6. 已知$x^2 - 4xy + 4y^2 = 0(xy \neq 0)$,则$\frac{x + y}{x - y} = $。

3

由已知条件 $x^{2} - 4xy + 4y^{2} = 0$，
因式分解得：$(x - 2y)^{2} = 0$，
所以 $x - 2y = 0$，
得到 $x = 2y$，
将 $x = 2y$ 代入 $\frac{x + y}{x - y}$，
得：$\frac{2y + y}{2y - y} = \frac{3y}{y} = 3$。

7. 若一个四位数$M$的个位数字与十位数字的平方差恰好是$M$去掉个位数字与十位数字后得到的两位数,则称这个四位数$M$为“骐骥数”. 一个“骐骥数”$M$的千位数字为$a$,百位数字为$b$,十位数字为$c$,个位数字为$d$,记$F(M) = \frac{d}{c}$,$Q(M) = \frac{M}{c + d}$. 当$F(M)$,$Q(M)$均为整数,且满足条件的$M$取得最小值时,$c + d = $,$M$的最小值为。

6，1224

由题意，四位数$M=1000a + 100b + 10c + d$，去掉个位和十位后得两位数$10a + b$，则$d^2 - c^2 = 10a + b$（$d^2 - c^2＞0$，即$d＞c$）。$F(M)=\frac{d}{c}$为整数，设$d=kc$（$k$为正整数），则$d=kc\leq9$，$c\geq1$。$Q(M)=\frac{M}{c + d}$为整数，$M=100(d^2 - c^2) + 10c + d$，代入$d=kc$得$M=100c^2(k^2 - 1) + c(10 + k)$，$Q(M)=\frac{100c^2(k^2 - 1) + c(10 + k)}{c(k + 1)}=100c(k - 1) + \frac{k + 10}{k + 1}$，需$\frac{k + 10}{k + 1}$为整数，即$k + 1$整除9，$k + 1=3$或$9$，故$k=2$或$8$。
$k=2$时，$d=2c$，$d^2 - c^2=3c^2=10a + b$（两位数），$c\geq2$（$c=1$时$3c^2=3$非两位数），$c=2,3,4$（$c=5$时$d=10$舍去）：
$c=2$，$d=4$，$3c^2=12$，$M=100×12 + 10×2 + 4=1224$；
$c=3$，$d=6$，$M=2736$；$c=4$，$d=8$，$M=4848$。
$k=8$时，$d=8c$，$c=1$（$c\geq2$时$d＞9$），$d=8$，$d^2 - c^2=63$，$M=6318$。
最小$M=1224$，此时$c=2$，$d=4$，$c + d=6$。

8. (2024·自贡)为传承我国传统节日文化,端午节前夕,某校组织了包粽子活动,已知七$(3)班甲组同学平均每小时比乙组多包20$个粽子,甲组包$150个粽子所用时间与乙组包120$个粽子所用的时间相同. 求甲、乙两组同学平均每小时各包多少个粽子。

设乙组平均每小时包$x$个粽子，则甲组平均每小时包$(x + 20)$个粽子。
根据题意，$\frac{150}{x + 20} = \frac{120}{x}$。
交叉相乘得：$150x = 120(x + 20)$。
展开得：$150x = 120x + 2400$。
移项并合并同类项得：$30x = 2400$。
解得：$x = 80$。
经检验，$x = 80$是原分式方程的解，且符合题意。
则甲组平均每小时包：$x + 20 = 80 + 20 = 100$。
答：甲组平均每小时包$100$个粽子，乙组平均每小时包$80$个粽子。

9. 解方程：
(1)$\frac{3}{x - 2} - \frac{x}{2 - x} = -2$；
(2)$\frac{x}{x - 1} = \frac{3}{x^2 + x - 2} + 1$。

