9. 小明遇到这样一个问题:如图 1,在$△ ABC$中,$AB=8$,$AC=6$,$AD$ 是中线,求 $AD$ 的取值范围. 他的做法是: 延长 $AD$ 至点 $E$,使 $DE=AD$, 连接 $BE$. 证明$△ BDE ≌$$△ CDA$,经过推理和计算使问题得到解决.
请根据小明的做法解决下列问题:
（1）如图 2,$AD$ 是$△ ABC$ 的中线,在 $AD$ 上取一点 $E$,连接 $BE$,且 $BE=AC$,延长$BE$ 交 $AC$ 于点 $F$. 求证:$AF=EF$.
（2）如图 3,在$△ ABC$ 中,$∠ BAC=90°$,$D$ 为$BC$ 的中点,$∠ EDF=90°$. 求证:$BE^2 +$$CF^2=EF^2$.

9. 证明:(1) 如图 1,延长 AD 至点 G,使$DG=AD$,连接 BG. 因为 AD 是$△ABC$的中线,所以$BD=CD$. 在$△BDG$和$△CDA$中,$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠BDG=∠CDA, \\ GD=AD, \end{cases}$所以$△BDG≌△CDA$(SAS),所以$∠G=∠CAD$,$GB=AC$. 因为$BE=AC$,所以$BE=GB$,所以$∠G=∠BEG$. 因为$∠BEG=∠AEF$,所以$∠AEF=∠G=∠CAD$,所以$AF=EF$.
(2) 如图 2,延长 ED 至点 H,使$DH=ED$,连接 CH,FH. 因为$∠EDF=90°$,所以 FD 垂直平分 EH,所以$EF=HF$. 因为 D 为边 BC 的中点,所以$BD=CD$. 同(1)可证$△BDE≌△CDH$(SAS),所以$BE=CH$,$∠B=∠HCD$. 因为$∠BAC=90°$,所以$∠B+∠ACB=90°$,所以$∠HCD+∠ACB=90°$,即$∠HCF=90°$. 在$Rt△CFH$中,由勾股定理,得$CH^2+CF^2=HF^2$,所以$BE^2+CF^2=EF^2$.

10. (2025 苏州市工业园区期中)【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法,如图 1,$OP$ 平分$∠ MON$,$A$ 为$OM$ 上一点,过点$A$ 作$AC⊥ OP$,垂足为$C$,延长$AC$ 交$ON$ 于点$B$,可根据证明$△ AOC≌△ BOC$,则$AO=BO$,$AC=BC$(即$C$ 为$AB$ 的中点).
【类比解答】
如图 2,在$△ ABC$ 中,$CD$ 平分$∠ ACB$,$AE⊥ CD$ 于点$E$,若$∠ EAC=63°$,$∠ B=37°$,通过上述构造全等的办法,可求得$∠ DAE=$.
【拓展延伸】
(1) 如图 3,在$△ ABC$ 中,$AB=AC$,$∠ BAC=90°$,$CD$ 平分$∠ ACB$,$BE⊥ CD$,垂足$E$ 在$CD$ 的延长线上,试探究$BE$ 和$CD$ 的数量关系,并证明你的结论.
(2) 如图 4,在$△ ABC$ 中,$AB=AC$,$∠ BAC=90°$,点$D$ 在线段$BC$ 上,$∠ EDB=\dfrac{1}{2}∠ C$,$BE⊥ DE$,垂足为$E$,$DE$ 与$AB$ 相交于点$F$.线段$BE$ 与$FD$ 的数量关系为.

10. 【问题情境】ASA
【类比解答】$26°$ 提示:延长 AE 交 BC 于点 F. 由【问题情境】可知,$AC=FC$. 所以$∠EFC=∠EAC=63°$. 因为$∠EFC=∠B+∠DAE$,所以$∠DAE=∠EFC-∠B=63°-37°=26°$.
【拓展延伸】(1) $BE=\frac{1}{2}CD$,证明如下:
如图 1,延长 BE,CA 交于点 F,则$∠BAF=180°-∠BAC=90°$. 因为$BE⊥CD$,所以$∠BED=90°$. 所以$∠BAF=∠BED$. 因为$∠BDC=∠ABF+∠BED=∠ACD+∠BAC$,所以$∠ABF=∠ACD$. 在$△ABF$和$△ACD$中,$\begin{cases} ∠ABF=∠ACD, \\ AB=AC, \\ ∠BAF=∠CAD, \end{cases}$所以$△ABF≌△ACD$(ASA). 所以$BF=CD$. 因为 CD 平分$∠ACB$,所以$∠FCE=∠BCE$. 因为$BE⊥CD$,所以$∠FEC=∠BEC=90°$. 在$△EFC$和$△EBC$中,$\begin{cases} ∠FCE=∠BCE, \\ CE=CE, \\ ∠FEC=∠BEC, \end{cases}$所以$△EFC≌△EBC$(ASA). 所以$BE=FE=\frac{1}{2}BF$. 所以$BE=\frac{1}{2}CD$.
(2) $BE=\frac{1}{2}FD$ 提示:如图 2,过点 D 作$DG// AC$,交 BE 的延长线于点 G,与 AF 相交于点 H,所以$∠GDB=∠C$,$∠BHD=∠A=90°$. 因为$∠EDB=\frac{1}{2}∠C$,所以$∠EDB=∠EDG$. 由【问题情境】,得$BE=GE$,$∠BED=90°$,所以$∠BED=∠BHD=90°$. 因为$AB=AC$,$∠BAC=90°$,所以$∠ABC=∠C=45°$. 所以$∠HBD=∠HDB=45°$. 所以$BH=DH$. 由(1),得$BE=\frac{1}{2}FD$.