ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。
∵∠ABC=25°，∴∠BAC=180°-90°-25°=65°。
∵∠CEB与∠CAB所对的弧均为弧CB，∴∠CEB=∠CAB=65°。
(2) 与DI相等的线段为DA和DB。
证明：连接BI。
∵I为△ABC内心，∴∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠BCI=45°。
∵∠DIB=∠IBC+∠ICB=∠IBC+45°，∠DBI=∠DBA+∠ABI。
∵AB是直径，∴∠ADB=90°，又∠DAB=∠DCB=45°（同弧DB），∴∠DBA=45°，即∠DBA=∠DAB，AD=BD。
∵∠DBI=45°+∠ABI，∠DIB=∠IBC+45°，且∠ABI=∠IBC，∴∠DBI=∠DIB，∴DI=DB。同理可证DI=DA，故DI=DA=DB。
(3) ∵DI=DA=DB=13/2√2，AB是直径，∠ADB=90°，
∴AB²=AD²+BD²=2×(13/2√2)²=2×(169×2/4)=169，∴AB=13。
∵CI=2√2，DI=13/2√2，∴DC=DI+CI=17/2√2。
设Rt△ABC中，AC=b，BC=a，AB=c=13，内心半径为r。
∵CI=r/sin(∠ACB/2)=r/sin45°=r√2=2√2，∴r=2。
又r=(a+b-c)/2，即2=(a+b-13)/2，∴a+b=17。
∴△ABC周长=a+b+c=17+13=30。