确定最简公分母的一般方法
(1)分母是单项式,最简公分母是各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂和所有不同字母及其指数的乘积；
(2)若各分母中有多项式,则要先分解因式,再按照分母都是单项式求最简公分母的方法,从系数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母。
注意：在确定几个分式的最简公分母时,不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数。

确定最简公分母的一般方法：
1. 分母是单项式：最简公分母是各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂和所有不同字母及其指数的乘积。
2. 分母中有多项式：先分解因式，再按分母是单项式的方法，从系数（最小公倍数）、相同因式（最高次幂）、不同因式（所有）三个方面确定。
注意：不遗漏只在一个分母中出现的字母及其指数。

5. 若将分式$\frac{3m}{m + n}与\frac{4n}{2(m - n)}$通分,则分式$\frac{3m}{m + n}$的分子应变为()
A.$6m^{2} - 6mn$
B.$6m - 6n$
C.$2(m - n)$
D.$2(m - n)(m + n)$

A

要将分式$\frac{3m}{m + n}$与$\frac{4n}{2(m - n)}$通分，先找最简公分母。分母分别为$m + n$和$2(m - n)$，最简公分母是$2(m + n)(m - n)$。$\frac{3m}{m + n}$的分母变为最简公分母需乘$2(m - n)$，分子也乘$2(m - n)$，即$3m × 2(m - n) = 6m(m - n) = 6m^2 - 6mn$。

6. 分式$\frac{1}{2x^{2}y}$,$\frac{1}{6xy^{3}}$的最简公分母是；分式$\frac{1}{2x - 2y}$,$\frac{x}{x^{2} - y^{2}}$,$\frac{y}{2x}$的最简公分母是。

$6x^{2}y^{3}$；$2x(x + y)(x - y)$

对于第一组分式$\frac{1}{2x^{2}y}$和$\frac{1}{6xy^{3}}$：
取各分母系数的最小公倍数，$2$和$6$的最小公倍数是$6$；
凡出现的字母$x$、$y$都要取到，$x$的最高次幂是$2$，$y$的最高次幂是$3$，所以最简公分母是$6x^{2}y^{3}$。
对于第二组分式$\frac{1}{2x - 2y}$、$\frac{x}{x^{2} - y^{2}}$、$\frac{y}{2x}$：
先对各分母进行因式分解，$2x - 2y = 2(x - y)$，$x^{2} - y^{2}=(x + y)(x - y)$；
取各分母系数的最小公倍数，$2$和$1$的最小公倍数是$2$；
凡出现的字母$x$和因式$x - y$、$x + y$都要取到，所以最简公分母是$2x(x + y)(x - y)$。

7. 通分：
(1)$\frac{4a}{5b^{2}c}$,$\frac{3c}{10a^{2}b}$,$\frac{5b}{-2ac^{2}}$；
(2)$\frac{2n}{n - 2}与\frac{3n}{n + 3}$；(3)$\frac{1}{x^{2} - 4}$,$\frac{3}{4 - 2x}$。

(1)最简公分母为$10a^{2}b^{2}c^{2}$
$\frac{4a}{5b^{2}c}=\frac{4a\cdot2a^{2}c}{5b^{2}c\cdot2a^{2}c}=\frac{8a^{3}c}{10a^{2}b^{2}c^{2}}$
$\frac{3c}{10a^{2}b}=\frac{3c\cdot bc^{2}}{10a^{2}b\cdot bc^{2}}=\frac{3bc^{3}}{10a^{2}b^{2}c^{2}}$
$\frac{5b}{-2ac^{2}}=-\frac{5b\cdot5ab^{2}}{2ac^{2}\cdot5ab^{2}}=-\frac{25ab^{3}}{10a^{2}b^{2}c^{2}}$
(2)最简公分母为$(n-2)(n+3)$
$\frac{2n}{n-2}=\frac{2n(n+3)}{(n-2)(n+3)}=\frac{2n^{2}+6n}{(n-2)(n+3)}$
$\frac{3n}{n+3}=\frac{3n(n-2)}{(n-2)(n+3)}=\frac{3n^{2}-6n}{(n-2)(n+3)}$
(3)最简公分母为$2(x-2)(x+2)$
$\frac{1}{x^{2}-4}=\frac{1}{(x-2)(x+2)}=\frac{2}{2(x-2)(x+2)}$
$\frac{3}{4-2x}=\frac{3}{-2(x-2)}=-\frac{3(x+2)}{2(x-2)(x+2)}=\frac{-3x-6}{2(x-2)(x+2)}$

