例3 如图,在△ABC中,AB = AC,且AD⊥BC,在线段BC上取E,F两点,使BE = CF,连接AE,AF.
(1)求证：AD平分∠EAF；
(2)过点E作EM⊥AF于点M,若DE = MF,求证：△AEF是等边三角形.

(1)证明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD（等腰三角形三线合一）。
∵BE=CF，∴BD-BE=CD-CF，即DE=DF。
在△ADE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l} AD=AD\\ ∠ADE=∠ADF=90°\\ DE=DF\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ADF（SAS），∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF。
(2)证明：由(1)知△ADE≌△ADF，∴AE=AF，DE=DF。
∵EM⊥AF，AD⊥BC，∴∠EMF=∠ADF=90°。
又∠EFM=∠AFD（公共角），MF=DE=DF，
在△EMF和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠EMF=∠ADF\\ ∠EFM=∠AFD\\ MF=DF\end{array}\right.$，
∴△EMF≌△ADF（AAS），∴EF=AF。
∵AE=AF，∴AE=AF=EF，故△AEF是等边三角形。

巩固提升 如图,过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,连接PQ交AC边于D,当PA = CQ时,DE的长为.

$\frac{1}{2}$

过$P$作$PM// BC$交$AC$于$M$。
因为$\triangle ABC$是边长为$1$的等边三角形，$\angle A = 60^{\circ}$，
所以$\triangle APM$是等边三角形，
则$PM = PA$，
已知$PA = CQ$，
所以$PM = CQ$。
因为$PM// BC$，
根据两直线平行，内错角相等，
所以$\anglePMD=\angle QCD$，$\angle MPD = \angle Q$。
在$\triangle PMD$和$\triangle QCD$中，
$\begin{cases}\angle PMD=\angle QCD,\\\angle MPD = \angle Q,\\PM = CQ.\end{cases}$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），
可得$\triangle PMD\cong\triangle QCD$，
所以$MD = CD$。
因为$PE\perp AC$，$\angle A = 60^{\circ}$，$PA = AM$，
在$Rt\triangle AEP$中，$\angle APE = 30^{\circ}$，
所以$AE=\frac{1}{2}AP$，
又因为$AM = AP$，
所以$AE = EM=\frac{1}{2}AM$。
$AC=1$，$AM = AP$，$AC=AM + MC$，
$DE=EM + MD$，
因为$MD = CD$，$AE = EM$，
$AC=AE+EM+MD+CD$，
$AE = EM$，$MD = CD$，
所以$DE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}$。

1. (2024·重庆A)下列四种化学仪器的示意图中,是轴对称图形的是()

C

根据轴对称图形定义，沿一条直线折叠后直线两旁部分能完全重合的图形是轴对称图形。A项酒精灯左右不对称；B项烧杯右侧有缺口，不对称；C项集气瓶左右对称，符合；D项右侧有U形管，不对称。

2. 生物小组的同学想用18米长的篱笆围一个等腰三角形区域作为苗圃,如果苗圃的一边长是4米,那么苗圃的另外两边长分别是()
A.4米、4米
B.4米、10米
C.7米、7米
D.7米、7米,或4米、10米

C

分两种情况讨论：
若4米为底边，设腰长为$x$米，则$4 + 2x = 18$，解得$x = 7$，
根据三角形三边关系，$4 + 7＞7$，$7 + 7＞4$，能构成三角形。
若4米为腰长，设底边为$y$米，则$2×4 + y = 18$，解得$y = 10$，
而$4 + 4 = 8＜10$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形。
所以另外两边长都是7米。

3. 剪纸是中国的民间艺术,剪纸的方法很多,下面是一种剪纸方法的图示(先将纸折叠,然后剪纸,展开即得到图案),则下列四个图案,不能用上述方法剪出的是()

D

按照题目中的剪纸方法，先将纸折叠，意味着剪出的图案应具有对称性，且对称轴应为折痕所在直线，是轴对称图形，将纸展开得到图案是由多个相同部分组成的中心对称图形，A、B、C选项的图形都是轴对称图形，可以通过先将纸折叠，然后剪纸，展开得到，D选项图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不能用题目中的方法剪出。

4. 如图是某学校人行人口的智能闸机及其示意图.当它关闭时,双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为10cm,挡板边缘AC = BD = 70cm,且与闸机侧立面的夹角∠ACP = ∠BDQ = 30°.当挡板收起后,可以通过闸机的物体的最大宽度为()

A.(70√2 + 10)cm
B.80cm
C.(70√3 + 10)cm
D.90cm

B

过点A作侧立面P的垂线，垂足为A'，则AA'为A到P的距离。在Rt△AA'C中，∠ACP=30°，AC=70cm，AA'=AC·sin30°=70×1/2=35cm。同理，过点B作侧立面Q的垂线，垂足为B'，BB'=BD·sin30°=70×1/2=35cm。闸机侧立面P与Q之间的距离为AA'+AB+BB'=35+10+35=80cm，即挡板收起后可通过物体的最大宽度为80cm。

5. 数学知识的呈现一般表现出连贯性、一致性,所以在学习数学知识的过程中应该学会将新知识纳入已学的知识框架内,形成知识体系.小加在复习三角形时将几种三角形的关系整理如下图.请帮他在括号内填上一个适当的条件.

∠A=60°（或∠B=60°或∠C=60°）

等腰三角形添加一个角为60°可成为等边三角形，条件可以是∠A=60°（或∠B=60°或∠C=60°）