1. 运用完全平方公式分解因式
(1) 公式：$a^{2}+2ab+b^{2}=$；$a^{2}-2ab+b^{2}=$。
(2) 语言描述：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的,等于这两个数的的平方。
(3) 式子$a^{2}+2ab+b^{2}和a^{2}-2ab+b^{2}$叫作完全平方式。
2. 公式法
把乘法公式的等号两边互换,就可以得到用于分解因式的公式,这种分解因式的方法叫作公式法。

(1)$(a + b)^{2}$；$(a - b)^{2}$
(2)积的2倍；和（或差）

(1) 根据完全平方公式，$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$；$a^{2}-2ab+b^{2}=(a - b)^{2}$。
(2) 完全平方公式的语言描述为：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。

【例 1】 下列式子能用完全平方公式分解因式的是()
A. $x^{2}+xy+y^{2}$
B. $x^{2}+2x+2$
C. $x^{2}-2y+y^{2}$
D. $y^{2}+2y+1$
【例 2】 把下列各式分解因式：
(1)$x^{2}+4x+4$；(2)$a^{2}-14ab+49b^{2}$；(3)$4x^{2}-4x+1$。

【例1】D
【例2】(1)$(x + 2)^{2}$；(2)$(a - 7b)^{2}$；(3)$(2x - 1)^{2}$

【例1】
完全平方公式为$a^{2}\pm2ab+b^{2}=(a\pm b)^{2}$，
A选项$x^{2}+xy+y^{2}$，中间项不是$2xy$，不能用完全平方公式分解因式。
B选项$x^{2}+2x+2$，若是完全平方，$2x = 2× x×1$，则另一项应为$1^{2}=1$，而这里是$2$，不能用完全平方公式分解因式。
C选项$x^{2}-2y+y^{2}$，不是两数平方和加减两数积的$2$倍的形式，不能用完全平方公式分解因式。
D选项$y^{2}+2y+1=(y + 1)^{2}$，能用完全平方公式分解因式。
【例2】
(1)$x^{2}+4x+4$，可变形为$x^{2}+2×2× x+2^{2}$，根据完全平方公式可得$(x + 2)^{2}$。
(2)$a^{2}-14ab+49b^{2}$，可变形为$a^{2}-2×7× a× b+(7b)^{2}$，根据完全平方公式可得$(a - 7b)^{2}$。
(3)$4x^{2}-4x+1$，可变形为$(2x)^{2}-2×2x×1 + 1^{2}$，根据完全平方公式可得$(2x - 1)^{2}$。

(1) 完全平方公式中的字母$a$,$b$可以是单项式,也可以是多项式,只要符合这个公式的结构特征就可以运用这个公式。
(2) 完全平方公式等号右边$2ab$的符号取决于等号左边二项式中两项的符号。
(3) 运用完全平方公式的时候要避免出现形如$(a\pm b)^{2}= a^{2}\pm b^{2}$的错误。

上述内容正确阐述了运用完全平方公式分解因式的关键要点。

题目主要阐述了运用完全平方公式分解因式的三个要点：一是公式中的字母a、b可以是单项式或多项式；二是右边2ab的符号由左边二项式两项符号决定；三是避免出现$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm b^{2}$的错误。这些均为完全平方公式分解因式的核心注意事项。

1. 有下列各式：①$x^{2}-10x+25$；②$4a^{2}+4a-1$；③$x^{2}-2x-1$；④$-m^{2}+m-\frac{1}{4}$；⑤$4x^{4}-x^{2}+\frac{1}{4}$。其中不能用完全平方公式分解因式的有()
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

C

①$x^{2}-10x+25=(x-5)^2$，能用完全平方公式；②$4a^{2}+4a-1$，$-1$不是平方项，不能用；③$x^{2}-2x-1$，$-1$不是平方项，不能用；④$-m^{2}+m-\frac{1}{4}=-(m^2 - m + \frac{1}{4})=-(m - \frac{1}{2})^2$，能用；⑤$4x^{4}-x^{2}+\frac{1}{4}$，中间项应为$\pm 2× 2x^2× \frac{1}{2}=\pm 2x^2$，原式中间项是$-x^2$，不能用。不能用的有②③⑤，共3个。

2. 若多项式$x^{2}-3(m-2)x+36$能用完全平方公式分解因式,则$m$的值为()
A.6 或$-2$
B.$-2$
C.6
D.$-6$或 2

A

因为多项式$x^{2}-3(m-2)x+36$能用完全平方公式分解因式，所以该多项式是完全平方式。完全平方式的形式为$(x\pm a)^2 = x^2\pm 2ax + a^2$，对比可得$36 = a^2$，则$a = \pm 6$。又因为$-3(m - 2) = \pm 2a$，当$a = 6$时，$-3(m - 2) = 12$，解得$m = -2$；当$a = -6$时，$-3(m - 2) = -12$，解得$m = 6$。所以$m$的值为$6$或$-2$。

3. (2025·南充)若$x^{2}+kx+4$是一个完全平方式,则$k=$。

$\pm 4$（或 写为 $\pm$ 后填数字$4$相关形式，根据具体填空要求调整）。

由于$x^{2}+kx+4$是一个完全平方式，
那么它可以表示为$(x+a)^{2}$或$(x-a)^{2}$的形式。
展开$(x+a)^{2}$，得到$x^{2}+2ax+a^{2}$。
展开$(x-a)^{2}$，得到$x^{2}-2ax+a^{2}$。
比较$x^{2}+kx+4$与上述两种形式，可以看出常数项$4$可以表示为$2^{2}$，
所以$a=2$。
对于$(x+2)^{2}$，中间项为$2×2× x=4x$。
对于$(x-2)^{2}$，中间项为$-2×2× x=-4x$。
所以，$k$可以是$4$或$-4$。

4. 分解因式：
(1)$4x^{2}+y^{2}-4xy$；
(2)$4a^{2}-12ab+9b^{2}$；
(3)$2mn-m^{2}-n^{2}$。

答题卡：
(1)
解：
原式$ = 4x^{2} + y^{2} - 4xy$
$ = (2x)^{2} + y^{2} - 2 × 2x × y$
$ = (2x - y)^{2}$
(2)
解：
原式 $= 4a^{2} - 12ab + 9b^{2}$
$ = (2a)^{2} - 2 × 2a × 3b + (3b)^{2}$
$ = (2a - 3b)^{2}$
(3)
解：
原式 $= 2mn - m^{2} - n^{2}$
$ = - (m^{2} - 2mn + n^{2})$
$ = - (m - n)^{2}$