1. 在分式$\frac{1}{2a}$,$\frac{3a + 1}{3a}$,$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$,$\frac{a^{2} - b^{2}}{a - b}$,$\frac{(a + b)^{2}}{a + b}$中,最简分式的个数是()
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$

B

最简分式是分子与分母没有公因式的分式。
$\frac{1}{2a}$：分子1与分母2a没有公因式，是最简分式。
$\frac{3a + 1}{3a}$：分子3a+1与分母3a没有公因式，是最简分式。
$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$：分母$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，分子$x^2 + y^2$不能分解，分子分母无公因式，是最简分式。
$\frac{a^{2} - b^{2}}{a - b}$：分子$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，与分母$a - b$有公因式$a - b$，不是最简分式。
$\frac{(a + b)^{2}}{a + b}$：分子分母有公因式$a + b$，不是最简分式。
综上，最简分式有3个。

2. $\frac{1}{a^{2} - ab}与\frac{1}{a^{2} + ab}$的最简公分母是()
A.$a(a + b)$
B.$a(a - b)$
C.$a(a + b)(a - b)$
D.$a^{2}(a + b)(a - b)$

C

先对两个分式的分母进行因式分解，$a^2 - ab = a(a - b)$，$a^2 + ab = a(a + b)$。最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的乘积，所以最简公分母为$a(a + b)(a - b)$。

3. 分式$\frac{a^{2} - b^{2}}{(a - b)^{2}}$化简为最简分式的结果为。

$\frac{a + b}{a - b}$（或填化简结果的形式如：“(a+b)/(a-b)”）

原式为$\frac{a^{2} - b^{2}}{(a - b)^{2}}$，
首先对分子进行因式分解，利用平方差公式，得到$a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$，
然后，将分解后的分子代入原式，得到$\frac{(a + b)(a - b)}{(a - b)^{2}}$，
接着，对分子和分母都除以$a - b$（假设$a\neq b$），进行约分，
得到$\frac{a + b}{a - b}$，
所以最简分式的结果为$\frac{a + b}{a - b}$。

4. 约分：
(1)$\frac{a^{2}}{2a} = $；(2)$\frac{m^{2} - mn}{m^{2} - n^{2}} = $；
(3)$\frac{xy^{2}}{xy} = $；(4)$\frac{3 - x}{x^{2} - 6x + 9} = $。

(1)
$\frac{a^{2}}{2a}=\frac{a\cdot a}{2\cdot a}=\frac{a}{2}$
(2)
对分子$m^{2}-mn$提取公因式$m$得$m(m - n)$；
对分母$m^{2}-n^{2}$根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$得$(m + n)(m - n)$。
则$\frac{m^{2}-mn}{m^{2}-n^{2}}=\frac{m(m - n)}{(m + n)(m - n)}=\frac{m}{m + n}$
(3)
$\frac{xy^{2}}{xy}=\frac{xy\cdot y}{xy\cdot1}=y$
(4)
对分母$x^{2}-6x + 9$根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$得$(x - 3)^{2}$，
$3-x=-(x - 3)$
则$\frac{3 - x}{x^{2}-6x + 9}=\frac{-(x - 3)}{(x - 3)^{2}}=-\frac{1}{x - 3}$
答案依次为：(1)$\frac{a}{2}$；(2)$\frac{m}{m + n}$；(3)$y$；(4)$-\frac{1}{x - 3}$。

5. 分式$\frac{3}{a - b}和\frac{2a}{b^{2} - ab}$通分后分别变为和(写出一种情况即可)。

$\frac{3b}{b(a - b)}$，$\frac{-2a}{b(a - b)}$

先对第二个分式的分母因式分解，$b^2 - ab = b(b - a) = -b(a - b)$。两个分式的分母分别为$a - b$和$-b(a - b)$，最简公分母为$b(a - b)$。将$\frac{3}{a - b}$分子分母同乘$b$得$\frac{3b}{b(a - b)}$；将$\frac{2a}{-b(a - b)}$分子分母同乘$-1$得$\frac{-2a}{b(a - b)}$。

