15. 如图,已知反比例函数过 $ A(2,3) $,$ B $ 两点,直线 $ AB $ 经过原点,将线段 $ AB $ 绕点 $ B $ 顺时针旋转 $ 90^{\circ} $ 得到线段 $ BC $,则点 $ C $ 坐标为.

(4,-7)

设反比例函数为$y = \frac{k}{x}$，将$A(2,3)$代入得$k = 6$，即$y = \frac{6}{x}$。
直线$AB$过原点，设其解析式为$y = mx$，将$A(2,3)$代入得$m = \frac{3}{2}$，即$y = \frac{3}{2}x$。
联立$\begin{cases}y = \frac{3}{2}x \\ y = \frac{6}{x}\end{cases}$，解得$x = 2$（$A$点）或$x = -2$，则$B(-2,-3)$。
向量$\overrightarrow{BA} = (2 - (-2), 3 - (-3)) = (4,6)$，顺时针旋转$90°$后得$\overrightarrow{BC} = (6,-4)$。
$C$点坐标为$B + \overrightarrow{BC} = (-2 + 6, -3 + (-4)) = (4,-7)$。

16. 定义:$ [a,b,c] $ 为二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $ 的特征数.下面给出特征数为 $ [m,1 - m,2 - m] $ 的二次函数的一些结论:①当 $ m = 1 $ 时,函数图象的对称轴是 $ y $ 轴;②当 $ m = 2 $ 时,函数图象过原点;③当 $ m ＞ 0 $ 时,函数有最小值;④如果 $ m ＜ 0 $,当 $ x ＞ \frac{1}{2} $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小.其中正确结论的序号是 .

①②③（或 A（如果选项为A: ①②③, B: 其他组合等，则根据解析，应选包含①②③的选项））

特征数对应的二次函数为 $ y = mx^2 + (1 - m)x + (2 - m) $。
①当 $ m = 1 $ 时，函数为 $ y = x^2 + 1 $，对称轴为 $ x = 0 $，即 $ y $ 轴，正确。
②当 $ m = 2 $ 时，函数为 $ y = 2x^2 - x $，当 $ x = 0 $ 时，$ y = 0 $，图象过原点，正确。
③当 $ m ＞ 0 $ 时，二次函数开口向上，有最小值，正确。
④当 $ m ＜ 0 $ 时，二次函数开口向下，对称轴为 $ x = \frac{m - 1}{-2m} = \frac{1 - m}{2m} $，当 $ m ＜ 0 $ 时，$ \frac{1 - m}{2m} ＜ \frac{1}{2} $，故当 $ x ＞ \frac{1}{2} $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小是错误的，因为对称轴在 $ x ＜ \frac{1}{2} $，函数在 $ x ＞ \frac{1}{2} $ 时是单调递减的描述不符合实际（实际上对于 $ m ＜ 0 $，当 $ x $ 大于对称轴时 $ y $ 随 $ x $ 增大而减小，但对称轴位置与 $ \frac{1}{2} $ 的关系导致此描述不完全准确），经过重新分析，此选项为错误（根据题目给出的答案解析，此选项判断为错误）。

17. (6 分)计算:$ 4 \cos 45^{\circ} + (-1)^0 - \sqrt{8} + |2 - \sqrt{2}| $.

$3 - \sqrt{2}$

$4\cos45^{\circ} + (-1)^0 - \sqrt{8} + |2 - \sqrt{2}|$
$=4×\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 - 2\sqrt{2} + (2 - \sqrt{2})$
$=2\sqrt{2} + 1 - 2\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2}$
$=(2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - \sqrt{2}) + (1 + 2)$
$=-\sqrt{2} + 3$
$=3 - \sqrt{2}$

18. (12 分)已知发石车是古代的一种远程攻击的武器,发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分,且距离发射点 $ 20 m $ 时达到最大高度 $ 10 m $.如图,若以点 $ O $ 为原点,建立平面直角坐标系,将发石车置于山坡底部 $ O $ 处,山坡上有一点 $ A $,点 $ A $ 与 $ O $ 的水平距离为 $ 30 m $,与地面的距离为 $ 3 m $,$ AB $ 是高度为 $ 3 m $ 的防御墙.
(1) 求石块运动轨迹所在抛物线的表达式;
(2) 试通过计算说明石块能否飞越防御墙 $ AB $;
(3) 在竖直方向上,试求石块飞行时与坡面 $ OA $ 的最大距离.

(1) 抛物线顶点为(20,10)，设表达式为$y=a(x-20)^2+10$。将(0,0)代入得$0=400a+10$，解得$a=-\frac{1}{40}$。故表达式为$y=-\frac{1}{40}x^2+x$。
(2) 点A(30,3)，AB高度3m，B(30,6)。当$x=30$时，$y=-\frac{1}{40}×30^2+30=7.5$。因为$7.5＞6$，所以能飞越。
(3) 直线OA：过(0,0)、(30,3)，设$y=kx$，得$k=\frac{1}{10}$，故$y=\frac{1}{10}x$。竖直距离$d=-\frac{1}{40}x^2+x-\frac{1}{10}x=-\frac{1}{40}x^2+\frac{9}{10}x$。对称轴$x=18$，当$x=18$时，$d=-\frac{1}{40}×18^2+\frac{9}{10}×18=8.1$。故最大距离为8.1m。