7. 如图所示,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^\circ$,$AC= 4$,$BC= 3$,D为AB边上的一个动点,连结CD,以BD为直径作圆交CD于点P,连结AP,则线段AP长的最小值为().

A.$\sqrt{5}-1$
B.$\frac{7}{2}$
C.$\frac{13}{4}$
D.$\frac{\sqrt{73}}{2}-\frac{3}{2}$

解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^\circ$，$AC=4$，$BC=3$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=5$。
设以$BD$为直径的圆的圆心为$O$，则$O$为$BD$中点，圆半径$r=OB=OD$。
$\because BD$为直径，$\therefore \angle BPD=90^\circ$，又$\angle ACB=90^\circ$，
$\therefore$点$P$在以$BC$为直径的圆上（$\angle BPC=90^\circ$）。
设$BC$中点为$M$，则$M$为该圆圆心，$BM=CM=\frac{3}{2}$，半径$r=\frac{3}{2}$。
$\therefore AP$最小值为$AM - r$。
$AM=\sqrt{AC^2 + CM^2}=\sqrt{4^2 + (\frac{3}{2})^2}=\frac{\sqrt{73}}{2}$，
$\therefore AP_{min}=\frac{\sqrt{73}}{2}-\frac{3}{2}$。
答案：D

8. 如图所示,以$□ ABCD$的一边AB为直径作$\odot O$,$\odot O$过点C,且$\angle AOC= 70^\circ$,则$\angle A$等于().

A.$145^\circ$
B.$140^\circ$
C.$135^\circ$
D.$120^\circ$

解：
∵OA=OC（半径相等），∠AOC=70°，
∴∠OAC=∠OCA=(180°-70°)/2=55°（等腰三角形性质）。
∵AB是直径，点C在⊙O上，
∴∠ACB=90°（直径所对圆周角是直角）。
在△ABC中，∠ABC=180°-∠ACB-∠OAC=180°-90°-55°=35°。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠ABC=180°（平行四边形邻角互补），
∴∠A=180°-35°=145°。
答案：A

9. 如图所示,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为$(4,0)$,$(-6,0)$.C是y轴正半轴上的一点,且满足$\angle ACB= 45^\circ$,现有以下四个结论:①$\triangle ABC$的外接圆的圆心在OC上;②$\angle ABC= 60^\circ$;③$\triangle ABC的外接圆的半径等于5\sqrt{2}$;④$OC= 12$.其中正确的是( ).
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④

解：设△ABC外接圆的圆心为P，半径为R。
∵∠ACB=45°，∴∠APB=90°（同弧所对圆心角是圆周角的两倍）。
∵A(4,0)，B(-6,0)，∴AB=10，设P(x,y)。
则PA=PB=R，PA²=(x-4)²+y²，PB²=(x+6)²+y²，
∴(x-4)²+y²=(x+6)²+y²，解得x=-1。
∵∠APB=90°，PA=PB，∴△APB是等腰直角三角形，
∴AB=√2 R=10，解得R=5√2，③正确。
PA²=(-1-4)²+y²=(5√2)²，即25+y²=50，y²=25，y=5（圆心在y轴上方），
∴P(-1,5)，不在OC（y轴）上，①错误。
设C(0,c)，c＞0，∵A,B,C在圆上，∴PC=R，
PC²=(-1-0)²+(5-c)²=(5√2)²，即1+(5-c)²=50，(5-c)²=49，
5-c=±7，c=12或c=-2（舍去），∴OC=12，④正确。
tan∠ABC=OC/OB=12/6=2≠√3，∠ABC≠60°，②错误。
综上，正确的是③④，选C。

10. 如图所示,$\odot P$与x轴交于点$A(-5,0)$,$B(1,0)$,与y轴的正半轴交于点C.若$\angle ACB= 60^\circ$,则点C的纵坐标为( ).
A.$\sqrt{13}+\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{2}+\sqrt{3}$
C.$4\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}+2$

解：连接PA，PB，PC，过点P作PD⊥AB于D，PE⊥y轴于E。
∵A(-5,0)，B(1,0)，∴AB=6，AD=BD=3，OD=OA-AD=5-3=2，∴P点横坐标为-2，设P(-2,m)，则PA=√[(-2+5)²+(m-0)²]=√(9+m²)。
∵∠ACB=60°，∴∠APB=120°（同弧所对圆心角是圆周角两倍）。
在△PAB中，PA=PB，PD⊥AB，AD=3，∠APD=60°，∴sin60°=AD/PA，即√3/2=3/√(9+m²)，解得m²=3，m=±√3。
∵点C在y轴正半轴，⊙P与y轴正半轴相交，∴P到y轴距离PE=2，PC=PA=√(9+3)=2√3。
设C(0,n)，n＞0，PC=√[(-2-0)²+(m-n)²]=2√3。
当m=√3时，√(4+(√3-n)²)=2√3，解得n=√3+2√2（n=√3-2√2舍去）；当m=-√3时，√(4+(-√3-n)²)=2√3，解得n=-√3+2√2（n=-√3-2√2舍去）。
综上，n=2√2+√3，选B。
答案：B