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5. 操作题。
(1) 把图中的长方形绕 A 点顺时针旋转 $90°$，画出旋转后的图形。如果 A 点用数对表示是 $(4,1)$，那么旋转后，B 点用数对表示是(
(2) 将三角形放大，使放大后的图形与原图形对应边长的比为 $2:1$。
(1) 把图中的长方形绕 A 点顺时针旋转 $90°$，画出旋转后的图形。如果 A 点用数对表示是 $(4,1)$，那么旋转后，B 点用数对表示是(
略
)。(2) 将三角形放大，使放大后的图形与原图形对应边长的比为 $2:1$。
答案
(1)
旋转后的图形：将长方形绕 A 点顺时针旋转 $90°$，B 点从原位置 $(1, 3)$ 旋转到 $(4, 0)$（即 A 点的正下方 3 个单位处），但由于旋转后应为右方，因此 B 点的新坐标应为 $(4 + 3, 1)$ 即 $(7, 1)$ 向上调整（因为旋转是顺时针），实际应为 $(4, 0)$ 的对应上方，即 $(4 + 3-1, 1 + 1-0) = (6-1, 2-0) = (4+2,1) 的(7-3=4?，直接计算：原 B 相对 A 向左3上2，旋转后向右3下2(但下是负，所以上是正方向不变)，即 A(4,1)+右3上0(因为顺时针转后原上是前，但长方形高不变)，即 (4+3,1) = (7,1) 的同高度?，正确计算：原 B(1,3)，A(4,1)，B 相对 A：向左 3，向上 2。旋转后：向右 3，向下 2 变为 (4+3,1-2)=(7,-1) 不对，应变为向右，和向上(顺时针转90度，原向上变向右)，所以：原向上2变为向右2，向左3变为向下3?，顺时针：x'=x*cos-y*sin, y'=x*sin+y*cos，cos90=0,sin90=1，所以：新x=原x*0-原y*1=-原y，新y=原x*1+原y*0=原x，但这是相对于原点，所以 B 相对 A：原 B-A：(1-4,3-1)=(-3,2)，旋转后：(-3*0-2*1, -3*1+2*0)=(-2,-3)，再 +A：(-2+4,-3+1)=(2,-2) 不对，因为图形在格上，简单方法是：原 B 在 A 左3上2，旋转后应在 A 右3下2(但下是负，且我们向上为正，所以应看作 A 右3和上-2，即 (4+3,1-2)=(7,-1) 不对，因为 y 坐标不能为负，重新思考：旋转不改变点到旋转点距离，B 到 A 距离：sqrt((4-1)^2+(3-1)^2)=sqrt(9+4)=sqrt13，旋转后应在 A 右上方，但计算：标准旋转公式：x'=x0+(x-x0)*cosθ-(y-y0)*sinθ，y'=y0+(x-x0)*sinθ+(y-y0)*cosθ，θ=90，cos90=0,sin90=1，所以 x'=4+(-3)*0-2*1=4-2=2，y'=1+(-3)*1+2*0=1-3=-2，即 (2,-2) 仍不对，因为 y 坐标为负，检查原坐标：A(4,1), B(1,3)，从 A 到 B：向左移动 3，向上移动 2，旋转 90° 顺时针：向右移动 2（原向上移动的量），向下移动 3（原向左移动的量），但向下移动是负方向，所以新位置：从 A 开始，向右 2，向下 3，即 x = 4 + 2 = 6，y = 1 - 3 = -2，仍然不对，因为网格 y 坐标从 0 开始，没有负值，意识到在网格上，旋转后图形应在第一象限，所以重新计算：旋转公式中，向下移动应视为 y 坐标减少，但在网格上我们通常不使用负坐标，所以可能题目意图是让我们保持图形在网格内，但计算无误，旋转后 B 应在 (6, -2) 但这不是网格内，考虑图形整体移动，但旋转点 A 在网格内，旋转后部分可能出网格，但题目只问 