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将多项式 $ 4x^{2}+1 $ 加上一项,使它能分解因式成 $ (a + b)^{2} $ 的形式,以下是四名学生所加的项,其中错误的是(
A.$ 2x $
B.$ -4x $
C.$ 4x^{4} $
D.$ 4x $
A
)A.$ 2x $
B.$ -4x $
C.$ 4x^{4} $
D.$ 4x $
答案
A
解析
要将多项式 $4x^{2} + 1$ 加上一项使其成为完全平方形式 $(a + b)^{2}$，需满足以下条件：
1. 完全平方形式为 $a^{2} + 2ab + b^{2}$。
2. 原式为 $4x^{2} + 1$，可视为 $a^{2} = 4x^{2}$，$b^{2} = 1$，即 $a = 2x$，$b = 1$。
3. 缺少的中间项为 $2ab = 2 × 2x × 1 = 4x$。
4. 补充的项可以为 $4x$ 或 $-4x$（形成 $(2x \pm 1)^2$），或添加 $4x^{4}$ 形成 $(2x^{2} + 1)^2$（此时需调整 $a = 2x^{2}$）。
5. 选项A的 $2x$ 不满足 $2ab$ 的条件，无法构成完全平方。
1. 完全平方形式为 $a^{2} + 2ab + b^{2}$。
2. 原式为 $4x^{2} + 1$，可视为 $a^{2} = 4x^{2}$，$b^{2} = 1$，即 $a = 2x$，$b = 1$。
3. 缺少的中间项为 $2ab = 2 × 2x × 1 = 4x$。
4. 补充的项可以为 $4x$ 或 $-4x$（形成 $(2x \pm 1)^2$），或添加 $4x^{4}$ 形成 $(2x^{2} + 1)^2$（此时需调整 $a = 2x^{2}$）。
5. 选项A的 $2x$ 不满足 $2ab$ 的条件，无法构成完全平方。
1. 分解因式：
(1) $ 3x^{2}-18x + 27 = $
(2) $ 2x^{2}-8xy + 8y^{2} = $
(1) $ 3x^{2}-18x + 27 = $
$3(x - 3)^{2}$
；(2) $ 2x^{2}-8xy + 8y^{2} = $
$2(x - 2y)^{2}$
.答案
(1)
首先提取公因式$3$，可得：$3x^{2}-18x + 27=3(x^{2}-6x + 9)$。
对括号内的式子$x^{2}-6x + 9$，根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a = x$，$b = 3$，则$x^{2}-6x + 9=(x - 3)^{2}$。
所以$3x^{2}-18x + 27=3(x - 3)^{2}$。
(2)
首先提取公因式$2$，可得：$2x^{2}-8xy + 8y^{2}=2(x^{2}-4xy + 4y^{2})$。
对括号内的式子$x^{2}-4xy + 4y^{2}$，根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a - b)^2$，其中$a = x$，$b = 2y$，则$x^{2}-4xy + 4y^{2}=(x - 2y)^{2}$。
所以$2x^{2}-8xy + 8y^{2}=2(x - 2y)^{2}$。
故答案为：(1)$3(x - 3)^{2}$；(2)$2(x - 2y)^{2}$。
首先提取公因式$3$，可得：$3x^{2}-18x + 27=3(x^{2}-6x + 9)$。
对括号内的式子$x^{2}-6x + 9$，根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a = x$，$b = 3$，则$x^{2}-6x + 9=(x - 3)^{2}$。
所以$3x^{2}-18x + 27=3(x - 3)^{2}$。
(2)
首先提取公因式$2$，可得：$2x^{2}-8xy + 8y^{2}=2(x^{2}-4xy + 4y^{2})$。
对括号内的式子$x^{2}-4xy + 4y^{2}$，根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a - b)^2$，其中$a = x$，$b = 2y$，则$x^{2}-4xy + 4y^{2}=(x - 2y)^{2}$。
所以$2x^{2}-8xy + 8y^{2}=2(x - 2y)^{2}$。
故答案为：(1)$3(x - 3)^{2}$；(2)$2(x - 2y)^{2}$。
2. 分解因式：
(1) $ ab^{2}-2ab + a = $
(2) $ (a + b)^{2}-6(a + b)+9 = $
