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1. 某种电子元件的面积大约为$0.000 000 69 mm^{2}$,将0.000 000 69这个数用科学记数法表示为
$6.9×10^{-7}$
.答案
$6.9×10^{-7}$
解析
科学记数法的表示形式为$a×10^{n}$，其中$1\leq\vert a\vert＜10$，$n$为整数。确定$n$的值时，要看把原数变成$a$时，小数点移动了多少位，$n$的值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值$\gt1$时，$n$是正数；当原数绝对值$\lt1$时，$n$是负数。
对于$0.00000069$，要使$a$满足$1\leq\vert a\vert＜10$，则$a = 6.9$，原数变成$6.9$，小数点向右移动了$7$位，所以$n=-7$，用科学记数法表示为$6.9×10^{-7}$。
对于$0.00000069$，要使$a$满足$1\leq\vert a\vert＜10$，则$a = 6.9$，原数变成$6.9$，小数点向右移动了$7$位，所以$n=-7$，用科学记数法表示为$6.9×10^{-7}$。
2. 用科学记数法表示下列各数：
(1)$(1×10^{3})^{-4}= $______
(2)0.007 12≈
(1)$(1×10^{3})^{-4}= $______
$1×10^{-12}$
；(2)0.007 12≈
$7.1×10^{-3}$
(精确到万分位).答案
(1)$1×10^{-12}$；(2)$7.1×10^{-3}$
解析
(1) $(1×10^{3})^{-4}=1^{-4}×(10^{3})^{-4}=1×10^{-12}=1×10^{-12}$；
(2) 0.00712 万分位是小数点后第四位，第五位数字是2，四舍五入得$7.1×10^{-3}$。
(2) 0.00712 万分位是小数点后第四位，第五位数字是2，四舍五入得$7.1×10^{-3}$。
3. 计算(用科学记数法表示结果)：
(1)$(2×10^{-3})×(3×10^{-3})=$
(2)$(9×10^{4})÷(-18×10^{7})=$
(1)$(2×10^{-3})×(3×10^{-3})=$
$6×10^{-6}$
；(2)$(9×10^{4})÷(-18×10^{7})=$
$-5×10^{-4}$
.答案
(1)$6×10^{-6}$；(2)$-5×10^{-4}$
解析
(1) $(2×10^{-3})×(3×10^{-3})=(2×3)×(10^{-3}×10^{-3})=6×10^{-6}$；
(2) $(9×10^{4})÷(-18×10^{7})=(9÷(-18))×(10^{4}÷10^{7})=-0.5×10^{-3}=-5×10^{-4}$。
(2) $(9×10^{4})÷(-18×10^{7})=(9÷(-18))×(10^{4}÷10^{7})=-0.5×10^{-3}=-5×10^{-4}$。
4. 华为公司推出的业界最高性能ARM-based处理器——鲲鹏920采用7纳米制造工艺. 已知1纳米$=0.000 000 001$米,则7纳米用科学记数法表示为
7×10⁻⁹
米.答案
7×10⁻⁹
解析
因为1纳米=0.000000001米=1×10⁻⁹米，所以7纳米=7×1×10⁻⁹米=7×10⁻⁹米。
5. 把0.081 3写成$a×10^{n}(1\leqslant a\lt10$,$n$为整数)的形式,则$a$的值为(
A.1
B.-2
C.0.813
D.8.13
D
)A.1
B.-2
C.0.813
D.8.13
答案
D
解析
将$0.0813$表示为$a × 10^{n}$的形式，
其中$a$需要满足$1 \leq a ＜ 10$，
移动小数点两位到右得到$a = 8.13$，此时$n = -2$，
所以$0.0813$可以写成$8.13 × 10^{-2}$，
因此$a$的值为$8.13$。
其中$a$需要满足$1 \leq a ＜ 10$，
移动小数点两位到右得到$a = 8.13$，此时$n = -2$，
所以$0.0813$可以写成$8.13 × 10^{-2}$，
因此$a$的值为$8.13$。
6. 在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是$5×10^{-5}cm$,$2×10^{3}$个这样的细胞排成的细胞链的长是(
