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1. 若$\begin{cases}x = 2,\\y = 1\end{cases}$是关于$x$，$y$的二元一次方程$ax - y = 5$的一个解，则$a$的值为(
A.$-2$
B.$3$
C.$2$
D.$6$
B
)A.$-2$
B.$3$
C.$2$
D.$6$
答案
B
解：将$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$代入方程ax - y = 5，得2a - 1 = 5。
2a = 5 + 1
2a = 6
a = 3
答案：B
解：将$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$代入方程ax - y = 5，得2a - 1 = 5。
2a = 5 + 1
2a = 6
a = 3
答案：B
2. 甲、乙两人练习跑步，若乙先跑$16\mathrm{m}，$则甲$8\mathrm{s}$可追上乙；若乙先跑$2\mathrm{s}，$则甲$4\mathrm{s}$可追上乙。求甲、乙两人每秒各跑多少米。若设甲每秒跑$x\mathrm{m}，$乙每秒跑$y\mathrm{m}，$则可列方程组为(
A. $\begin{cases}8x = 8y + 16,\\4x - 2 = 4y\end{cases}$
B. $\begin{cases}8x - 8y = 16,\\4x - 4y = 4\end{cases}$
C. $\begin{cases}8x - 16 = 5y,\\4x - 4y = 2\end{cases}$
D. $\begin{cases}16 = 8(x - y),\\(2 + 4)y = 4x\end{cases}$
D
)A. $\begin{cases}8x = 8y + 16,\\4x - 2 = 4y\end{cases}$
B. $\begin{cases}8x - 8y = 16,\\4x - 4y = 4\end{cases}$
C. $\begin{cases}8x - 16 = 5y,\\4x - 4y = 2\end{cases}$
D. $\begin{cases}16 = 8(x - y),\\(2 + 4)y = 4x\end{cases}$
答案
D
【解析】：
这是一个关于追及问题的方程组问题。
首先，我们根据题目描述，设定甲每秒跑x米，乙每秒跑y米。
1. 若乙先跑16米，则甲8秒可追上乙。这意味着在8秒内，甲跑的距离比乙多16米。因此，我们可以列出第一个方程：8x = 8y + 16，也可以变形为16 = 8(x - y)。
2. 若乙先跑2秒，则甲4秒可追上乙。这意味着乙先跑了2y米，然后甲在4秒内追上乙，即甲在4秒内跑的距离等于乙在6秒（先跑的2秒加上后来的4秒）内跑的距离。因此，我们可以列出第二个方程：4x = (2+4)y，简化后得(2+4)y = 4x。
综合以上两点，我们可以列出方程组：
$\begin{cases}16 = 8(x - y), \\(2+4)y = 4x\end{cases}$
这与选项D相匹配。
【答案】：
D
【解析】：
这是一个关于追及问题的方程组问题。
首先，我们根据题目描述，设定甲每秒跑x米，乙每秒跑y米。
1. 若乙先跑16米，则甲8秒可追上乙。这意味着在8秒内，甲跑的距离比乙多16米。因此，我们可以列出第一个方程：8x = 8y + 16，也可以变形为16 = 8(x - y)。
2. 若乙先跑2秒，则甲4秒可追上乙。这意味着乙先跑了2y米，然后甲在4秒内追上乙，即甲在4秒内跑的距离等于乙在6秒（先跑的2秒加上后来的4秒）内跑的距离。因此，我们可以列出第二个方程：4x = (2+4)y，简化后得(2+4)y = 4x。
综合以上两点，我们可以列出方程组：
$\begin{cases}16 = 8(x - y), \\(2+4)y = 4x\end{cases}$
这与选项D相匹配。
【答案】：
D
3. 若$|x - y - 3z| + (y - 1)^2 + |2x - y| = 0$，则$x =$
$\frac{1}{2}$
，$y =$1
，$z =$$-\frac{1}{6}$
。答案
$\frac{1}{2}$
1
$-\frac{1}{6}$
【解析】：
题目给出了一个包含三个变量x, y, z的等式|x-y-3z|$+(y-1)^2+$|2x-y|= 0，
由于绝对值和平方都是非负的，所以要使等式成立，每一项都必须为0。
因此，我们可以得到以下三个方程：