6. 约分：
(1)$\frac{3a^{2}b}{6ab^{2}c}$；(2)$\frac{2(x - y)^{3}}{y - x}$；
(3)$\frac{xy^{2} + 2y}{y^{2}}$；(4)$\frac{a^{2} + 2a + 1}{a^{2} - 1}$。

(1)
$\frac{3a^{2}b}{6ab^{2}c}=\frac{a}{2bc}$
(2)
因为$y - x=-(x - y)$，所以$\frac{2(x - y)^{3}}{y - x}=\frac{2(x - y)^{3}}{-(x - y)}=-2(x - y)^{2}$
(3)
对分子提取公因式$y$得$\frac{xy^{2} + 2y}{y^{2}}=\frac{y(xy + 2)}{y^{2}}=\frac{xy + 2}{y}$
(4)
对分子$a^{2}+2a + 1=(a + 1)^{2}$，分母$a^{2}-1=(a + 1)(a - 1)$，则$\frac{a^{2} + 2a + 1}{a^{2} - 1}=\frac{(a + 1)^{2}}{(a + 1)(a - 1)}=\frac{a + 1}{a - 1}$

7. 先化简,再求值：
(1)$\frac{(a^{3})^{2}}{a^{4}} - \frac{2a^{4} \cdot a}{a^{3}}$,其中$a = - 2$；
(2)$\frac{4b^{2} - a^{2}}{a^{2} - 4ab + 4b^{2}}$,其中$a = 2$,$b = - 2$。

(1)
首先，根据幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$，对$\frac{(a^{3})^{2}}{a^{4}}$化简：
$\frac{(a^{3})^{2}}{a^{4}}=\frac{a^{6}}{a^{4}}$
再根据同底数幂的除法运算法则$a^m÷ a^n = a^{m - n}$，可得$\frac{a^{6}}{a^{4}}=a^{6 - 4}=a^{2}$。
接着，根据同底数幂的乘法运算法则$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$，对$\frac{2a^{4}\cdot a}{a^{3}}$化简：
$2a^{4}\cdot a = 2a^{4 + 1}=2a^{5}$
则$\frac{2a^{4}\cdot a}{a^{3}}=\frac{2a^{5}}{a^{3}}$
根据同底数幂的除法运算法则，$\frac{2a^{5}}{a^{3}}=2a^{5 - 3}=2a^{2}$。
所以原式$\frac{(a^{3})^{2}}{a^{4}}-\frac{2a^{4}\cdot a}{a^{3}}=a^{2}-2a^{2}=-a^{2}$。
当$a = - 2$时，$-a^{2}=-(-2)^{2}=-4$。
(2)
对分子$4b^{2}-a^{2}$，根据平方差公式$m^2 - n^2=(m + n)(m - n)$，其中$m = 2b$，$n = a$，可得$4b^{2}-a^{2}=(2b + a)(2b - a)$。
对分母$a^{2}-4ab + 4b^{2}$，根据完全平方公式$m^2-2mn + n^2=(m - n)^2$，其中$m = a$，$n = 2b$，可得$a^{2}-4ab + 4b^{2}=(a - 2b)^{2}$。
所以原式$\frac{4b^{2}-a^{2}}{a^{2}-4ab + 4b^{2}}=\frac{(2b + a)(2b - a)}{(a - 2b)^{2}}=\frac{-(a + 2b)(a - 2b)}{(a - 2b)^{2}}=-\frac{a + 2b}{a - 2b}$。
当$a = 2$，$b = - 2$时，$-\frac{a + 2b}{a - 2b}=-\frac{2+2×(-2)}{2-2×(-2)}=-\frac{2 - 4}{2 + 4}=-\frac{-2}{6}=\frac{1}{3}$。
综上，答案依次为：(1)化简结果为$-a^{2}$，值为$-4$；(2)化简结果为$-\frac{a + 2b}{a - 2b}$，值为$\frac{1}{3}$。