(1)
方程$\frac{3}{x - 2}-\frac{x}{2 - x}=-2$，
变形为$\frac{3}{x - 2}+\frac{x}{x - 2}=-2$，
方程两边同乘$(x - 2)$得：
$3 + x=-2(x - 2)$
$3 + x=-2x + 4$
$x + 2x=4 - 3$
$3x=1$
$x=\frac{1}{3}$
检验：当$x = \frac{1}{3}$时，$x - 2=\frac{1}{3}-2=-\frac{5}{3}\neq0$，
所以原分式方程的解为$x=\frac{1}{3}$。
(2)
方程$\frac{x}{x - 1}=\frac{3}{x^{2}+x - 2}+1$，
对$x^{2}+x - 2$因式分解得$(x + 2)(x - 1)$，
则原方程可化为$\frac{x}{x - 1}=\frac{3}{(x + 2)(x - 1)}+1$，
方程两边同乘$(x + 2)(x - 1)$得：
$x(x + 2)=3+(x + 2)(x - 1)$
$x^{2}+2x=3+x^{2}+x - 2$
$x^{2}+2x - x^{2}-x=3 - 2$
$x=1$
检验：当$x = 1$时，$(x + 2)(x - 1)=(1 + 2)×(1 - 1)=0$，
所以$x = 1$是增根，原分式方程无解。
综上，(1)的解为$x=\frac{1}{3}$；(2)无解。

10. 先化简$(x + 3 - \frac{7}{x - 3}) ÷ \frac{2x^2 - 8x}{x - 3}$,再从$0$,$1$,$2$,$3$,$4$中选择你所喜欢的整数代入求值。

$\frac{5}{2}$（或选$x=2$时，结果为$\frac{3}{2}$）

化简过程：
$\begin{aligned}&(x + 3 - \frac{7}{x - 3}) ÷ \frac{2x^2 - 8x}{x - 3}\\=&\left(\frac{(x + 3)(x - 3)}{x - 3} - \frac{7}{x - 3}\right) × \frac{x - 3}{2x^2 - 8x}\\=&\frac{x^2 - 9 - 7}{x - 3} × \frac{x - 3}{2x(x - 4)}\\=&\frac{(x - 4)(x + 4)}{x - 3} × \frac{x - 3}{2x(x - 4)}\\=&\frac{x + 4}{2x}\end{aligned}$
取值条件：
原分式中分母及除数不为0，即：
$x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$
$2x^2 - 8x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, 4$
化简后分母$2x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$
综上，$x$可取值为1或2。
代入求值（选$x=1$）：
当$x=1$时，$\frac{x + 4}{2x} = \frac{1 + 4}{2 × 1} = \frac{5}{2}$

11. 某学校计划对总面积为$3600$平方米的校园文化墙进行彩绘装饰,经招标由$A$、$B$两个艺术团队来承接. 已知$A团队每天能完成彩绘的面积是B团队的2$倍,如果两个团队各自独立完成面积为$600$平方米区域的彩绘,$A团队比B团队少用6$天.
(1)求$A$、$B$两个艺术团队每天分别能完成多少面积的彩绘；
(2)若$A$、$B团队每天彩绘费用分别为1.2$万元、$0.5$万元,要使这次彩绘的总费用不超过$40$万元,则至少应安排$B$艺术团队彩绘多少天？

(1)设B团队每天能完成$x$平方米彩绘，则A团队每天能完成$2x$平方米彩绘。
由题意得：$\frac{600}{x}-\frac{600}{2x}=6$
化简得：$\frac{600}{x}-\frac{300}{x}=6$，即$\frac{300}{x}=6$
解得：$x=50$
经检验，$x=50$是原方程的解，且符合题意。
则$2x=100$
答：A团队每天完成100平方米，B团队每天完成50平方米。
(2)设安排B团队彩绘$y$天。
B团队完成面积：$50y$平方米，A团队需完成面积：$3600 - 50y$平方米
A团队工作天数：$\frac{3600 - 50y}{100}$天
总费用：$1.2×\frac{3600 - 50y}{100}+0.5y\leq40$
化简得：$1.2×(36 - 0.5y)+0.5y\leq40$
即：$43.2 - 0.6y + 0.5y\leq40$
$43.2 - 0.1y\leq40$
$-0.1y\leq -3.2$
$y\geq32$
答：至少应安排B团队彩绘32天。