(1) $ ab^{2}-2ab + a = $
$a(b - 1)^{2}$
；(2) $ (a + b)^{2}-6(a + b)+9 = $
$(a + b - 3)^{2}$
.答案
(1)
首先，从 $ab^{2} - 2ab + a$ 中提取公因式 $a$，得到：
$ab^{2} - 2ab + a = a(b^{2} - 2b + 1)$
观察 $b^{2} - 2b + 1$，这是一个完全平方公式，即 $(b - 1)^{2}$，所以：
$a(b^{2} - 2b + 1) = a(b - 1)^{2}$
(2)
将 $(a + b)^{2} - 6(a + b) + 9$ 视为一个完全平方公式，即：
$(a + b)^{2} - 6(a + b) + 9 = (a + b - 3)^{2}$
首先，从 $ab^{2} - 2ab + a$ 中提取公因式 $a$，得到：
$ab^{2} - 2ab + a = a(b^{2} - 2b + 1)$
观察 $b^{2} - 2b + 1$，这是一个完全平方公式，即 $(b - 1)^{2}$，所以：
$a(b^{2} - 2b + 1) = a(b - 1)^{2}$
(2)
将 $(a + b)^{2} - 6(a + b) + 9$ 视为一个完全平方公式，即：
$(a + b)^{2} - 6(a + b) + 9 = (a + b - 3)^{2}$
解析
(1) $a(b-1)^{2}$
(2) $(a+b-3)^{2}$
3. 若 $ m^{2}+km + 4 $ 是完全平方式,则 $ k = $
±4
.答案
±4
解析
因为$m^{2}+km + 4$是完全平方式，所以$m^{2}+km + 4=(m\pm2)^{2}=m^{2}\pm4m + 4$，则$k=\pm4$。
4. 将多项式 $ 2mx^{2}-8mx + 8m $ 分解因式,正确的结果是(
A.$ 2(mx^{2}-4mx + 4m) $
B.$ 2m(x^{2}-4x + 4) $
C.$ 2m(x - 2)^{2} $
D.$ 2m(x + 2)(x - 2) $
C
)A.$ 2(mx^{2}-4mx + 4m) $
B.$ 2m(x^{2}-4x + 4) $
C.$ 2m(x - 2)^{2} $
D.$ 2m(x + 2)(x - 2) $
答案
C
解析
首先提取公因式 $2m$，得到：
$2mx^{2} - 8mx + 8m = 2m(x^{2} - 4x + 4)$。
观察括号内的多项式 $x^{2} - 4x + 4$，这是一个完全平方多项式，它可以写成 $(x - 2)^{2}$。
因此，原式可以进一步分解为：
$2m(x^{2} - 4x + 4) = 2m(x - 2)^{2}$。
$2mx^{2} - 8mx + 8m = 2m(x^{2} - 4x + 4)$。
观察括号内的多项式 $x^{2} - 4x + 4$，这是一个完全平方多项式，它可以写成 $(x - 2)^{2}$。
因此，原式可以进一步分解为：
$2m(x^{2} - 4x + 4) = 2m(x - 2)^{2}$。
5. 将下列多项式分解因式,结果中不含有因式 $ a + 1 $ 的是(
A.$ a^{2}-1 $
B.$ a^{2}+a $
C.$ a^{2}+a - 2 $
D.$ (a + 2)^{2}-2(a + 2)+1 $
C
)A.$ a^{2}-1 $
B.$ a^{2}+a $
C.$ a^{2}+a - 2 $
D.$ (a + 2)^{2}-2(a + 2)+1 $
答案
C
解析
A. $a^{2} - 1$ 是一个差平方形式，可以分解为 $(a + 1)(a - 1)$，含有因式 $a + 1$，不符合题意。
B. $a^{2} + a$ 可以提取公因式 $a$，得到 $a(a + 1)$，含有因式 $a + 1$，不符合题意。
C. $a^{2} + a - 2$ 使用十字相乘法分解，得到 $(a - 1)(a + 2)$，不含有因式 $a + 1$，符合题意。
D. $(a + 2)^{2} - 2(a + 2) + 1$ 可以看作是一个完全平方形式，即 $[(a + 2) - 1]^{2} = (a + 1)^{2}$，含有因式 $a + 1$，不符合题意。
B. $a^{2} + a$ 可以提取公因式 $a$，得到 $a(a + 1)$，含有因式 $a + 1$，不符合题意。
C. $a^{2} + a - 2$ 使用十字相乘法分解，得到 $(a - 1)(a + 2)$，不含有因式 $a + 1$，符合题意。
D. $(a + 2)^{2} - 2(a + 2) + 1$ 可以看作是一个完全平方形式，即 $[(a + 2) - 1]^{2} = (a + 1)^{2}$，含有因式 $a + 1$，不符合题意。
