1. 在$\triangle ABC$中,$\angle A - \angle B = \angle B - \angle C$,则$\angle B$等于()
A.$90^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$15^{\circ}$

B

∵∠A - ∠B = ∠B - ∠C，∴∠A + ∠C = 2∠B。∵在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180°，∴2∠B + ∠B = 180°，3∠B = 180°，∠B = 60°。

2. 如图所示,将$\triangle ABC沿DE$,$EF$翻折,顶点$A$,$B均落在点O$处,且$EA与EB重合于线段EO$,$\angle CDO + \angle CFO = 108^{\circ}$,则$\angle C$的度数为()

A.$32^{\circ}$
B.$36^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$42^{\circ}$

B

设∠A=α，∠B=β，由翻折性质知AD=OD，BF=OF，故∠ADO=180°-2α，∠BFO=180°-2β。
∵∠CDO=180°-∠ADO=2α，∠CFO=180°-∠BFO=2β，
∴∠CDO+∠CFO=2α+2β=108°，得α+β=54°。
在△ABC中，∠C=180°-(α+β)=180°-54°=36°。

3. 如图所示,$\angle ABD$,$\angle ACD的平分线交于点P$,若$\angle A = 50^{\circ}$,$\angle D = 10^{\circ}$,则$\angle P$的度数为()

A.$15^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$25^{\circ}$
D.$30^{\circ}$

D

设∠ABD的平分线BP分∠ABD为∠ABP=∠PBD=∠1，∠ACD的平分线CP分∠ACD为∠ACP=∠PCD=∠2。延长BP交AC于E，延长CP交BD于F。
在△ABE中，∠AEB=∠A+∠1；在△PEC中，∠AEB=∠P+∠2，故∠A+∠1=∠P+∠2①。
在△DCF中，∠DFC=∠D+∠2；在△PFB中，∠DFC=∠P+∠1，故∠D+∠2=∠P+∠1②。
①+②得∠A+∠D=2∠P，即50°+10°=2∠P，解得∠P=30°。

4. 在$\triangle ABC$中,$AD为边BC$上的高,$\angle ABC = 30^{\circ}$,$\angle CAD = 20^{\circ}$,则$\angle BAC$是度。

40或80

分两种情况讨论：
1. AD在△ABC内部：
∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，∠ABC=30°，∴∠BAD=90°-30°=60°。
∵∠CAD=20°，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°。
2. AD在△ABC外部：
∵AD⊥BC延长线于D，∴∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，∠ABC=30°，∴∠BAD=90°-30°=60°。
∵∠CAD=20°，且∠BAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-20°=40°。
综上，∠BAC=40°或80°。

5. 如图所示,$AD是\triangle ABC$的角平分线,$CE是\triangle ABC$的高,$\angle BAC = 60^{\circ}$,$\angle ACB = 78^{\circ}$,点$F为边AB$上一点,当$\triangle BDF$为直角三角形时,$\angle ADF$的度数为。

18°或60°

在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=78°，则∠B=180°-60°-78°=42°。AD是角平分线，故∠BAD=30°。在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-42°-30°=108°。
△BDF为直角三角形，分两种情况：
1. 当∠BDF=90°时，∠ADF=∠ADB-∠BDF=108°-90°=18°；
2. 当∠BFD=90°时，在△BDF中，∠BDF=180°-90°-42°=48°，则∠ADF=∠ADB-∠BDF=108°-48°=60°。

6. 在$\triangle ABC$中,$\angle ABC = \angle ACB$,$CD \perp AB于点D$。
(1) 如图①所示,若$\angle A = 40^{\circ}$,则$\angle BCD$的度数为；
(2) 如图②所示,若$\angle BAC = 100^{\circ}$,则$\angle BCD$的度数为；
(3) 若$\angle BAC = \alpha$,求$\angle BCD$的度数。

(1) 在△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠A=40°，则∠ABC=(180°-40°)/2=70°。
∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°。
在Rt△BCD中，∠BCD=90°-∠ABC=90°-70°=20°。
(2) 在△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠BAC=100°，则∠ABC=(180°-100°)/2=40°。
∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°。
在Rt△BCD中，∠BCD=90°-∠ABC=90°-40°=50°。
(3) 在△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠BAC=α，则∠ABC=(180°-α)/2=90°-α/2。
∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°。
在Rt△BCD中，∠BCD=90°-∠ABC=90°-(90°-α/2)=α/2。
(1)20°
(2)50°
(3)α/2

7. 如图所示,将分别含有$30^{\circ}$,$45^{\circ}$角的一副三角板重叠,使直角顶点重合,若两直角重叠形成的角为$65^{\circ}$,则图中$\angle \alpha$的度数为。

$80^{\circ}$（由于题目要求可能为填空形式，这里按度数填写）

含有$30^{\circ}$角的直角三角板，三个角分别为$30^{\circ}$、$60^{\circ}$、$90^{\circ}$；含有$45^{\circ}$角的直角三角板，三个角分别为$45^{\circ}$、$45^{\circ}$、$90^{\circ}$。
已知两直角重叠形成的角为$65^{\circ}$，在重叠部分形成的图形中，根据周角为$360^{\circ}$，可列出$360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-65^{\circ}=115^{\circ}$，这个$115^{\circ}$的角与$\angle \alpha$和含有$30^{\circ}$角的直角三角板的$30^{\circ}$角所在的三角形的一个内角互补。
所以该内角为$180^{\circ}-115^{\circ}=65^{\circ}$。
在由$\angle \alpha$、$30^{\circ}$和上述求出的内角构成的三角形中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle \alpha = 180^{\circ}-30^{\circ}-65^{\circ}=80^{\circ}$。

8. (2025·深圳) 如图所示,已知$\angle AOB = 60^{\circ}$,$\triangle COD是含有30^{\circ}$角的三角板,$\angle COD = 30^{\circ}$,$OE平分\angle BOC$。
(1) 如图①所示,当$\angle AOC = 20^{\circ}$时,$\angle DOE = $；
(2) 如图②所示,当$\angle AOC = 40^{\circ}$时,$\angle DOE = $；
(3) 如图③所示,当$\angle AOC = \alpha(120^{\circ} ＜ \alpha ＜ 180^{\circ})$时,求$\angle DOE$的度数。

(1)10°；(2)20°；(3)(α - 120°)/2。

(1) 10°
(2) 20°
(3) ∵∠AOC=α，∠AOB=60°，∴∠BOC=∠AOC - ∠AOB=α - 60°。
∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC/2=(α - 60°)/2。
∵∠COD=30°，∴∠DOE=∠COE - ∠COD=(α - 60°)/2 - 30°=(α - 120°)/2。