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1. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,且$AE= AC$,$DE⊥AB于点E$.若$BC= 7$,则$DE+BD$的值为(
A.14
B.12
C.9
D.7
D
)A.14
B.12
C.9
D.7
答案
D
解析
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠AED=∠C=90°.
在Rt△AED和Rt△ACD中，
∵AE=AC，AD=AD，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL）.
∴DE=DC.
∵BC=BD+DC=7，
∴DE+BD=BD+DC=BC=7.
2. 如图所示,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ABC= 90^{\circ }$,$D是边AB$上一点,延长$CB至点E$,使$EB= AB= 5$,连接$DE$.若$DE= AC$,且$\triangle ABC的面积为7$,则$BD$的长为(
A.4
B.$\frac {14}{5}$
C.$\frac {13}{2}$
D.7
B
)A.4
B.$\frac {14}{5}$
C.$\frac {13}{2}$
D.7
答案
B
解析
∵∠ABC=90°，E在CB延长线上，∴∠EBD=90°（平角定义），即△EBD为Rt△。
∵EB=AB=5，DE=AC，
∴在Rt△ABC和Rt△EBD中，$\left\{\begin{array}{l} AC=DE\\ AB=EB\end{array}\right.$，
∴Rt△ABC≌Rt△EBD（HL），∴BC=BD。
∵△ABC面积为7，∠ABC=90°，AB=5，
∴$\frac{1}{2} × AB × BC=7$，即$\frac{1}{2} × 5 × BC=7$，解得$BC=\frac{14}{5}$。
∵BC=BD，∴BD=$\frac{14}{5}$。
3. 如图所示,$AC= BC$,$AE= CD$,$AE⊥CD于点E$,$BD⊥CD于点D$,$AE= 7$,$BD= 2$,则$DE$的长是(
A.7
B.5
C.3
D.2
B
)A.7
B.5
C.3
D.2
答案
B
解析
∵AE⊥CD，BD⊥CD，∴∠AEC=∠CDB=90°（垂直定义）。
在Rt△AEC和Rt△CDB中，
AC=BC（已知），
AE=CD（已知），
∴Rt△AEC≌Rt△CDB（HL）。
∴EC=BD=2（全等三角形对应边相等）。
∵AE=CD=7（已知），且CD=CE+DE，
∴DE=CD-CE=7-2=5。
在Rt△AEC和Rt△CDB中，
AC=BC（已知），
AE=CD（已知），
∴Rt△AEC≌Rt△CDB（HL）。
∴EC=BD=2（全等三角形对应边相等）。
∵AE=CD=7（已知），且CD=CE+DE，
∴DE=CD-CE=7-2=5。
4. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AD⊥BC于点D$,要使$\triangle ABD\cong \triangle ACD$,若根据“HL”判定,还需要添加条件
$AB = AC$
;若添加条件$∠B= ∠C$,则可用$AAS$
判定$\triangle ABD\cong \triangle ACD$.答案
$AB = AC$；$AAS$
解析
要使用“HL”判定全等，需要两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等。
已知$AD\bot BC$，所以$\triangle ABD$和$\triangle ACD$都是直角三角形，且$AD$为公共直角边。
若根据“HL”判定，还需要斜边$AB = AC$。
若添加条件$\angle B=\angle C$，由于$AD\bot BC$，则$\angle ADB=\angle ADC = 90^{\circ}$，且$AD$为公共边，根据“AAS”可以判定$\triangle ABD\cong\triangle ACD$。
已知$AD\bot BC$，所以$\triangle ABD$和$\triangle ACD$都是直角三角形，且$AD$为公共直角边。
若根据“HL”判定，还需要斜边$AB = AC$。
若添加条件$\angle B=\angle C$，由于$AD\bot BC$，则$\angle ADB=\angle ADC = 90^{\circ}$，且$AD$为公共边，根据“AAS”可以判定$\triangle ABD\cong\triangle ACD$。
5. (教材题变式)如图所示,点$C是路段AB$的中点,小明和小红两人从点$C$同时出发,以相同的速度分别沿两条直线行走,分别到达$D$,$E$两地,并且$DA⊥AB于点A$,$EB⊥AB于点B$.此时小明到路段$AB的距离是50$米,则小红到路段$AB$的距离是
50
米.答案
50
解析
∵点C是AB中点，∴AC=BC。∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A=∠B=90°。小明和小红速度相同且同时出发，∴CD=CE。在Rt△ACD和Rt△BCE中，AC=BC，CD=CE，∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL）。∴AD=BE。∵小明到AB距离AD=50米，∴小红到AB距离BE=50米。
6. 如图所示,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,$CA= CB$,$D是AC$上一点,$E在BC$的延长线上,且$AE= BD$,$BD的延长线交AE于点F$.$BF与AE$有怎样的位置关系? 请说明理由.
答案
BF⊥AE，理由如下：
∵∠ACB=90°，E在BC延长线上，
∴∠ACE=∠BCD=90°，即△ACE和△BCD均为直角三角形。
在Rt△ACE和Rt△BCD中，
∵AC=BC，AE=BD，
∴Rt△ACE≌Rt△BCD（HL）。
∴∠CAE=∠CBD。
∵在Rt△BCD中，∠CBD+∠BDC=90°，
∴∠CAE+∠BDC=90°。
∵∠BDC=∠ADF（对顶角相等），
∴∠CAE+∠ADF=90°。
在△ADF中，∠AFD=180°-（∠CAE+∠ADF）=180°-90°=90°，
即∠AFD=90°。
∴BF⊥AE。
∵∠ACB=90°，E在BC延长线上，
∴∠ACE=∠BCD=90°，即△ACE和△BCD均为直角三角形。
在Rt△ACE和Rt△BCD中，
∵AC=BC，AE=BD，
∴Rt△ACE≌Rt△BCD（HL）。
∴∠CAE=∠CBD。
∵在Rt△BCD中，∠CBD+∠BDC=90°，
∴∠CAE+∠BDC=90°。
∵∠BDC=∠ADF（对顶角相等），
∴∠CAE+∠ADF=90°。
在△ADF中，∠AFD=180°-（∠CAE+∠ADF）=180°-90°=90°，
即∠AFD=90°。
∴BF⊥AE。
7. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AD平分∠BAC$,$DE⊥AB$,$DF⊥AC$,垂足分别为$E$,$F$,且$BD= CD$.求证:$BE= CF$.
答案
证明：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°（垂直的定义）。
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l} BD=CD\\ DE=DF\end{array}\right.$
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）。
∴BE=CF（全等三角形的对应边相等）。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°（垂直的定义）。
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l} BD=CD\\ DE=DF\end{array}\right.$
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）。
∴BE=CF（全等三角形的对应边相等）。
