3. $(a + )(2 - ______) = 4 - a^2$.

$2$，$a$

根据平方差公式$x^2 - y^2=(x + y)(x - y)$，在$4 - a^2$中，$4=2^2$，则$4 - a^2=2^2 - a^2$，这里$x = 2$，$y = a$。
所以$4 - a^2=(2 + a)(2 - a)$，而原式为$(a+\_)(2 - \_)=4 - a^2$，对比可得括号内应填$2$和$a$。

4. 计算：(1)$(-x + 2y)(-x - 2y) = $；
(2)$(2a - 1)(2a + 1)(4a^2 + 1) = $.

(1)$x^{2} - 4y^{2}$；
(2)$16a^{4} - 1$

(1) 根据平方差公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，将 $a = -x$，$b = 2y$代入，原式可变形为$(-x + 2y)(-x - 2y)= (-x)^{2} - (2y)^{2}= x^{2} - 4y^{2}$。
(2) 首先利用平方差公式计算前两个因式的乘积，即$(2a - 1)(2a + 1) = (2a)^{2} - 1^{2} = 4a^{2} - 1$，再将上一步的结果与第三个因式相乘，即$(4a^{2} - 1)(4a^{2} + 1) = (4a^{2})^{2} - 1^{2} = 16a^{4} - 1$。

5. 运用平方差公式计算：
(1)$(a + 4b)(a - 4b)$；
(2)$(m^2 + \frac{2}{3}n)(m^2 - \frac{2}{3}n)$；
(3)$\frac{1}{4}x^2 + (y + \frac{1}{2}x)(y - \frac{1}{2}x)$.

(1)
根据平方差公式$(x + y)(x - y)=x^{2}-y^{2}$，在$(a + 4b)(a - 4b)$中，$x = a$，$y = 4b$，则：
$(a + 4b)(a - 4b)=a^{2}-(4b)^{2}=a^{2}-16b^{2}$
(2)
同样根据平方差公式，在$(m^2 + \frac{2}{3}n)(m^2 - \frac{2}{3}n)$中，$x = m^{2}$，$y=\frac{2}{3}n$，则：
$(m^2 + \frac{2}{3}n)(m^2 - \frac{2}{3}n)=(m^{2})^{2}-(\frac{2}{3}n)^{2}=m^{4}-\frac{4}{9}n^{2}$
(3)
先利用平方差公式计算$(y + \frac{1}{2}x)(y - \frac{1}{2}x)$，其中$x$（这里公式中的$x$与题目中的$x$不同，为方便理解公式中的变量）$ = y$，$y$（公式中的变量）$=\frac{1}{2}x$，可得：
$(y + \frac{1}{2}x)(y - \frac{1}{2}x)=y^{2}-(\frac{1}{2}x)^{2}=y^{2}-\frac{1}{4}x^{2}$
则$\frac{1}{4}x^2+(y + \frac{1}{2}x)(y - \frac{1}{2}x)=\frac{1}{4}x^{2}+y^{2}-\frac{1}{4}x^{2}=y^{2}$
综上，答案依次为：(1)$a^{2}-16b^{2}$；(2)$m^{4}-\frac{4}{9}n^{2}$；(3)$y^{2}$。

6. 已知$a + b = 3$,$a - b = 2$,则$a^2 - b^2$等于()
A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$

D

根据平方差公式，$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。
已知$a + b = 3$，$a - b = 2$，代入公式得：
$a^2 - b^2 = 3 × 2 = 6$。

7. 如图,点$D$,$C$,$H$,$G分别在长方形ABJI$的边上,点$E$,$F在CD$上,若正方形$ABCD的面积等于15$,图中阴影部分的面积总和为$6$,则正方形$EFGH$的面积等于()

A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$

A

设正方形ABCD的边长为$a$，面积$a^2 = 15$；正方形EFGH的边长为$b$，面积为$b^2$。阴影部分为两个全等三角形，其面积和为$6$。由图形可知，两三角形面积和可表示为$\frac{1}{2}(a^2 - b^2) = 6$（平方差公式：$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$）。则$a^2 - b^2 = 12$，代入$a^2 = 15$，得$15 - b^2 = 12$，解得$b^2 = 3$。

8. 计算：
(1)$(2x - 1)(x + 3) - 2(x - 1)(x + 1)$；
(2)$x^2 - (x - 2y)(x + 2y) + (x^2 - y)(y + x^2)$.

(1)
首先，根据多项式乘法法则展开$(2x - 1)(x + 3)$：
$(2x - 1)(x + 3) = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 5x - 3$
接着，展开$2(x - 1)(x + 1)$：
$2(x - 1)(x + 1) = 2(x^2 - 1) = 2x^2 - 2$
最后，将两部分相减：
$2x^2 + 5x - 3 - (2x^2 - 2) = 5x - 1$
(2)
首先，根据平方差公式，展开$x^2 - (x - 2y)(x + 2y)$：
$x^2 - (x^2 - 4y^2) = 4y^2$
接着，展开$(x^2 - y)(y + x^2)$：
$(x^2 - y)(y + x^2) = x^4 + x^2y - y^2 - x^2y =x^4 - y^2$（根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，此处$a=x^2$，$b=y$）
最后，将两部分相加：
$4y^2 + x^4 - y^2 = x^4 + 3y^2$

9. 如图①,在边长为$a$的正方形中,剪去一个边长为$b的小正方形(a ＞ b)$,如图②,将余下部分拼成一个梯形.
(1)图②中,梯形的高为；(用含$a$,$b$的代数式表示)
(2)请结合图①、图②,写出一个关于$a$,$b$的乘法公式,并通过计算图①、图②阴影部分的面积加以证明.

(1) $a - b$
(2) $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

(1) 观察图②，梯形的上底为 $2b$，下底为 $2a$，由图①剪拼可知梯形的高为 $a - b$。
(2) 图①阴影部分面积：大正方形面积减去小正方形面积，即 $a^2 - b^2$。
图②阴影部分为梯形，面积为 $\frac{1}{2}×(上底 + 下底)×高 = \frac{1}{2}×(2b + 2a)×(a - b) = (a + b)(a - b)$。
因为两图阴影部分面积相等，所以乘法公式为 $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$。