A.$10^{-2}$ cm
B.$10^{-1}$ cm
C.$10^{-3}$ cm
D.$10^{-4}$ cm
B
)A.$10^{-2}$ cm
B.$10^{-1}$ cm
C.$10^{-3}$ cm
D.$10^{-4}$ cm
答案
B
解析
一个细胞的直径为$5 × 10^{-5} cm$，
$2 × 10^{3}$个细胞排成的细胞链的总长为：
$(个体直径) × (细胞个数) = (5 × 10^{-5} ) × (2 × 10^{3} )$
根据指数运算规则：
$5 × 2 = 10$，
$10^{-5} × 10^{3} = 10^{-5+3} = 10^{-2}$，
所以，总长为：
$10 × 10^{-2} = 10^{-1} cm$。
$2 × 10^{3}$个细胞排成的细胞链的总长为：
$(个体直径) × (细胞个数) = (5 × 10^{-5} ) × (2 × 10^{3} )$
根据指数运算规则：
$5 × 2 = 10$，
$10^{-5} × 10^{3} = 10^{-5+3} = 10^{-2}$，
所以，总长为：
$10 × 10^{-2} = 10^{-1} cm$。
7. 将0.006 25按四舍五入法取近似值并保留两个有效数字,用科学记数法表示它为(
A.$6.25×10^{-2}$
B.$6.25×10^{-3}$
C.$6.3×10^{-3}$
D.$0.63×10^{-4}$
C
)A.$6.25×10^{-2}$
B.$6.25×10^{-3}$
C.$6.3×10^{-3}$
D.$0.63×10^{-4}$
答案
C
解析
首先将$0.00625$转换为科学记数法，即$6.25 × 10^{-3}$。
需要保留两个有效数字，因此看第三个有效数字（即小数点后第二位后的数字）进行四舍五入，$6.25$中第三位是$5$，所以第二位$2$进$1$，变为$6.3$。
因此近似值为$6.3 × 10^{-3}$。
需要保留两个有效数字，因此看第三个有效数字（即小数点后第二位后的数字）进行四舍五入，$6.25$中第三位是$5$，所以第二位$2$进$1$，变为$6.3$。
因此近似值为$6.3 × 10^{-3}$。
8. 下列各式中,错误的是(
A.$0.001 = 10^{-3}$
B.$\frac{1}{0.001} = 10^{3}$
C.$3 000 = 3×10^{3}$
D.$(-0.01)^{-3} = 10^{6}$
D
)A.$0.001 = 10^{-3}$
B.$\frac{1}{0.001} = 10^{3}$
C.$3 000 = 3×10^{3}$
D.$(-0.01)^{-3} = 10^{6}$
答案
D
解析
A. $0.001 = 10^{-3}$，正确。
B. $\frac{1}{0.001} = \frac{1}{10^{-3}} = 10^{3}$，正确。
C. $3000 = 3 × 10^{3}$，正确。
D. $(-0.01)^{-3} = \left( -\frac{1}{100} \right)^{-3} = \left( -10^{-2} \right)^{-3} = (-1)^{-3} × 10^{6} = -10^{6}$，
原式$(-0.01)^{-3} = 10^{6}$是错误的。
B. $\frac{1}{0.001} = \frac{1}{10^{-3}} = 10^{3}$，正确。
C. $3000 = 3 × 10^{3}$，正确。
D. $(-0.01)^{-3} = \left( -\frac{1}{100} \right)^{-3} = \left( -10^{-2} \right)^{-3} = (-1)^{-3} × 10^{6} = -10^{6}$，
原式$(-0.01)^{-3} = 10^{6}$是错误的。
9. 已知$0.03×0.005 = 1.5×10^{n}$,则$n$等于(
A.-4
B.-5
C.-6
D.-7
A
)A.-4
B.-5
C.-6
D.-7
答案
A
解析
0.03=3×10⁻²，0.005=5×10⁻³，0.03×0.005=3×10⁻²×5×10⁻³=15×10⁻⁵=1.5×10⁻⁴，故n=-4
10. 计算：(1)$(2×10^{5})÷(8×10^{-5})$；
(2)$6×10^{-3}×(1.2×10^{-4})÷(3×10^{-1})^{2}$.
(2)$6×10^{-3}×(1.2×10^{-4})÷(3×10^{-1})^{2}$.