B 点坐标，所以应报告 (6, -2) 但这不是整数网格点，或题目有误，重新看图：旋转后长方形应与原长方形大小相同，方向改变，A 点固定，B 点旋转后应在 A 点右方 3 单位（原 B 在 A 左方 3 单位，旋转后应在右方），和下方 2 单位（原 B 在 A 上方 2 单位，旋转后应在下方），即 (4+3,1-2)=(7,-1) 仍不是，或 (4-3,1+2) 旋转前，旋转后 (4+2,1-3)=(6,-2) 相同，可能题目意图是让我们画出旋转后的图形，并报告 B 点新坐标，即使不在网格内，但通常我们保持坐标为正，所以可能题目网格应延伸，或我们误解旋转方向，顺时针旋转 90 度：如果长方形顶边原水平，旋转后应垂直，B 点原在 A 左上方，旋转后应在 A 右下方，所以坐标 (4+3,1-2)=(7,-1) 或 (4+2,1-3)=(6,-2) 计算不同，因为从 A 到 B 向量 (-3,2)，旋转 90 度顺时针：向量变为 (2,3) 因为 (x,y) -＞ (y,-x) 对于顺时针 90 度，所以新向量 (2,3)，所以 B 新坐标 A+(2,3)=(4+2,1+3)=(6,4)? 不对，因为顺时针 90 度： (x,y) -＞ (y,-x)，所以 (-3,2) -＞ (2,3) 因为 -(-3)=3? 标准：顺时针 90 度： (x,y) -＞ (y,-x)，所以 (-3,2) -＞ (2,3) 因为 y=2, -x= -(-3)=3，所以 (2,3)，所以 B 新坐标 (4+2,1+3)=(6,4)，但原 B 是 (1,3), A(4,1)，1=4-3,3=1+2，所以 B(4-3,1+2)，旋转后 (4+2,1+3)=(6,4)，且 6-4=2,4-1=3，与向量 (2,3) 一致，且距离 sqrt(2^2+3^2)=sqrt(13) 与原相同，所以 B 点新坐标 (6,4)。所以，B 点用数对表示是 $(6,4)$（或写作 (7-1,4) 但 6,4 是正确）。答案：$(6,4)
(2)
放大后的图形：原三角形顶点 $(7,6),(7,5),(10,5)$，放大 2 倍，新顶点：$(7*2,6*2)=(14,12)?$ 但 A 点是参考? 题目说放大三角形，通常以原点或中心，但这里应是以自身位置，所以每个坐标乘以 2，但这样可能出网格，或平移后放大，但题目未指定，通常对于这种图形，我们放大距离，保持形状，所以新坐标：原底边从 (7,5) 到 (10,5)，长 3，放大后长 6，高从 (7,5) to (7,6) 高 1，放大后高 2，所以新三角形顶点：假设底边水平，高垂直，放大后：原左下 (7,5)，放大后 (7*2 -7? 不，如果以 (7,5) 为参考点，但通常放大整个图形，所以新点： (7*2,5*2)=(14,10)? 但网格到 13，所以可能以中心放大，但简单方法是每个坐标乘以 2，然后调整，或题目允许出网格，所以新顶点： (7*2,6*2)=(14,12), (7*2,5*2)=(14,10), (10*2,5*2)=(20,10)，但 20＞13，所以可能只放大到网格内，或题目意图是放大与原图形相似，所以新坐标：保持底边水平，高垂直，新底边从 (7,5) 到 (7+6,5)=(13,5) 因为原长 3，放大 2 倍 6，新高从 (7,5) to (7,5+2)=(7,7)? 原高 1，放大 2 倍 2，但原顶点是 (7,6)，所以高 1 单位，放大后高 2 单位，所以新顶点：底边：从 (7,5) to (7+6,5)=(13,5)，顶点： (7,5+2)=(7,7)，所以三角形顶点 (7,5), (13,5), (7,7)。
答案：新三角形顶点 $(7,5)$, $(13,5)$, $(7,7)$。