x - y - 3z = 0 （由|x-y-3z| = 0得出）
y - 1 = 0 （由$(y-1)^2 = 0$得出）
2x - y = 0 （由|2x-y| = 0得出）
接下来，我们解这个三元一次方程组。
首先，从第二个方程我们可以直接得出y = 1。
然后，将y = 1代入第一个和第三个方程，我们得到：
x - 1 - 3z = 0
2x - 1 = 0
从第三个方程我们可以解出$x = \frac{1}{2}。$
最后，将$x = \frac{1}{2}$和y = 1代入第一个方程，我们可以解出$z = -\frac{1}{6}。$
【答案】：
$x = \frac{1}{2}；$y = 1；$z = -\frac{1}{6}。$
1
$-\frac{1}{6}$
【解析】：
题目给出了一个包含三个变量x, y, z的等式|x-y-3z|$+(y-1)^2+$|2x-y|= 0，
由于绝对值和平方都是非负的，所以要使等式成立，每一项都必须为0。
因此，我们可以得到以下三个方程：
x - y - 3z = 0 （由|x-y-3z| = 0得出）
y - 1 = 0 （由$(y-1)^2 = 0$得出）
2x - y = 0 （由|2x-y| = 0得出）
接下来，我们解这个三元一次方程组。
首先，从第二个方程我们可以直接得出y = 1。
然后，将y = 1代入第一个和第三个方程，我们得到：
x - 1 - 3z = 0
2x - 1 = 0
从第三个方程我们可以解出$x = \frac{1}{2}。$
最后，将$x = \frac{1}{2}$和y = 1代入第一个方程，我们可以解出$z = -\frac{1}{6}。$
【答案】：
$x = \frac{1}{2}；$y = 1；$z = -\frac{1}{6}。$
4. 若关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x + 3y = 4,\\3x + 2y = 2m - 3\end{cases}$的解满足$x + y = \frac{3}{5}$，则$m =$
1
。答案
1
解：
$\begin{cases}2x + 3y = 4 &① \\3x + 2y = 2m - 3 &②\end{cases}$
① + ②，得：
5x + 5y = 2m + 1
化简得：
$x + y = \frac{2m + 1}{5}$
因为$ x + y = \frac{3}{5}，$所以：
$\frac{2m + 1}{5} = \frac{3}{5}$
解得：
$2m + 1 = 3 \\2m = 2 \\m = 1$
解：
$\begin{cases}2x + 3y = 4 &① \\3x + 2y = 2m - 3 &②\end{cases}$
① + ②，得：
5x + 5y = 2m + 1
化简得：
$x + y = \frac{2m + 1}{5}$
因为$ x + y = \frac{3}{5}，$所以：
$\frac{2m + 1}{5} = \frac{3}{5}$
解得：
$2m + 1 = 3 \\2m = 2 \\m = 1$
5. 在同一平面直角坐标系中，若直线$y = -2x + 4$与$y = 3x - m$相交于点$A(3,n)$，则关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}y = -2x + 4,\\y = 3x - m\end{cases}$的解是
$\begin{cases}x = 3,\\y = -2\end{cases}$
。答案
$\begin{cases}x=3\\y=-2\end{cases}$
解：因为点A(3,n)在直线y=-2x+4上，
所以将x=3代入y=-2x+4，得y=-2×3+4=-2，
所以n=-2，即点A的坐标为(3,-2)。
因为直线y=-2x+4与y=3x-m相交于点A(3,-2)，
所以二元一次方程组$\begin{cases}y=-2x+4\\y=3x-m\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=3\\y=-2\end{cases}。$
$\begin{cases}x=3\\y=-2\end{cases}$
解：因为点A(3,n)在直线y=-2x+4上，
所以将x=3代入y=-2x+4，得y=-2×3+4=-2，
所以n=-2，即点A的坐标为(3,-2)。
因为直线y=-2x+4与y=3x-m相交于点A(3,-2)，
