1. 在△ABC中,三条边的长分别为2,3,4,△A'B'C'的两边长分别为1,1.5,要使△ABC∽△A'B'C',△A'B'C'中的第三边长应该是()
A.2
B.$\sqrt{2}$
C.4
D.$2\sqrt{2}$

A

设△A'B'C'的第三边长为$x$。
因为△ABC∽△A'B'C'，所以对应边成比例。
△ABC的三边之比为$2:3:4$，△A'B'C'的两边长为$1$，$1.5$，其比为$1:1.5 = 2:3$，与△ABC中$2:3$对应。
则$\frac{2}{1} = \frac{3}{1.5} = \frac{4}{x}$，解得$x = 2$。
A

2. 如图,四个三角形的顶点都在方格子的格点上。下列两个三角形中相似的是()
A.①④
B.①③
C.②③
D.②④

B

设每个小方格边长为1。
①三边长：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$；
②三边长：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，3；
③三边长：$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，5；
④三边长：$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，4。
①与③对应边比：$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{13}}{5}$不成立；重新计算③：直角边为2和4，斜边$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，①直角边为1和2，斜边$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，①与③对应边比$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$，相似。
答案：B

3. 已知在△ABC中,AB= 4,BC= 5,CA= 6。
(1)如果DE= 10,那么当EF= ,FD= 时,△DEF∽△ABC；
(2)如果DE= 10,那么当EF= ,FD= 时,△FDE∽△ABC。

(1) $EF = 12.5, FD = 15$
(2) $EF = 12, FD = 8$

(1) 要使△DEF∽△ABC，根据相似三角形的性质，对应边之间的比例应该相等。即：
$\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{FD}{CA}$
已知 $DE = 10, AB = 4, BC = 5, CA = 6$，
则 $\frac{DE}{AB} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$，
因此，$EF = \frac{5}{2} × BC = \frac{5}{2} × 5 = \frac{25}{2} = 12.5$，
$FD = \frac{5}{2} × CA = \frac{5}{2} × 6 = 15$。
(2) 要使△FDE∽△ABC，同样根据相似三角形的性质，对应边之间的比例应该相等，但此时需要注意顶点的对应关系。即：
$\frac{FD}{AB} = \frac{DE}{BC} = \frac{EF}{CA}$
已知 $DE = 10, AB = 4, BC = 5, CA = 6$，
则为了使比例匹配，我们可以设 $\frac{DE}{BC} = \frac{10}{5} = 2$，
因此，$FD = 2 × AB = 2 × 4 = 8$，
$EF = 2 × CA = 2 × 6 = 12$。

4. 要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为4 cm,6 cm和9 cm,另一个三角形的最长边是18 cm,则它的最短边是cm。

8

设另一个三角形的最短边是$x$cm。
因为两个三角形形状相同，所以它们相似。
已知一个三角形三边长为4cm，6cm，9cm，另一个三角形最长边是18cm，原三角形最长边为9cm，所以相似比为$\frac{18}{9}=2$。
原三角形最短边为4cm，所以$\frac{x}{4}=2$，解得$x=8$。
8

5. 如图,O是△ABC内一点,D,E,F分别是OA,OB,OC的中点。求证：△ABC∽△DEF。

证明：
∵D，E分别是OA，OB的中点，
∴DE是△OAB的中位线。
∴DE//AB，且DE=1/2AB。
同理，EF//BC，EF=1/2BC；FD//CA，FD=1/2CA。
∴△ABC∽△DEF（三边成比例的两个三角形相似）。

6. 如图,在△ABC和△A'B'C'中,D,D'分别是AB,A'B'上一点,$\frac{AD}{AB}= \frac{A'D'}{A'B'}$,当$\frac{CD}{C'D'}= \frac{AC}{A'C'}= \frac{AB}{A'B'}$时,求证：△ADC∽△A'D'C'。

证明：设$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}=k$，$\frac{AB}{A'B'}=m$，则$\frac{AC}{A'C'}=m$，$\frac{CD}{C'D'}=m$。
由$\frac{AD}{AB}=k$得$AD = k\cdot AB$，由$\frac{A'D'}{A'B'}=k$得$A'D' = k\cdot A'B'$，故$\frac{AD}{A'D'}=\frac{k\cdot AB}{k\cdot A'B'}=\frac{AB}{A'B'}=m$。
又$\frac{AC}{A'C'}=m$，$\frac{CD}{C'D'}=m$，所以$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{CD}{C'D'}$。
根据“三边成比例的两个三角形相似”，可得$\triangle ADC\sim\triangle A'D'C'$。