1. 若两个图形位似,则下列叙述不正确的是 ()
A.每对对应点所在的直线相交于同一点
B.两个图形上的对应线段之比等于相似比
C.两个图形上的对应线段必平行
D.两个图形的面积比等于相似比的平方

C

A. 若两个图形位似，则每对对应点所在的直线相交于同一点，这是位似图形的基本性质，所以A选项正确。
B. 两个位似图形的对应线段之比是恒定的，这个比值被称为相似比。因此，B选项描述是准确的，所以B选项正确。
C. 位似图形中的对应线段可能平行，也可能共线（即相交于位似中心）。因此，C选项中的“必平行”是不准确的，所以C选项错误。
D. 两个位似图形的面积比等于相似比的平方，这是位似图形面积比的基本性质，所以D选项正确。

2. 如图,在平面直角坐标系中,$\triangle ABO与\triangle A'B'O'$是以原点 O 为位似中心的位似图形.若点$A(-9,0)的对应点为A'(3,0)$,则点$B(-6,3)的对应点B'$的坐标为 ()
A.$(-1,2)$
B.$(1,-2)$
C.$(2,-1)$
D.$(-2,1)$

C

∵△ABO与△A'B'O'是以原点O为位似中心的位似图形，点A(-9,0)的对应点为A'(3,0)，
∴位似比为$\frac{OA'}{OA}=\frac{3}{|-9|}=\frac{1}{3}$。
∵A'在x轴正半轴，A在x轴负半轴，
∴位似变换为关于原点的位似且方向相反，
∴点B(-6,3)的对应点B'的坐标为$(-6×(-\frac{1}{3}),3×(-\frac{1}{3}))=(2,-1)$。
C

3. 已知两点$A(4,6),B(6,2)$,以原点 O 为位似中心,在第一象限内将线段 AB 按$2:1$缩小后得到线段 CD,则点 A 的对应点 C 的坐标为 ()
A.$(2,3)$
B.$(3,1)$
C.$(2,1)$
D.$(3,3)$

A

以原点为位似中心，位似比为$1:2$（将线段按$2:1$缩小），点$A(4,6)$的对应点$C$的坐标为$(4×\frac{1}{2},6×\frac{1}{2})$，即$(2,3)$。
A

4. 在平面直角坐标系中,$\triangle ABC与\triangle DEF$位似,位似中心是原点 O.已知 A 与 D 是对应顶点,且 A,D 的坐标分别是$A(9,18),D(3,6)$,若$\triangle DEF$的周长为 3,则$\triangle ABC$的周长为

9

∵△ABC与△DEF位似，位似中心是原点O，A与D是对应顶点，A(9,18)，D(3,6)
∴位似比为OA:OD
∵OA = √(9² + 18²) = √(81 + 324) = √405 = 9√5，OD = √(3² + 6²) = √(9 + 36) = √45 = 3√5
∴位似比OA:OD = 9√5:3√5 = 3:1
∵位似图形的周长比等于位似比
∴△ABC的周长:△DEF的周长 = 3:1
∵△DEF的周长为3
∴△ABC的周长 = 3×3 = 9
9

5. 如图,$\triangle ABC与\triangle DEF$是位似图形,点 O 是位似中心.若$OA:OD= 1:3,\triangle ABC$的面积为 3,则$\triangle DEF$的面积为

27

∵△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，OA:OD=1:3，
∴△ABC与△DEF的相似比为1:3，
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DEF}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
∵$S_{\triangle ABC}=3$，
∴$S_{\triangle DEF}=3×9=27$。
27

6. 如图,在平面直角坐标系中,点 A 在 x 轴正半轴上,且$OA= 4,∠BOA= 30^{\circ },∠B= 90^{\circ }$,以O 为位似中心,在第一象限内将$\triangle AOB$放大,使相似比为$2:1$,则点 B 的对应点$B'$的坐标为

(6, 2√3)

在$Rt\triangle AOB$中，$OA=4$，$\angle BOA=30^{\circ}$，$\angle B=90^{\circ}$。
$\therefore OB=OA\cdot\cos30^{\circ}=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，$AB=OA\cdot\sin30^{\circ}=4×\frac{1}{2}=2$。
过点$B$作$BC\perp x$轴于点$C$，则$OC=OB\cdot\cos30^{\circ}=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3$，$BC=OB\cdot\sin30^{\circ}=2\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\sqrt{3}$，$\therefore B(3,\sqrt{3})$。
以$O$为位似中心，在第一象限内将$\triangle AOB$放大，相似比为$2:1$，$\therefore$点$B'$的坐标为$(3×2,\sqrt{3}×2)=(6,2\sqrt{3})$。
$(6, 2\sqrt{3})$

7. 如图,在正方形网格纸中,$\triangle ABC$的三个顶点都在格点上.以 O 为位似中心,把$\triangle ABC按相似比2:1$放大,得到对应的$\triangle A'B'C'.$
(1) 请在第一象限内画出$\triangle A'B'C'$;设$D(a,b)$为线段 AC 上一点,则点 D 经过上述变换后得到的对应点$D'$的坐标为(用含 a,b 的式子表示);
(2)$\triangle A'B'C'$的面积为

1. （1）
对于位似变换，以$O$为位似中心，相似比为$k = 2:1$，若原坐标为$(x,y)$，则位似变换后的坐标为$(kx,ky)$（当位似图形在位似中心同侧时）。
已知$D(a,b)$，所以$D'$的坐标为$(2a,2b)$。
2. （2）
利用割补法求$\triangle ABC$的面积：
设每个小正方形边长为$1$，$S_{\triangle ABC}=3×3-\frac{1}{2}×1×3 - \frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×2×3$
先计算各项：$3×3 = 9$，$\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}×1×2 = 1$，$\frac{1}{2}×2×3=3$。
则$S_{\triangle ABC}=9-(\frac{3}{2}+1 + 3)=9-( \frac{3 + 2+6}{2})=9-\frac{11}{2}=\frac{7}{2}$。
因为$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$的相似比$k=\frac{1}{2}$，根据相似三角形面积比公式$S_{\triangle A'B'C'}=k^{2}S_{\triangle ABC}$（这里$k = 2$）。
由相似三角形面积公式$\frac{S_{\triangle A'B'C'}}{S_{\triangle ABC}}=k^{2}$（$k$为相似比），已知$k = 2$，$S_{\triangle ABC}=\frac{7}{2}$。
所以$S_{\triangle A'B'C'}=4×\frac{7}{2}=14$。
故答案为：（1）$(2a,2b)$；（2）$14$。