所以二元一次方程组$\begin{cases}y=-2x+4\\y=3x-m\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=3\\y=-2\end{cases}。$
$\begin{cases}x=3\\y=-2\end{cases}$
6. 解方程组。
（1）$\begin{cases}7x - 2y = 3,\\3x + 2y = -8;\end{cases}$
（2）$\begin{cases}4(x + 2) = 1 - 5y,\frac{y + 3}{2} = 1 - \frac{x}{3}。\end{cases}$
（1）$\begin{cases}7x - 2y = 3,\\3x + 2y = -8;\end{cases}$
（2）$\begin{cases}4(x + 2) = 1 - 5y,\frac{y + 3}{2} = 1 - \frac{x}{3}。\end{cases}$
答案
（1）解：①+②得10x=-5，$x=-\frac 12$
将$x=-\frac 12$代入①得$y=-\frac {13}{4}$
∴方程组的解为$\begin {cases}{x=-\frac 12}\\{y=-\frac {13}{4}}\end {cases}$
（2）解：整理得$\begin {cases}{4x+5y=-7①}\\{2x+3y=-3②}\end {cases}$
②×2-①得y=1
将y=1代入①得x=-3
∴方程组的解为$\begin {cases}{x=-3}\\{y=1}\end {cases}$
将$x=-\frac 12$代入①得$y=-\frac {13}{4}$
∴方程组的解为$\begin {cases}{x=-\frac 12}\\{y=-\frac {13}{4}}\end {cases}$
（2）解：整理得$\begin {cases}{4x+5y=-7①}\\{2x+3y=-3②}\end {cases}$
②×2-①得y=1
将y=1代入①得x=-3
∴方程组的解为$\begin {cases}{x=-3}\\{y=1}\end {cases}$
7. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾一十秉。下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉。问上、下禾实一秉各几何。”大意是：今有上等禾$3$捆，将它的实增益$6$斗，与下等禾$10$捆相当；下等禾$5$捆，将它的实增益$1$斗，与上等禾$2$捆相当。每捆上等禾、下等禾的实各是多少？
答案
解：设每捆上等禾的实为x斗，
每捆下等禾的实为y斗
根据题意得$\begin {cases}{3x+6=10y}\\{5y+1=2x}\end {cases}，$解得$\begin {cases}{x=8}\\{y=3}\end {cases}$
答：每捆上等禾的实为8斗，
每捆下等禾的实为3斗。
每捆下等禾的实为y斗
根据题意得$\begin {cases}{3x+6=10y}\\{5y+1=2x}\end {cases}，$解得$\begin {cases}{x=8}\\{y=3}\end {cases}$
答：每捆上等禾的实为8斗，
每捆下等禾的实为3斗。
8. 一玻璃厂制作玻璃原料，该原料由石英砂和长石粉混合而成，要求原料中二氧化硅的含量为$70\%$。经化验，石英砂中二氧化硅的含量为$95\%$，长石粉中二氧化硅的含量为$63\%$。现要配制$3.2\mathrm{t}$原料，需石英砂和长石粉各多少吨？
答案
解：设需石英砂x吨，长石粉y吨。
根据题意，得$\begin{cases}x + y = 3.2 \\ 0.95x + 0.63y = 3.2×0.7\end{cases}$
由第一个方程得y = 3.2 - x，代入第二个方程：
0.95x + 0.63(3.2 - x) = 2.24
0.95x + 2.016 - 0.63x = 2.24
0.32x = 0.224
x = 0.7
则y = 3.2 - 0.7 = 2.5
答：需石英砂0.7吨，长石粉2.5吨。
根据题意，得$\begin{cases}x + y = 3.2 \\ 0.95x + 0.63y = 3.2×0.7\end{cases}$
由第一个方程得y = 3.2 - x，代入第二个方程：
0.95x + 0.63(3.2 - x) = 2.24
0.95x + 2.016 - 0.63x = 2.24
0.32x = 0.224
x = 0.7
则y = 3.2 - 0.7 = 2.5
答：需石英砂0.7吨，长石粉2.5吨。
