9. 定义新运算：$x\oplus y = 2^{x}\cdot 2^{y}$。
(1)求$3\oplus 1$的值。
(2)若$2\oplus (4m + 5)= 8$,求$m$的值。

(1)
根据新运算定义$x\oplus y = 2^{x}\cdot 2^{y}$，将$x = 3$，$y = 1$代入可得：
$3\oplus1=2^{3}\cdot2^{1}$
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}$，则$2^{3}\cdot2^{1}=2^{3 + 1}=2^{4}=16$。
(2)
首先根据新运算定义将$2\oplus(4m + 5)$转化为指数运算形式：
$2\oplus(4m + 5)=2^{2}\cdot2^{4m + 5}$
再根据同底数幂的乘法法则，$2^{2}\cdot2^{4m + 5}=2^{2+4m + 5}=2^{4m + 7}$。
因为$2\oplus(4m + 5)=8$，而$8 = 2^{3}$，所以$2^{4m + 7}=2^{3}$。
根据指数的性质，若两个同底数幂相等，则指数也相等，可得方程$4m+7 = 3$。
解方程$4m+7 = 3$，移项可得$4m=3 - 7=-4$，两边同时除以$4$，解得$m = - 1$。
综上，答案为：(1)$16$；(2)$m=-1$。

10. 若$3^{x}= a$,$3^{y}= b$,$3^{n}= ab$,则下列等式成立的是()
A.$n = 5x + y$
B.$n = xy$
C.$n = x + y$
D.$n = x - y$

C

已知 $3^{x} = a$，$3^{y} = b$，则 $ab = 3^{x} \cdot 3^{y} = 3^{x+y}$（根据同底数幂的乘法法则）。
又因为 $3^{n} = ab$，所以 $3^{n} = 3^{x+y}$，因此 $n = x + y$。

11. 已知$x = 2^{m}+1$,$y = 3 + 2^{m + 1}$,若用含$x的代数式表示y$,则$y= $。

$2x + 1$

由$x = 2^{m} + 1$，得$2^{m}=x - 1$。$y = 3 + 2^{m + 1}=3 + 2 × 2^{m}=3 + 2(x - 1)=2x + 1$

12. 计算下列各题：
(1)$(2m - n)\cdot (n - 2m)^{2}\cdot (n - 2m)^{3}\cdot (2m - n)^{4}$；
(2)$10^{3}× 10× 10^{5}× 1000$；
(3)$(a - b)^{3}\cdot (b - a)^{2}\cdot (b - a)$；
(4)$(a + b)(b + a)\cdot (b + a)^{2}+(a + b)^{2}\cdot (-a - b)^{2}$。

(1)
$(2m - n)\cdot (n - 2m)^{2}\cdot (n - 2m)^{3}\cdot (2m - n)^{4}$
$=-(n - 2m)\cdot (n - 2m)^{2}\cdot (n - 2m)^{3}\cdot (n - 2m)^{4}$
$=- (n - 2m)^{1 + 2 + 3 + 4}$
$=- (n - 2m)^{10}$
(2)
$10^{3}× 10× 10^{5}× 1000$
$=10^{3}× 10^{1}× 10^{5}× 10^{3}$
$=10^{3 + 1+5 + 3}$
$=10^{12}$
(3)
$(a - b)^{3}\cdot (b - a)^{2}\cdot (b - a)$
$=-(a - b)^{3}\cdot (a - b)^{2}\cdot (a - b)$
$=-(a - b)^{3 + 2+1}$
$=-(a - b)^{6}$
(4)
$(a + b)(b + a)\cdot (b + a)^{2}+(a + b)^{2}\cdot (-a - b)^{2}$
$=(a + b)^{1 + 1+2}+(a + b)^{2}\cdot (a + b)^{2}$
$=(a + b)^{4}+(a + b)^{4}$
$=2(a + b)^{4}$

13. 基本事实：若$a^{m}= a^{n}$($a＞0且a\neq 1$,$m$,$n$是正整数),则$m = n$。试利用上述基本事实分别求下列各等式中$x$的值：
①$2× 2^{x}× 2^{x + 2}= 2^{7}$；②$2^{x + 2}+2^{x + 1}= 24$。

①$x=2$；②$x=2$

①
$2×2^{x}×2^{x+2}=2^{1}×2^{x}×2^{x+2}=2^{1+x+x+2}=2^{2x+3}$
$\because 2×2^{x}×2^{x+2}=2^{7}$
$\therefore 2^{2x+3}=2^{7}$
$\because a＞0$且$a\neq1$时，$a^{m}=a^{n}\Rightarrow m=n$
$\therefore 2x+3=7$
解得$x=2$
②
$2^{x+2}+2^{x+1}=2^{x+1}×2 + 2^{x+1}=2^{x+1}(2+1)=3×2^{x+1}$
$\because 2^{x+2}+2^{x+1}=24$
$\therefore 3×2^{x+1}=24$
$\Rightarrow 2^{x+1}=8=2^{3}$
$\because a＞0$且$a\neq1$时，$a^{m}=a^{n}\Rightarrow m=n$
$\therefore x+1=3$
解得$x=2$

14. (1)(新定义)定义一种新运算$(a,b)$：若$a^{c}= b$,则$(a,b)= c$,例如：$(2,8)= 3$,$(3,81)= 4$。若$(4,n)= 3$,则$n= $；若$(3,c)+(3,d)= (3,m)$,则$m$的值为(用含$c$,$d$的代数式表示)；
(2)已知$x满足2^{2x + 2}-2^{2x + 1}= 32$,则$x$的值为。

(1) 64，$cd$；
(2) 2

(1)
根据定义$(4,n)=3$，即$4^3 = n$，所以$n = 64$。
根据定义$(3,c)=a$，$(3,d)=b$，则$3^a = c$，$3^b = d$。
由同底数幂相加规则，$a + b = (3,m)$，即$3^{a+b} = m$。
由$c × d = 3^a × 3^b = 3^{a+b} = m$，所以$m = c × d$。
(2)
已知$2^{2x+2} - 2^{2x+1} = 32$，提取公因子$2^{2x+1}$，得$2^{2x+1}(2 - 1) = 32$，即$2^{2x+1} = 32$。
$32 = 2^5$，所以$2x + 1 = 5$，解得$x = 2$。