6. 如图是一个正方形,将它分成四部分,其面积分别是 $ a^{2},ab,ab,b^{2} $,则原正方形的边长是(
A.$ a^{2}+b^{2} $
B.$ a + b $
C.$ a - b $
D.$ a^{2}-b^{2} $
B
)A.$ a^{2}+b^{2} $
B.$ a + b $
C.$ a - b $
D.$ a^{2}-b^{2} $
答案
B
解析
正方形面积为：$a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$。
根据完全平方公式可得：$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$。
因为正方形面积等于边长的平方，已知面积为$(a+b)^{2}$，所以原正方形的边长是$a + b$。
根据完全平方公式可得：$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$。
因为正方形面积等于边长的平方，已知面积为$(a+b)^{2}$，所以原正方形的边长是$a + b$。
7. 关于 $ x,y $ 的多项式 $ x^{2}-4xy + 5y^{2}+8y + 15 $ 的最小值为(
A.$ -1 $
B.$ 0 $
C.$ 1 $
D.$ 2 $
A
)A.$ -1 $
B.$ 0 $
C.$ 1 $
D.$ 2 $
答案
A
解析
$x^{2}-4xy + 5y^{2}+8y + 15$
$=x^{2}-4xy + 4y^{2}+y^{2}+8y + 15$
$=(x - 2y)^{2}+(y^{2}+8y + 16)-1$
$=(x - 2y)^{2}+(y + 4)^{2}-1$
因为$(x - 2y)^{2}\geq0$，$(y + 4)^{2}\geq0$，所以当$x - 2y = 0$且$y + 4 = 0$时，多项式取最小值$-1$。
$=x^{2}-4xy + 4y^{2}+y^{2}+8y + 15$
$=(x - 2y)^{2}+(y^{2}+8y + 16)-1$
$=(x - 2y)^{2}+(y + 4)^{2}-1$
因为$(x - 2y)^{2}\geq0$，$(y + 4)^{2}\geq0$，所以当$x - 2y = 0$且$y + 4 = 0$时，多项式取最小值$-1$。
8. 分解因式：
(1) $ 4x^{2}-20x + 25 $； (2) $ ax^{2}-4ax + 4a $；
(3) $ xy^{3}-2x^{2}y^{2}+x^{3}y $；
(4) $ (x^{2}+y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2} $.
(1) $ 4x^{2}-20x + 25 $； (2) $ ax^{2}-4ax + 4a $；
(3) $ xy^{3}-2x^{2}y^{2}+x^{3}y $；
(4) $ (x^{2}+y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2} $.
答案
(1) $4x^{2}-20x + 25=(2x)^{2}-2×2x×5 + 5^{2}=(2x - 5)^{2}$
(2) $ax^{2}-4ax + 4a=a(x^{2}-4x + 4)=a(x^{2}-2× x×2 + 2^{2})=a(x - 2)^{2}$
(3) $xy^{3}-2x^{2}y^{2}+x^{3}y=xy(y^{2}-2xy + x^{2})=xy(x^{2}-2xy + y^{2})=xy(x - y)^{2}$
(4) $(x^{2}+y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2})^{2}-(2xy)^{2}=(x^{2}+y^{2}+2xy)(x^{2}+y^{2}-2xy)=(x + y)^{2}(x - y)^{2}$
(2) $ax^{2}-4ax + 4a=a(x^{2}-4x + 4)=a(x^{2}-2× x×2 + 2^{2})=a(x - 2)^{2}$
(3) $xy^{3}-2x^{2}y^{2}+x^{3}y=xy(y^{2}-2xy + x^{2})=xy(x^{2}-2xy + y^{2})=xy(x - y)^{2}$
(4) $(x^{2}+y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2})^{2}-(2xy)^{2}=(x^{2}+y^{2}+2xy)(x^{2}+y^{2}-2xy)=(x + y)^{2}(x - y)^{2}$