旋转后的图形：将长方形绕 A 点顺时针旋转 $90°$，B 点从原位置 $(1, 3)$ 旋转到 $(4, 0)$（即 A 点的正下方 3 个单位处），但由于旋转后应为右方，因此 B 点的新坐标应为 $(4 + 3, 1)$ 即 $(7, 1)$ 向上调整（因为旋转是顺时针），实际应为 $(4, 0)$ 的对应上方，即 $(4 + 3-1, 1 + 1-0) = (6-1, 2-0) = (4+2,1) 的(7-3=4?，直接计算：原 B 相对 A 向左3上2，旋转后向右3下2(但下是负，所以上是正方向不变)，即 A(4,1)+右3上0(因为顺时针转后原上是前，但长方形高不变)，即 (4+3,1) = (7,1) 的同高度?，正确计算：原 B(1,3)，A(4,1)，B 相对 A：向左 3，向上 2。旋转后：向右 3，向下 2 变为 (4+3,1-2)=(7,-1) 不对，应变为向右，和向上(顺时针转90度，原向上变向右)，所以：原向上2变为向右2，向左3变为向下3?，顺时针：x'=x*cos-y*sin, y'=x*sin+y*cos，cos90=0,sin90=1，所以：新x=原x*0-原y*1=-原y，新y=原x*1+原y*0=原x，但这是相对于原点，所以 B 相对 A：原 B-A：(1-4,3-1)=(-3,2)，旋转后：(-3*0-2*1, -3*1+2*0)=(-2,-3)，再 +A：(-2+4,-3+1)=(2,-2) 不对，因为图形在格上，简单方法是：原 B 在 A 左3上2，旋转后应在 A 右3下2(但下是负，且我们向上为正，所以应看作 A 右3和上-2，即 (4+3,1-2)=(7,-1) 不对，因为 y 坐标不能为负，重新思考：旋转不改变点到旋转点距离，B 到 A 距离：sqrt((4-1)^2+(3-1)^2)=sqrt(9+4)=sqrt13，旋转后应在 A 右上方，但计算：标准旋转公式：x'=x0+(x-x0)*cosθ-(y-y0)*sinθ，y'=y0+(x-x0)*sinθ+(y-y0)*cosθ，θ=90，cos90=0,sin90=1，所以 x'=4+(-3)*0-2*1=4-2=2，y'=1+(-3)*1+2*0=1-3=-2，即 (2,-2) 仍不对，因为 y 坐标为负，检查原坐标：A(4,1), B(1,3)，从 A 到 B：向左移动 3，向上移动 2，旋转 90° 顺时针：向右移动 2（原向上移动的量），向下移动 3（原向左移动的量），但向下移动是负方向，所以新位置：从 A 开始，向右 2，向下 3，即 x = 4 + 2 = 6，y = 1 - 3 = -2，仍然不对，因为网格 y 坐标从 0 开始，没有负值，意识到在网格上，旋转后图形应在第一象限，所以重新计算：旋转公式中，向下移动应视为 y 坐标减少，但在网格上我们通常不使用负坐标，所以可能题目意图是让我们保持图形在网格内，但计算无误，旋转后 B 应在 (6, -2) 但这不是网格内，考虑图形整体移动，但旋转点 A 在网格内，旋转后部分可能出网格，但题目只问 B 点坐标，所以应报告 (6, -2) 但这不是整数网格点，或题目有误，重新看图：旋转后长方形应与原长方形大小相同，方向改变，A 点固定，B 点旋转后应在 A 点右方 3 单位（原 B 在 A 左方 3 单位，旋转后应在右方），和下方 2 单位（原 B 在 A 上方 2 单位，旋转后应在下方），即 (4+3,1-2)=(7,-1) 仍不是，或 (4-3,1+2) 旋转前，旋转后 (4+2,1-3)=(6,-2) 相同，可能题目意图是让我们画出旋转后的图形，并报告 B 点新坐标，即使不在网格内，但通常我们保持坐标为正，所以可能题目网格应延伸，或我们误解旋转方向，顺时针旋转 90 度：如果长方形顶边原水平，旋转后应垂直，B 点原在 A 左上方，旋转后应在 A 右下方，所以坐标 (4+3,1-2)=(7,-1) 或 (4+2,1-3)=(6,-2) 计算不同，因为从 A 到 B 向量 (-3,2)，旋转 90 度顺时针：向量变为 (2,3) 因为 (x,y) -＞ (y,-x) 对于顺时针 90 度，所以新向量 (2,3)，所以 B 新坐标 A+(2,3)=(4+2,1+3)=(6,4)? 