18. (10分)某公司设计的板凳如图所示,其中 $ BA = CD $,$ BC = 20 $ cm,$ BC $,$ EF $ 平行于地面 $ AD $ 且到地面 $ AD $ 的距离分别为 $ 40 $ m,$ 8 $ cm.为使板凳两腿底端 $ A $,$ D $ 之间的距离为 $ 50 $ cm,那么横梁 $ EF $ 应为多长?(材质及其厚度等忽略不计)

解：建立平面直角坐标系，设 $ A(0,0) $，$ D(50,0) $（$ AD=50\,cm $），地面 $ AD $ 在 $ x $ 轴上。
$ BC // AD $，距地面 $ 40\,cm $，故 $ B(a,40) $，$ C(b,40) $，且 $ BC=20\,cm $，即 $ b-a=20 $。
$ BA=CD $，则 $ \sqrt{a^2+40^2}=\sqrt{(50-b)^2+40^2} $，化简得 $ a=50-b $。
联立 $ b-a=20 $ 与 $ a=50-b $，解得 $ a=15 $，$ b=35 $，即 $ B(15,40) $，$ C(35,40) $。
直线 $ AB $：过 $ A(0,0) $，$ B(15,40) $，斜率 $ k_1=\frac{40}{15}=\frac{8}{3} $，方程 $ y=\frac{8}{3}x $。
直线 $ CD $：过 $ C(35,40) $，$ D(50,0) $，斜率 $ k_2=\frac{0-40}{50-35}=-\frac{8}{3} $，方程 $ y=-\frac{8}{3}x+\frac{400}{3} $。
$ EF // AD $，距地面 $ 8\,cm $，即 $ y=8 $。
联立 $ y=8 $ 与 $ y=\frac{8}{3}x $，得 $ E(3,8) $；
联立 $ y=8 $ 与 $ y=-\frac{8}{3}x+\frac{400}{3} $，得 $ F(47,8) $。
$ EF=47-3=44\,cm $。
答：横梁 $ EF $ 的长度为 $ 44\,cm $。

19. (10分)学习完直角三角形的边角关系后,数学老师布置了一项利用三角函数测宽的数学实践活动.居住在河南岸的小宇选择了测量某段河的河宽,如图,在小组同学的共同努力下,他们在河的南岸点 $ A $ 处观测到北岸岸边的一棵大树 $ M $ 在北偏东 $ 45^{\circ} $ 方向上,他们沿着北偏东 $ 78^{\circ} $ 的方向走了 $ 30 $ m 到达岸边点 $ B $ 处,此时他们发现这棵大树在自己的正北方向上.请你帮助小宇组的同学求出这段河的河宽 $ BM $.(结果精确到 $ 1 $ m.参考数据:$ \sin 78^{\circ} \approx 0.98 $,$ \cos 78^{\circ} \approx 0.21 $,$ \tan 78^{\circ} \approx 4.70 $)

过点A作AH⊥BM于H，设BM = x（河宽）。
∵B点观测M在正北方向，∴BM⊥南岸，即BM为南北方向，AH为东西方向，故AH⊥BM，∠AHB=∠AHM=90°。
在Rt△AHB中，AB=30m，AB方向为北偏东78°，则∠BAH=90°-78°=12°。
∴AH=AB·cos∠BAH=30·cos12°，HB=AB·sin∠BAH=30·sin12°。
∵A点观测M在北偏东45°方向，∴∠MAH=45°。
在Rt△AHM中，∠MAH=45°，∴MH=AH=30·cos12°。
又∵MH=MB+HB（H在B下方），即30·cos12°=x+30·sin12°，
∴x=30(cos12°-sin12°)。
∵cos12°=sin78°≈0.98，sin12°=cos78°≈0.21，
∴x≈30×(0.98-0.21)=30×0.77=23.1≈23(m)。
答：这段河的河宽BM约为23米。