6. 已知点$( - 2,a)$,$(2,b)$,$(3,c)在函数y = \frac{k}{x}$的图象上,则下列判断正确的是()
A.$a ＜ b ＜ c$
B.$b ＜ a ＜ c$
C.$a ＜ c ＜ b$
D.$c ＜ b ＜ a$

C

∵点$(-2,a)$，$(2,b)$，$(3,c)$在函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，∴$a=\frac{k}{-2}=-\frac{k}{2}$，$b=\frac{k}{2}$，$c=\frac{k}{3}$。由于题目未明确$k$的正负，无法直接比较大小，假设$k＞0$，则$a＜0$，$b＞0$，$c＞0$，且$\frac{k}{2}＞\frac{k}{3}$，即$b＞c$，所以$a＜c＜b$；假设$k＜0$，则$a＞0$，$b＜0$，$c＜0$，且$\frac{k}{2}＜\frac{k}{3}$，即$b＜c$，所以$b＜c＜a$，但选项中无此答案，故$k＞0$，$a＜c＜b$。

7. 下列图形中阴影部分的面积相等的是()

A.①②
B.②③
C.③④
D.①④

C

①直线$y=-x+2$与坐标轴交于$(2,0)$、$(0,2)$，面积$S=\frac{1}{2}×2×2=2$；②直线$y=3x$，$x=1$时$y=3$，面积$S=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$；③函数$y=|x|-1$与$x$轴交于$(\pm1,0)$，顶点$(0,-1)$，面积$S=\frac{1}{2}×2×1=1$；④反比例函数$y=\frac{2}{x}$，阴影为过双曲线上一点向$x$轴作垂线与原点构成的三角形，面积$S=\frac{1}{2}×|k|=\frac{1}{2}×2=1$。③④面积均为1，相等。

8. 已知反比例函数$y = \frac{6}{x}$,则下列描述不正确的是()
A.图象位于第一、三象限
B.图象必经过点$(4,\frac{3}{2})$
C.图象不可能与坐标轴相交
D.$y随x$的增大而减小

D

A. 反比例函数 $y = \frac{6}{x}$，因为 $k = 6 ＞ 0$，图象位于第一、三象限，该描述正确；
B. 将 $x = 4$ 代入 $y = \frac{6}{x}$，得到 $y = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$，所以图象必经过点 $(4, \frac{3}{2})$，该描述正确；
C. 反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象不会与 $x$ 轴或 $y$ 轴相交，因为当 $x = 0$ 或 $y = 0$ 时，函数值无定义，该描述正确；
D. 在第一象限内，当 $x$ 增大时，$y$ 减小；但在第三象限内，当 $x$ 增大（但仍为负值）时，$y$ 也增大（但仍为负值），所以说 $y$ 随 $x$ 的增大而减小是不准确的，该描述不正确。

9. 如图,已知直线$y = - \frac{1}{3}x + \sqrt{10}与双曲线y = \frac{k}{x}(x＞0)相交于A$,$B$两点,连接$OA$。若$OA\perp AB$,则$k$的值为()

A.$\frac{9}{10}$
B.$\frac{27}{10}$
C.$\frac{9\sqrt{10}}{10}$
D.$\frac{27\sqrt{10}}{10}$

B

设点$ A(m,n) $，因点$ A $在直线$ y=-\frac{1}{3}x+\sqrt{10} $和双曲线$ y=\frac{k}{x} $上，故$ n=-\frac{1}{3}m+\sqrt{10} $且$ k=mn $。
直线$ AB $斜率为$ -\frac{1}{3} $，$ OA $斜率为$ \frac{n}{m} $。
由$ OA\perp AB $，两垂直直线斜率之积为$-1$，得$ \frac{n}{m}×(-\frac{1}{3})=-1 $，即$ n=3m $。
将$ n=3m $代入$ n=-\frac{1}{3}m+\sqrt{10} $，得$ 3m=-\frac{1}{3}m+\sqrt{10} $，解得$ m=\frac{3\sqrt{10}}{10} $，则$ n=3m=\frac{9\sqrt{10}}{10} $。
故$ k=mn=\frac{3\sqrt{10}}{10}×\frac{9\sqrt{10}}{10}=\frac{27}{10} $。

10. 如图,已知菱形$ABCD的边AD与x$轴平行,$A$,$B$两点的横坐标分别为 1 和 3,反比例函数$y = \frac{3}{x}的图象经过A$,$B$两点,则菱形$ABCD$的面积是()

A.$4\sqrt{2}$
B.4
C.$2\sqrt{2}$
D.2

A

∵A，B在反比例函数$y=\frac{3}{x}$上，A横坐标为1，B横坐标为3，
∴A(1,3)，B(3,1)。
∵AD//x轴，∴D纵坐标与A相同为3，设D(m,3)，则AD=|m-1|。
菱形邻边相等，AB=AD。
AB长度：$\sqrt{(3-1)^2+(1-3)^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，∴AD=2\sqrt{2}。
AD//x轴，BC//x轴（菱形对边平行），B、C纵坐标为1，AD与BC距离为$3-1=2$（即菱形的高）。
面积=底×高=$2\sqrt{2}×2=4\sqrt{2}$。

11. 已知函数$y = ax和y = \frac{4 - a}{x}$的图象有两个交点,其中一个交点的横坐标为 1,则两个函数图象的交点坐标是。

$(1,2),(-1,-2)$

将$x=1$分别代入$y=ax$与$y=\frac{4 - a}{x}$，可得$y=a$与$y = 4 - a$，
因为函数图象有一个交点坐标为$(1,y)$，所以两个函数在这个点的函数值相等，即$a=4 - a$，
解得$a = 2$。
则两个函数表达式分别为$y = 2x$和$y=\frac{2}{x}$。
联立方程组$\begin{cases}y = 2x\\y=\frac{2}{x}\end{cases}$，将$y = 2x$代入$y=\frac{2}{x}$，得$2x=\frac{2}{x}$，
因为$x\neq0$（分母不为$0$），等式两边同时乘以$x$得$2x^{2}=2$，即$x^{2}=1$，
解得$x=\pm1$。
当$x = 1$时，$y = 2×1 = 2$；当$x=-1$时，$y = 2×(-1)=-2$。
所以两个函数图象的交点坐标是$(1,2)$和$( - 1,-2)$。

12. 已知点$A(a,b)是一次函数y = - x + 3与反比例函数y = \frac{1}{x}$图象的一个交点,则$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = $______。

3

因为点$A(a,b)$是一次函数$y=-x + 3$与反比例函数$y = \frac{1}{x}$的交点，所以$b=-a + 3$且$b = \frac{1}{a}$。由$b=-a + 3$得$a + b=3$；由$b = \frac{1}{a}$得$ab=1$。则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a + b}{ab}=\frac{3}{1}=3$。