探究点1 同分母分式的加减
【例1】计算：
(1)$\frac{m + n}{n}-\frac{m - n}{n}$；
(2)$\frac{a^{2}}{a - b}+\frac{b^{2}}{b - a}$.

(1)
$\begin{aligned}\frac{m + n}{n}-\frac{m - n}{n}&=\frac{(m + n)-(m - n)}{n}\\&=\frac{m + n - m + n}{n}\\&=\frac{2n}{n}\\&= 2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\frac{a^{2}}{a - b}+\frac{b^{2}}{b - a}&=\frac{a^{2}}{a - b}-\frac{b^{2}}{a - b}\\&=\frac{a^{2}-b^{2}}{a - b}\\&=\frac{(a + b)(a - b)}{a - b}\\&=a + b\end{aligned}$

1. 计算$\frac{2a}{a + 1}+\frac{2}{a + 1}$的结果等于 ()
A.2
B.$2a + 2$
C.1
D.$\frac{4a}{a + 1}$

A

同分母分式相加，分母不变，分子相加：$\frac{2a}{a + 1}+\frac{2}{a + 1}=\frac{2a + 2}{a + 1}=\frac{2(a + 1)}{a + 1}=2$

2. 下列计算正确的是 ()

A.$\frac{1}{a}+\frac{1}{a}= \frac{1}{2a}$
B.$\frac{1}{(a - b)^{2}}+\frac{1}{(b - a)^{2}} = 0$
C.$\frac{m - n}{a}+\frac{m + n}{a}= 0$
D.$\frac{1}{a - b}+\frac{1}{b - a}= 0$

D

A. 对于 $\frac{1}{a} + \frac{1}{a}$，
根据分式加法规则，同分母分式相加，分母不变，分子相加，得到：
$\frac{1}{a} + \frac{1}{a} = \frac{1+1}{a} = \frac{2}{a}$
与选项A给出的 $\frac{1}{2a}$ 不符，故A错误。
B. 对于 $\frac{1}{(a - b)^{2}} + \frac{1}{(b - a)^{2}}$，
注意到 $(b - a)^{2} = (a - b)^{2}$，所以：
$\frac{1}{(a - b)^{2}} + \frac{1}{(b - a)^{2}} = \frac{1}{(a - b)^{2}} + \frac{1}{(a - b)^{2}} = \frac{2}{(a - b)^{2}}$
与选项B给出的 $0$ 不符，故B错误。
C. 对于 $\frac{m - n}{a} + \frac{m + n}{a}$，
根据分式加法规则，得到：
$\frac{m - n}{a} + \frac{m + n}{a} = \frac{m - n + m + n}{a} = \frac{2m}{a}$
与选项C给出的 $0$ 不符，故C错误。
D. 对于 $\frac{1}{a - b} + \frac{1}{b - a}$，
注意到 $b - a = -(a - b)$，所以：
$\frac{1}{a - b} + \frac{1}{b - a} = \frac{1}{a - b} - \frac{1}{a - b} = 0$
与选项D给出的 $0$ 相符，故D正确。

3. 计算：
(1)$\frac{2a + b}{3a^{2}b}+\frac{a - 2b}{3a^{2}b}-\frac{a - b}{3a^{2}b}$；
(2)$\frac{x^{2}-4x}{x - 3}-\frac{2x - 9}{x - 3}$.

(1)
$\frac{2a + b}{3a^{2}b} + \frac{a - 2b}{3a^{2}b} - \frac{a - b}{3a^{2}b}$
$=\frac{(2a + b) + (a - 2b) - (a - b)}{3a^{2}b}$
$=\frac{2a + b + a - 2b - a + b}{3a^{2}b}$
$=\frac{2a}{3a^{2}b}$
$=\frac{2}{3ab}$
(2)
$\frac{x^{2} - 4x}{x - 3} - \frac{2x - 9}{x - 3}$
$=\frac{x^{2} - 4x - (2x - 9)}{x - 3}$
$=\frac{x^{2} - 4x - 2x + 9}{x - 3}$
$=\frac{x^{2} - 6x + 9}{x - 3}$
$=\frac{(x - 3)^{2}}{x - 3}$
$=x - 3$

探究点2 异分母分式的加减
【例2】计算:
(1)$\frac{1}{2x^{2}y}+\frac{2}{3x^{2}}-\frac{3}{4xy^{2}}$；
(2)$\frac{1}{x - 1}+\frac{1}{1 + x}$；
(3)$\frac{4}{a + 2}-2 + a$.

(1)$\frac{8y^{2}-9x + 6y}{12x^{2}y^{2}}$；(2)$\frac{2x}{x^{2}-1}$；(3)$\frac{a^{2}}{a + 2}$。

(1) 最简公分母为$12x^{2}y^{2}$，通分得：
$\frac{1}{2x^{2}y}=\frac{6y}{12x^{2}y^{2}}$，$\frac{2}{3x^{2}}=\frac{8y^{2}}{12x^{2}y^{2}}$，$\frac{3}{4xy^{2}}=\frac{9x}{12x^{2}y^{2}}$。
原式$=\frac{6y + 8y^{2}-9x}{12x^{2}y^{2}}=\frac{8y^{2}-9x + 6y}{12x^{2}y^{2}}$。
(2) 最简公分母为$(x - 1)(x + 1)$，通分得：
$\frac{1}{x - 1}=\frac{x + 1}{(x - 1)(x + 1)}$，$\frac{1}{x + 1}=\frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)}$。
原式$=\frac{x + 1 + x - 1}{(x - 1)(x + 1)}=\frac{2x}{x^{2}-1}$。
(3) 原式$=\frac{4}{a + 2}+(a - 2)=\frac{4}{a + 2}+\frac{(a - 2)(a + 2)}{a + 2}=\frac{4 + a^{2}-4}{a + 2}=\frac{a^{2}}{a + 2}$。