答案
(1)
$\begin{aligned}&(2×10^{5}) ÷ (8×10^{-5}) \\=& \frac{2}{8} × 10^{5 - (-5)} \\=& 0.25 × 10^{10} \\=& 2.5 × 10^{9}.\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&6×10^{-3} × (1.2×10^{-4}) ÷ (3×10^{-1})^{2} \\=& 6×1.2× 10^{-3}×10^{-4} ÷ (9×10^{-2}) \\=& 7.2× 10^{-7} ÷ (9×10^{-2}) \\=& \frac{7.2}{9} × 10^{-7 - (-2)} \\=& 0.8× 10^{-5} \\=& 8× 10^{-6}.\end{aligned}$
$\begin{aligned}&(2×10^{5}) ÷ (8×10^{-5}) \\=& \frac{2}{8} × 10^{5 - (-5)} \\=& 0.25 × 10^{10} \\=& 2.5 × 10^{9}.\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&6×10^{-3} × (1.2×10^{-4}) ÷ (3×10^{-1})^{2} \\=& 6×1.2× 10^{-3}×10^{-4} ÷ (9×10^{-2}) \\=& 7.2× 10^{-7} ÷ (9×10^{-2}) \\=& \frac{7.2}{9} × 10^{-7 - (-2)} \\=& 0.8× 10^{-5} \\=& 8× 10^{-6}.\end{aligned}$
11. 已知$3^{m} = \frac{1}{27}$,$(\frac{1}{2})^{n} = 16$,求$m^{n}$的值.
答案
由 $3^{m} =\frac{1}{27}$，得 $m = \log_{3}{\frac{1}{27}} = \log_{3}{3^{-3}} = -3$，
由 $(\frac{1}{2})^{n} = 16$，得 $n = \log_{\frac{1}{2}}{16} = \log_{\frac{1}{2}}{2^{4}} = -4÷1= -4$ （因为$\frac{1}{2}=2^{-1}$，所以$n = \log_{2^{-1}}{2^{4}} = -4$），
$m^{n} = (-3)^{-4} = \frac{1}{(-3)^{4}} = \frac{1}{81}$，
所以$m^n$的值为$\frac{1}{81}$。
由 $(\frac{1}{2})^{n} = 16$，得 $n = \log_{\frac{1}{2}}{16} = \log_{\frac{1}{2}}{2^{4}} = -4÷1= -4$ （因为$\frac{1}{2}=2^{-1}$，所以$n = \log_{2^{-1}}{2^{4}} = -4$），
$m^{n} = (-3)^{-4} = \frac{1}{(-3)^{4}} = \frac{1}{81}$，
所以$m^n$的值为$\frac{1}{81}$。
12. 已知$a\gt0$,$b\gt0$,且$a$,$b$为整数,$a^{b} + a^{-b} = x$,$a^{b} - a^{-b} = y$.
(1)试探究$x$,$y$之间满足的关系；
(2)求当$y = 1$时,$x^{2}$的值.
(1)试探究$x$,$y$之间满足的关系；
(2)求当$y = 1$时,$x^{2}$的值.
答案
(1)
已知$x = a^{b}+a^{-b}$，$y = a^{b}-a^{-b}$。
则$x + y=(a^{b}+a^{-b})+(a^{b}-a^{-b}) = 2a^{b}$；
$x - y=(a^{b}+a^{-b})-(a^{b}-a^{-b}) = 2a^{-b}$。
所以$(x + y)(x - y)=(2a^{b})(2a^{-b})$，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$(2a^{b})(2a^{-b}) = 4a^{b + (-b)}=4$。
根据平方差公式$(x + y)(x - y)=x^{2}-y^{2}$，所以$x^{2}-y^{2}=4$。
(2)
当$y = 1$时，将其代入$x^{2}-y^{2}=4$中，可得$x^{2}-1^{2}=4$，即$x^{2}=4 + 1=5$。
综上，(1)中$x$，$y$满足的关系为$x^{2}-y^{2}=4$；(2)中$x^{2}$的值为$5$。
已知$x = a^{b}+a^{-b}$，$y = a^{b}-a^{-b}$。
则$x + y=(a^{b}+a^{-b})+(a^{b}-a^{-b}) = 2a^{b}$；
$x - y=(a^{b}+a^{-b})-(a^{b}-a^{-b}) = 2a^{-b}$。
所以$(x + y)(x - y)=(2a^{b})(2a^{-b})$，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$(2a^{b})(2a^{-b}) = 4a^{b + (-b)}=4$。
根据平方差公式$(x + y)(x - y)=x^{2}-y^{2}$，所以$x^{2}-y^{2}=4$。
(2)
当$y = 1$时，将其代入$x^{2}-y^{2}=4$中，可得$x^{2}-1^{2}=4$，即$x^{2}=4 + 1=5$。
综上，(1)中$x$，$y$满足的关系为$x^{2}-y^{2}=4$；(2)中$x^{2}$的值为$5$。
