1. 分式的混合运算
分式的混合运算顺序：先,再,然后加减；有括号的应先算括号里面的。

乘方；乘除

分式的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序一致，先算乘方，再算乘除，然后加减；有括号的应先算括号里面的。

2. 分式的求值
分式的求值,一般遵循先化简后求值的原则。

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探究点1 分式的混合运算
【例1】 计算：
(1)$(-\frac{n}{3m})^{2}\cdot\frac{m}{3n}-\frac{m^{2}}{n}÷\frac{m^{3}}{n^{2}}$；
(2)$(\frac{m^{2}}{m - 1}-m - 1)÷\frac{2m}{1 - m^{2}}$。

(1)$-\frac{26n}{27m}$；(2)$-\frac{m + 1}{2m}$

(1)原式$=\frac{n^{2}}{9m^{2}}\cdot\frac{m}{3n}-\frac{m^{2}}{n}\cdot\frac{n^{2}}{m^{3}}=\frac{n}{27m}-\frac{n}{m}=\frac{n}{27m}-\frac{27n}{27m}=-\frac{26n}{27m}$；
(2)原式$=(\frac{m^{2}}{m - 1}-\frac{(m + 1)(m - 1)}{m - 1})÷\frac{2m}{-(m^{2}-1)}=(\frac{m^{2}-(m^{2}-1)}{m - 1})\cdot(-\frac{(m - 1)(m + 1)}{2m})=\frac{1}{m - 1}\cdot(-\frac{(m - 1)(m + 1)}{2m})=-\frac{m + 1}{2m}$

1. 计算：
(1)$(\frac{x}{y})^{2}÷\frac{x - y}{y}-\frac{y}{x - y}$；
(2)$1-\frac{a - b}{a + 2b}÷\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+4ab + 4b^{2}}$；
(3)$(a - 1-\frac{2a - 2}{a + 1})÷\frac{2a^{2}-2}{a^{2}+2a + 1}$。

(1)$\frac{x + y}{y}$；(2)$-\frac{b}{a + b}$；(3)$\frac{a - 1}{2}$

(1)原式$=\frac{x^2}{y^2}·\frac{y}{x - y}-\frac{y}{x - y}=\frac{x^2}{y(x - y)}-\frac{y^2}{y(x - y)}=\frac{x^2 - y^2}{y(x - y)}=\frac{(x - y)(x + y)}{y(x - y)}=\frac{x + y}{y}$；
(2)原式$=1-\frac{a - b}{a + 2b}·\frac{(a + 2b)^2}{(a - b)(a + b)}=1-\frac{a + 2b}{a + b}=\frac{a + b - (a + 2b)}{a + b}=\frac{-b}{a + b}=-\frac{b}{a + b}$；
(3)原式$=\left(\frac{(a - 1)(a + 1)}{a + 1}-\frac{2a - 2}{a + 1}\right)·\frac{(a + 1)^2}{2(a^2 - 1)}=\frac{a^2 - 1 - 2a + 2}{a + 1}·\frac{(a + 1)^2}{2(a - 1)(a + 1)}=\frac{(a - 1)^2}{a + 1}·\frac{(a + 1)^2}{2(a - 1)(a + 1)}=\frac{a - 1}{2}$。

探究点2 分式混合运算的实际应用
【例2】 (教材题变式)小明从家骑车到学校,路上经过一座桥。
(1)若上桥和下桥的路程相同,上桥的速度为$a$米/秒,下桥的速度为$b$米/秒,则小明上、下桥的平均速度是多少？
(2)如果小明上桥和下桥的平均速度为$\frac{a + b}{2}$米/秒$(a\neq b)$,那么与(1)相比,哪种情况在桥上花费的时间少？

(1)$\frac{2ab}{a + b}$；
(2)第二种（或 平均速度为$\frac{a + b}{2}$米/秒的情况）

(1)设上桥和下桥的路程均为 $s$ 米。
上桥所需时间为 $\frac{s}{a}$ 秒，下桥所需时间为 $\frac{s}{b}$ 秒。
因此，上桥和下桥的总时间为 $\frac{s}{a} + \frac{s}{b}$ 秒，总路程为 $2s$ 米。
所以，小明上、下桥的平均速度为 $\frac{2s}{\frac{s}{a} + \frac{s}{b}} = \frac{2ab}{a + b}$ 米/秒。
(2)如果小明上桥和下桥的平均速度为 $\frac{a + b}{2}$ 米/秒，
则他上桥和下桥所需的总时间为 $\frac{2s}{\frac{a + b}{2}} = \frac{4s}{a + b}$ 秒（总路程为$2s$）。
由(1)知，当平均速度为 $\frac{2ab}{a + b}$ 米/秒时，所需总时间为 $\frac{s}{a} + \frac{s}{b} = \frac{s(a + b)}{ab}$ 秒。
比较两者，有：
$\frac{4s}{a + b} - \frac{s(a + b)}{ab} = \frac{4abs - s(a + b)^{2}}{ab(a + b)} = \frac{- s(a - b)^{2}}{ab(a + b)}$
由于 $a \neq b$，所以 $\frac{- s(a - b)^{2}}{ab(a + b)} ＜ 0$，
即 $\frac{4s}{a + b} ＜ \frac{s(a + b)}{ab}$。
因此，当平均速度为 $\frac{a + b}{2}$ 米/秒时，小明在桥上花费的时间更少。

2. 近几年某市的城市绿化率逐年增加,其中2022年,2023年,2024年该市的绿化面积分别是$S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$,2024年与2023年相比,绿化的增长率提高()
A. $\frac{(S_{1}+S_{2})S_{3}}{S_{1}S_{2}}$
B. $\frac{S_{2}-S_{1}}{S_{3}-S_{2}}$
C. $\frac{S_{1}S_{3}-S_{2}^{2}}{S_{1}S_{2}}$
D. $\frac{S_{1}S_{3}-S_{2}^{2}}{S_{2}S_{3}}$

C

2023年增长率为$\frac{S_{2}-S_{1}}{S_{1}}$，2024年增长率为$\frac{S_{3}-S_{2}}{S_{2}}$，增长率提高值为$\frac{S_{3}-S_{2}}{S_{2}}-\frac{S_{2}-S_{1}}{S_{1}}$。通分计算：$\frac{(S_{3}-S_{2})S_{1}-(S_{2}-S_{1})S_{2}}{S_{1}S_{2}}=\frac{S_{1}S_{3}-S_{1}S_{2}-S_{2}^{2}+S_{1}S_{2}}{S_{1}S_{2}}=\frac{S_{1}S_{3}-S_{2}^{2}}{S_{1}S_{2}}$。