不对，因为顺时针 90 度： (x,y) -＞ (y,-x)，所以 (-3,2) -＞ (2,3) 因为 -(-3)=3? 标准：顺时针 90 度： (x,y) -＞ (y,-x)，所以 (-3,2) -＞ (2,3) 因为 y=2, -x= -(-3)=3，所以 (2,3)，所以 B 新坐标 (4+2,1+3)=(6,4)，但原 B 是 (1,3), A(4,1)，1=4-3,3=1+2，所以 B(4-3,1+2)，旋转后 (4+2,1+3)=(6,4)，且 6-4=2,4-1=3，与向量 (2,3) 一致，且距离 sqrt(2^2+3^2)=sqrt(13) 与原相同，所以 B 点新坐标 (6,4)。所以，B 点用数对表示是 $(6,4)$（或写作 (7-1,4) 但 6,4 是正确）。答案：$(6,4)
(2)
放大后的图形：原三角形顶点 $(7,6),(7,5),(10,5)$，放大 2 倍，新顶点：$(7*2,6*2)=(14,12)?$ 但 A 点是参考? 题目说放大三角形，通常以原点或中心，但这里应是以自身位置，所以每个坐标乘以 2，但这样可能出网格，或平移后放大，但题目未指定，通常对于这种图形，我们放大距离，保持形状，所以新坐标：原底边从 (7,5) 到 (10,5)，长 3，放大后长 6，高从 (7,5) to (7,6) 高 1，放大后高 2，所以新三角形顶点：假设底边水平，高垂直，放大后：原左下 (7,5)，放大后 (7*2 -7? 不，如果以 (7,5) 为参考点，但通常放大整个图形，所以新点： (7*2,5*2)=(14,10)? 但网格到 13，所以可能以中心放大，但简单方法是每个坐标乘以 2，然后调整，或题目允许出网格，所以新顶点： (7*2,6*2)=(14,12), (7*2,5*2)=(14,10), (10*2,5*2)=(20,10)，但 20＞13，所以可能只放大到网格内，或题目意图是放大与原图形相似，所以新坐标：保持底边水平，高垂直，新底边从 (7,5) 到 (7+6,5)=(13,5) 因为原长 3，放大 2 倍 6，新高从 (7,5) to (7,5+2)=(7,7)? 原高 1，放大 2 倍 2，但原顶点是 (7,6)，所以高 1 单位，放大后高 2 单位，所以新顶点：底边：从 (7,5) to (7+6,5)=(13,5)，顶点： (7,5+2)=(7,7)，所以三角形顶点 (7,5), (13,5), (7,7)。
答案：新三角形顶点 $(7,5)$, $(13,5)$, $(7,7)$。
6. 面粉每千克售价 3.60 元，王奶奶准备买 15kg 面粉，带 50 元钱。她带的钱够吗？
答案
6. $3.6×15 = 54$（元） 54＞50 不够
7. 一块三角形的广告牌，底是 2.5m，高是 6.4m。如果要给这块广告牌一面刷油漆，每平方米用油漆 0.7kg，至少需要准备多少千克油漆？
答案
7. $2.5×6.4÷2×0.7 = 5.6$（kg）
8. 四年级有 120 人，五年级的人数是四年级的$\frac{4}{5}$，同时又是六年级的$\frac{6}{7}$。六年级有多少人？
答案
8. $120×\dfrac{4}{5}÷\dfrac{6}{7}=112$（人）
