7. 已知两角之比为$7:3$,它们的差为$72^{\circ}$,求这两个角的度数。它们之间有什么关系?

设这两个角的度数分别为$7x$和$3x$。
由题意得：$7x - 3x = 72^{\circ}$
$4x = 72^{\circ}$
$x = 18^{\circ}$
则$7x = 7×18^{\circ} = 126^{\circ}$，$3x = 3×18^{\circ} = 54^{\circ}$
$126^{\circ} + 54^{\circ} = 180^{\circ}$
答：这两个角的度数分别为$126^{\circ}$和$54^{\circ}$，它们互为补角。

8. 下列说法中正确的有。
①锐角的补角一定是钝角。
②一个角的补角一定大于这个角。
③如果两个角是同一个角的补角,那么它们相等。
④锐角和钝角互补。
⑤如果互补的两个角相等,那么这两个角都是$90^{\circ}$。
⑥若$\angle 1+\angle 2+\angle 3 = 180^{\circ}$,则$\angle 1,\angle 2,\angle 3$互补。

A

①锐角的补角一定是钝角。
锐角是小于$90^{\circ}$的角，所以其补角必然大于$90^{\circ}$，即为钝角。此说法正确。
②一个角的补角一定大于这个角。
考虑$90^{\circ}$的补角，它也是$90^{\circ}$，所以并不大于原角。此说法错误。
③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等。
设角A的补角为$180^{\circ}-A$，若角B也是角A的补角，则$B=180^{\circ}-A$，从而$B=180^{\circ}-A$的补角。所以，如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等。此说法正确。
④锐角和钝角互补。
锐角是小于$90^{\circ}$的角，钝角是大于$90^{\circ}$小于$180^{\circ}$的角。它们的和不一定为$180^{\circ}$，所以此说法错误。
⑤如果互补的两个角相等,那么这两个角都是$90^{\circ}$。
设两个相等的角为$\alpha$，若它们互补，则$2\alpha = 180^{\circ}$，从而$\alpha = 90^{\circ}$。此说法正确。
⑥若$\angle 1+\angle 2+\angle 3 = 180^{\circ}$，则$\angle 1,\angle 2,\angle 3$互补。
互补的定义是两个角的和为$180^{\circ}$，而不是三个或更多。所以此说法错误。

9. 如果站在甲船上看乙船,乙船在甲船的南偏东$30^{\circ}$方向,那么站在乙船上看甲船,甲船在乙船的()
A.北偏东$30^{\circ}$方向
B.北偏西$30^{\circ}$方向
C.北偏东$60^{\circ}$方向
D.北偏西$60^{\circ}$方向

B

站在甲船上看乙船，乙船在甲船的南偏东$30^{\circ}$方向，是以甲船为观测点。站在乙船上看甲船，是以乙船为观测点，方向完全相反，角度不变。南的相反方向是北，东的相反方向是西，所以甲船在乙船的北偏西$30^{\circ}$方向。
B

10. 一个角的余角比它的补角的$\frac{2}{3}少40^{\circ}$,求这个角的度数。

设这个角的度数为 $x^{\circ}$。
它的余角为： $90^{\circ} - x^{\circ}$，
它的补角为： $180^{\circ} - x^{\circ}$。
根据题意，得到方程：
$90^{\circ} - x^{\circ} = \frac{2}{3}(180^{\circ} - x^{\circ}) - 40^{\circ}$
$90^{\circ} - x^{\circ} = \frac{2}{3} × 180^{\circ} - \frac{2}{3}x^{\circ} - 40^{\circ}$
$90^{\circ} - x^{\circ} = 120^{\circ} - \frac{2}{3}x^{\circ} - 40^{\circ}$
$90^{\circ} - x^{\circ} = 80^{\circ} - \frac{2}{3}x^{\circ}$
$90^{\circ} - 80^{\circ} = x^{\circ} - \frac{2}{3}x^{\circ}$
$10^{\circ} = \frac{1}{3}x^{\circ}$
$x = 30^{\circ}$
所以这个角的度数为 $30^{\circ}$。

11. 如图,射线 OC,OD 在$\angle AOB$的内部,$\angle AOC= \frac{1}{5}\angle AOB$,OD 平分$\angle BOC$,$\angle BOD与\angle AOC$互余,求$\angle AOB$的度数。

$150^\circ$

设$\angle AOB = x$，则$\angle AOC=\frac{1}{5}x$。
$\angle BOC=\angle AOB - \angle AOC=x-\frac{1}{5}x=\frac{4}{5}x$。
因为OD平分$\angle BOC$，所以$\angle BOD=\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}×\frac{4}{5}x=\frac{2}{5}x$。
由于$\angle BOD$与$\angle AOC$互余，故$\angle BOD + \angle AOC = 90^\circ$，即$\frac{2}{5}x+\frac{1}{5}x = 90^\circ$，$\frac{3}{5}x=90^\circ$，解得$x = 150^\circ$。
$\angle AOB$的度数为$150^\circ$。