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1. 已知在$\triangle ABC$中,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C所对的边的长分别是a$,$b$,$c$,根据下列条件不能判定$\triangle ABC$为直角三角形的是(
A.$\angle A:\angle B:\angle C = 3:4:5$
B.$\angle A = \angle C + \angle B$
C.$a = 3$,$b = 4$,$c = 5$
D.$(a + b)(a - b) = c^{2}$
A
)A.$\angle A:\angle B:\angle C = 3:4:5$
B.$\angle A = \angle C + \angle B$
C.$a = 3$,$b = 4$,$c = 5$
D.$(a + b)(a - b) = c^{2}$
答案
A
解析
A：设$\angle A = 3x$，$\angle B = 4x$，$\angle C = 5x$，
根据三角形内角和定理：$3x + 4x + 5x = 180^{\circ}$，解得$x = 15^{\circ}$，
所以$\angle A = 45^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$，$\angle C = 75^{\circ}$，不是直角三角形，故A不能判定；
B：因为$\angle A = \angle C + \angle B$，$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$，
所以$2\angle A = 180^{\circ}$，即$\angle A = 90^{\circ}$，是直角三角形，故B能判定；
C：因为$3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$，满足勾股定理，所以是直角三角形，故C能判定；
D：由$(a + b)(a - b) = c^{2}$，得$a^{2} - b^{2} = c^{2}$，即$a^{2} = b^{2} + c^{2}$，满足勾股定理，所以是直角三角形，故D能判定。
根据三角形内角和定理：$3x + 4x + 5x = 180^{\circ}$，解得$x = 15^{\circ}$，
所以$\angle A = 45^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$，$\angle C = 75^{\circ}$，不是直角三角形，故A不能判定；
B：因为$\angle A = \angle C + \angle B$，$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$，
所以$2\angle A = 180^{\circ}$，即$\angle A = 90^{\circ}$，是直角三角形，故B能判定；
C：因为$3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$，满足勾股定理，所以是直角三角形，故C能判定；
D：由$(a + b)(a - b) = c^{2}$，得$a^{2} - b^{2} = c^{2}$，即$a^{2} = b^{2} + c^{2}$，满足勾股定理，所以是直角三角形，故D能判定。
2. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC = 90^{\circ}$,分别以$AB$,$BC$为边向外做正方形,$S_{1}和S_{2}$分别表示这两个正方形的面积. 如果$AC = 10$,那么$S_{1} + S_{2}$的值为(
A.70
B.80
C.90
D.100
D
)A.70
B.80
C.90
D.100
答案
D
解析
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，由勾股定理得$AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$。因为$S_{1}$是边长为$AB$的正方形面积，所以$S_{1}=AB^{2}$；$S_{2}$是边长为$BC$的正方形面积，所以$S_{2}=BC^{2}$。已知$AC = 10$，则$AC^{2}=10^{2}=100$，故$S_{1} + S_{2}=AB^{2} + BC^{2}=AC^{2}=100$。
3. 如图,一架长为 10 m 的梯子$AB斜靠在竖直的墙BC$上,梯子的底端(点$A$)距墙角(点$C$)为 6 m. 若梯子的底端水平向外滑动 1 m,梯子的顶端(点$B$)向下滑动多少米？若设梯子的顶端向下滑动$x$米,则根据题意可列方程为(
A.$(10 - x)^{2} = (6 + 1 + x)^{2} + 8^{2}$
B.$(10 - x)^{2} = (8 - x)^{2} + (6 + 1)^{2}$
C.$10^{2} = (8 - x)^{2} + (6 + 1)^{2}$
D.$(10 + x)^{2} = (8 + 1 - x)^{2} + 6^{2}$
C
)A.$(10 - x)^{2} = (6 + 1 + x)^{2} + 8^{2}$
B.$(10 - x)^{2} = (8 - x)^{2} + (6 + 1)^{2}$
C.$10^{2} = (8 - x)^{2} + (6 + 1)^{2}$
D.$(10 + x)^{2} = (8 + 1 - x)^{2} + 6^{2}$
答案
C
解析
在Rt△ABC中，AC=6m，AB=10m，由勾股定理得BC=√(10²-6²)=8m。滑动后，底端A到A'，AA'=1m，所以A'C=6+1=7m；顶端B到B'，BB'=x m，所以B'C=8-x m。在Rt△A'B'C中，A'B'=10m，由勾股定理得(8-x)²+7²=10²，即10²=(8-x)²+(6+1)²。
4. 直角三角形的三边长分别为$a$,$b$,$c$,以直角三角形的三边为边(或直径)分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形,其中面积关系满足$S_{1} + S_{2} = S_{3}$的图形的序号是(
A.①②
B.①③④
C.②③
D.①②③④
D
)A.①②
B.①③④
C.②③
D.①②③④
答案
D
解析
设直角三角形直角边为a,b，斜边为c，由勾股定理得a² + b² = c²。
①等边三角形：面积S=(√3/4)×边长²，S₁=(√3/4)a²，S₂=(√3/4)b²，S₃=(√3/4)c²，S₁+S₂=(√3/4)(a²+b²)=(√3/4)c²=S₃。
②半圆：面积S=(1/2)πr²，半径为直径一半，S₁=πa²/8，S₂=πb²/8，S₃=πc²/8，S₁+S₂=π(a²+b²)/8=πc²/8=S₃。
③等腰直角三角形：面积S=直角边²/2（以边为直角边），S₁=a²/2，S₂=b²/2，S₃=c²/2，S₁+S₂=(a²+b²)/2=c²/2=S₃。
④正方形：面积S=边长²，S₁=a²，S₂=b²，S₃=c²，S₁+S₂=a²+b²=c²=S₃。
综上，①②③④均满足S₁+S₂=S₃。
①等边三角形：面积S=(√3/4)×边长²，S₁=(√3/4)a²，S₂=(√3/4)b²，S₃=(√3/4)c²，S₁+S₂=(√3/4)(a²+b²)=(√3/4)c²=S₃。
②半圆：面积S=(1/2)πr²，半径为直径一半，S₁=πa²/8，S₂=πb²/8，S₃=πc²/8，S₁+S₂=π(a²+b²)/8=πc²/8=S₃。
③等腰直角三角形：面积S=直角边²/2（以边为直角边），S₁=a²/2，S₂=b²/2，S₃=c²/2，S₁+S₂=(a²+b²)/2=c²/2=S₃。
④正方形：面积S=边长²，S₁=a²，S₂=b²，S₃=c²，S₁+S₂=a²+b²=c²=S₃。
综上，①②③④均满足S₁+S₂=S₃。
