10. 化简$(\frac {m}{m - 2}-\frac {2m}{m^{2}-4})÷\frac {m}{m + 2}$,并在2,$- 2$,0,3当中选一个合适的数作为$m$的值代入求值。

化简结果为$\frac{m}{m - 2}$，当$m = 3$时，值为$3$。

化简过程：
1. 对括号内分式通分：
$\frac{m}{m - 2} - \frac{2m}{m^2 - 4} = \frac{m}{m - 2} - \frac{2m}{(m - 2)(m + 2)}$
最简公分母为$(m - 2)(m + 2)$，通分得：
$\frac{m(m + 2)}{(m - 2)(m + 2)} - \frac{2m}{(m - 2)(m + 2)} = \frac{m(m + 2) - 2m}{(m - 2)(m + 2)}$
2. 化简分子：
$m(m + 2) - 2m = m^2 + 2m - 2m = m^2$，
故括号内结果为$\frac{m^2}{(m - 2)(m + 2)}$。
3. 除法变乘法：
$(\frac{m^2}{(m - 2)(m + 2)}) ÷ \frac{m}{m + 2} = \frac{m^2}{(m - 2)(m + 2)} × \frac{m + 2}{m}$
4. 约分：
分子分母约去$m(m + 2)$，得$\frac{m}{m - 2}$。
代入求值：
分式有意义条件：$m - 2 \neq 0$，$m + 2 \neq 0$，$m \neq 0$，即$m \neq 2, -2, 0$，故选择$m = 3$。
当$m = 3$时，$\frac{m}{m - 2} = \frac{3}{3 - 2} = 3$。

11. 已知$A= (x - 3)÷\frac {(x + 2)(x^{2}-6x + 9)}{x^{2}-4}-1$。
(1)化简$A$；
(2)若$x满足不等式组\begin{cases}2x - 1\lt x\\1-\frac {x}{3}\lt\frac {4}{3}\end{cases} $,且$x$为整数,求$A$的值。

(1)
首先，将除法转化为乘法，并对分子分母进行因式分解：
$A=(x - 3)÷\frac{(x + 2)(x^{2}-6x + 9)}{x^{2}-4}-1=(x - 3)÷\frac{(x + 2)(x - 3)^{2}}{(x + 2)(x - 2)}-1$
$=(x - 3)×\frac{(x + 2)(x - 2)}{(x + 2)(x - 3)^{2}}-1=\frac{x - 2}{x - 3}-1$
通分计算：
$\frac{x - 2}{x - 3}-\frac{x - 3}{x - 3}=\frac{x - 2-(x - 3)}{x - 3}=\frac{1}{x - 3}$
(2)
解不等式组$\begin{cases}2x - 1\lt x\\1-\frac{x}{3}\lt\frac{4}{3}\end{cases}$
解不等式$2x - 1\lt x$，移项可得$2x - x\lt1$，即$x\lt1$。
解不等式$1-\frac{x}{3}\lt\frac{4}{3}$，移项可得$-\frac{x}{3}\lt\frac{4}{3}-1$，即$-\frac{x}{3}\lt\frac{1}{3}$，两边同时乘以$- 3$，不等号变向，得$x\gt - 1$。
所以不等式组的解集为$-1\lt x\lt1$，因为$x$为整数，所以$x = 0$。
当$x = 0$时，$A=\frac{1}{0 - 3}=-\frac{1}{3}$。
综上，答案为(1)$A=\frac{1}{x - 3}$；(2)$A=-\frac{1}{3}$。

12. 已知$A= \frac {xy - y^{2}}{y^{2}-x^{2}}÷(\frac {1}{x - y}-\frac {1}{x + y})$。
(1)化简$A$。
(2)当$x^{2}+y^{2}= 13$,$xy = - 6$时,求$A$的值；
(3)若$|x - y|+\sqrt {y + 2}= 0$,$A$是否存在？若存在,请求出$A$的值；若不存在,请说明理由。

(1) $\frac{y-x}{2}$；(2) $\pm\frac{5}{2}$；(3) 不存在，理由见上。

(1) $A=\frac{xy-y^2}{y^2-x^2}÷\left(\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y}\right)$
化简分子：$xy-y^2=y(x-y)$
化简分母：$y^2-x^2=-(x^2-y^2)=-(x-y)(x+y)$
则第一个分式为：$\frac{y(x-y)}{-(x-y)(x+y)}=-\frac{y}{x+y}$
括号内通分：$\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y}=\frac{(x+y)-(x-y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{2y}{(x-y)(x+y)}$
$A=-\frac{y}{x+y}÷\frac{2y}{(x-y)(x+y)}=-\frac{y}{x+y}\cdot\frac{(x-y)(x+y)}{2y}=-\frac{x-y}{2}=\frac{y-x}{2}$
(2) 由$x^2+y^2=13$，$xy=-6$，得$(y-x)^2=x^2-2xy+y^2=13-2×(-6)=25$
则$y-x=\pm5$，故$A=\frac{y-x}{2}=\pm\frac{5}{2}$
(3) 不存在。
理由：由$|x-y|+\sqrt{y+2}=0$，得$\begin{cases}x-y=0\\y+2=0\end{cases}$，解得$x=y=-2$。
此时原式分母$y^2-x^2=0$，分式无意义，故$A$不存在。

13. 已知$a$,$b$,$c$为实数,且$\frac {a + b}{ab}= 3$,$\frac {b + c}{bc}= 4$,$\frac {c + a}{ca}= 5$。
(1)求$\frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{c}$的值。
(2)求$\frac {ab + bc + ca}{abc}$的值。
(3)分别求$a$,$b$,$c$的值。

(1)$6$；(2)$6$；(3)$a=\frac{1}{2}$，$b=1$，$c=\frac{1}{3}$。

(1)由题意得：
$\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=3$，$\frac{b+c}{bc}=\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=4$，$\frac{c+a}{ca}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=5$。
设$x=\frac{1}{a}$，$y=\frac{1}{b}$，$z=\frac{1}{c}$，则：
$x+y=3$，$y+z=4$，$x+z=5$。
三式相加得：$2(x+y+z)=12$，故$x+y+z=6$，即$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$。
(2)$\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{ab}{abc}+\frac{bc}{abc}+\frac{ca}{abc}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=6$。
(3)由(1)知$x+y+z=6$，
$z=6-(x+y)=6-3=3$，即$\frac{1}{c}=3$，$c=\frac{1}{3}$；
$x=6-(y+z)=6-4=2$，即$\frac{1}{a}=2$，$a=\frac{1}{2}$；
$y=6-(x+z)=6-5=1$，即$\frac{1}{b}=1$，$b=1$。
综上，$a=\frac{1}{2}$，$b=1$，$c=\frac{1}{3}$。