8. 若$x= 1是一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$的根,则判别式$\Delta=b^{2}-4ac和完全平方式M= (2a+b)^{2}的关系是\Delta$M.(填“＞”“＜”或“=”)

=

因为$x = 1$是一元二次方程$ax^{2}+bx + c=0(a\neq0)$的根，所以将$x = 1$代入方程可得$a×1^{2}+b×1 + c=0$，即$a + b + c=0$，所以$c=-a - b$。
判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，将$c=-a - b$代入可得：
$\begin{aligned}\Delta&=b^{2}-4a(-a - b)\\&=b^{2}+4a^{2}+4ab\\&=(2a + b)^{2}\end{aligned}$
又因为$M=(2a + b)^{2}$，所以$\Delta = M$。
=

9. 王超同学在解关于x的一元二次方程$x^{2}-5x+m= 0$时误将-5x看成+5x,结果解得$x_{1}= 1$,$x_{2}= -6$,则原方程的解为______.

1. 王超误解方程为$x^2 + 5x + m = 0$，其两根为$x_1=1$，$x_2=-6$。
2. 由韦达定理，两根之积$x_1x_2 = m$，即$1×(-6)=m$，得$m=-6$。
3. 原方程为$x^2 - 5x - 6 = 0$。
4. 因式分解得$(x - 6)(x + 1)=0$。
5. 解得$x_1=6$，$x_2=-1$。
$x_1=6$，$x_2=-1$

10. 已知关于x的一元二次方程$(m-1)x^{2}-2mx+m+1= 0$.
(1)求方程的根；
(2)m为何整数时,此方程的两个根都为正整数？

(1)$x_1=1$，$x_2=\frac{m+1}{m-1}$；(2)$m=2$或$3$。

(1)因为方程是一元二次方程，所以$m - 1 \neq 0$，即$m \neq 1$。
$\begin{aligned}(m - 1)x^2 - 2mx + m + 1 &= 0\\[(m - 1)x - (m + 1)](x - 1) &= 0\end{aligned}$
解得$x_1 = 1$，$x_2 = \frac{m + 1}{m - 1}$。
(2)$x_2 = \frac{m + 1}{m - 1} = 1 + \frac{2}{m - 1}$，因为方程的两个根都为正整数，$x_1 = 1$是正整数，所以$x_2$必须为正整数，即$\frac{2}{m - 1}$为正整数。
则$m - 1$是$2$的正因数，$m - 1 = 1$或$2$。
当$m - 1 = 1$时，$m = 2$；当$m - 1 = 2$时，$m = 3$。
所以$m = 2$或$3$。

11. 已知一元二次方程$x^{2}-11x+30= 0$的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长,求$\triangle ABC$的面积.

首先解一元二次方程 $x^{2} - 11x + 30 = 0$。
该方程可以因式分解为 $(x - 5)(x - 6) = 0$，
解得 $x_{1} = 5$，$x_{2} = 6$。
接下来分两种情况讨论等腰三角形ABC的底边长和腰长：
当腰长为 $5$，底边长为 $6$ 时：
使用等腰三角形的性质，腰长相等，即两腰均为 $5$。
作底边上的高，将底边分为两段，每段长度为 $\frac{6}{2} = 3$。
应用勾股定理，求得高 $h = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$。
三角形面积 $S = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$。
当腰长为 $6$，底边长为 $5$ 时：
使用等腰三角形的性质，腰长相等，即两腰均为 $6$。
作底边上的高，将底边分为两段，每段长度为 $\frac{5}{2} = 2.5$。
应用勾股定理，求得高 $h = \sqrt{6^{2} - 2.5^{2}} = \sqrt{36 - 6.25} = \sqrt{29.75} = \frac{\sqrt{119}}{2}$。
三角形面积 $S = \frac{1}{2} × 5 × \frac{\sqrt{119}}{2} = \frac{5\sqrt{119}}{4}$。
综上，$\triangle ABC$ 的面积有两种可能：$12$ 或 $\frac{5\sqrt{119}}{4}$。