四 解答题(12题13分,13题15分,14题15分,共43分)
12.已知函数$f(x)=\sin x + 2|\sin x|$，$x\in[0,2π]$。
(1)作出函数$f(x)$的图象；
(2)求方程$f(x)=3$的解。
13.已知$α$为第二象限角，且$\cosα=-\frac{\sqrt{5}}{5}$。
(1)求$\sinα$和$\tanα$的值；
(2)求$\frac{\sinα\cosα}{2\cos^2α - \sin^2α}$的值；
(3)化简并求值：$f(α)=\frac{\sin(α+\frac{π}{2})\tan(π+α)+2\cos(α-π)}{\cosα - \sin(-α)}$。
14.为促进科技创新，某医学影像设备设计公司决定在2026年对研发新产品团队进行奖励，奖励方案如下：奖金$y$(单位：万元)随收益$x$(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过90万元，同时奖金不超过收益的25%，预计收益$x\in[25,900]$。
(1)分别判断以下三个函数模型：$y=0.86^x$，$y=3\ln x + 2$，$y=\sqrt{x}$，是否符合公司奖励方案的要求，并说明理由；(参考数据：$\ln25\approx3.22,\ln900\approx6.80$)
(2)已知函数模型$y=a\sqrt{x} - 8(y≥0)$符合公司奖励方案的要求，求实数$a$的取值范围。
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我的易错点：

12.解:(1)当 $0≤ x≤π$ 时,$\sin x≥0$,则 $f(x)=3\sin x$;
当 $π＜x≤2π$ 时,$\sin x≤0$,则 $f(x)=\sin x-2\sin x=-\sin x$.
故 $f(x)=\begin{cases}3\sin x,0≤ x≤π,\\-\sin x,π＜x≤2π,\end{cases}$ 函数 $y=f(x)$ 的图象如图所示.
(2)当 $0≤ x≤π$ 时,令 $f(x)=3$,即 $3\sin x=3$,得 $\sin x=1$,解得 $x=\frac{π}{2}$;
当 $π＜x≤2π$ 时,令 $f(x)=3$,得 $-\sin x=3$,该方程无解.
综上所述,方程 $f(x)=3$ 的解为 $x=\frac{π}{2}$.(也可通过观察图象得出方程的解)
13.解:(1)因为 $α$ 为第二象限角,且 $\cos α=-\frac{\sqrt{5}}{5}$,
所以 $\sin α=\sqrt{1-\cos^2α}=\sqrt{1-(-\frac{\sqrt{5}}{5})^2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$,
所以 $\tan α=\frac{\sin α}{\cos α}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{-\frac{\sqrt{5}}{5}}=-2$.
(2)因为 $\cos α=-\frac{\sqrt{5}}{5}≠0$,
所以 $\frac{\sin α\cos α}{2\cos^2α-\sin^2α}=\frac{\frac{\sin α\cos α}{\cos^2α}}{\frac{2\cos^2α-\sin^2α}{\cos^2α}}=\frac{\tan α}{2-\tan^2α}=\frac{-2}{2-(-2)^2}=1$.
(3)因为 $\cos α=-\frac{\sqrt{5}}{5}≠0$,
所以 $f(α)=\frac{\sin(α+\frac{π}{2})\tan(π+α)+2\cos(α-π)}{\cos α-\sin(-α)}=\frac{\cos α\tan α-2\cos α}{\cos α+\sin α}=\frac{\sin α-2\cos α}{\cos α+\sin α}=\frac{\frac{\sin α-2\cos α}{\cos α}}{\frac{\cos α+\sin α}{\cos α}}=\frac{\tan α-2}{1+\tan α}=\frac{-2-2}{1+(-2)}=4$.
14.解:(1)函数模型 $y=0.86^x$ 不满足奖金 $y$ 随收益 $x$ 的增加而增加,不符合题意.
函数模型 $y=3\ln x+2$,
当 $x=25$ 时,$3\ln 25+2\approx3×3.22+2=11.66＞25×25\%=6.25$,此时奖金超过收益的 $25\%$,不符合题意.
函数模型 $y=\sqrt{x}$ 满足奖金 $y$ 随收益 $x$ 的增加而增加.
当 $x\in[25,900]$ 时,$y≤\sqrt{900}=30$,满足奖金不超过 90 万元.
因为 $x\in[25,900]$,所以 $\sqrt{x}≥\sqrt{25}=5$,
所以 $4-\sqrt{x}＜0$,
所以 $\sqrt{x}-\frac{x}{4}=\frac{\sqrt{x}(4-\sqrt{x})}{4}＜0$,即 $\sqrt{x}＜\frac{x}{4}=0.25x$,
所以该模型满足奖金不超过收益的 $25\%$,
即函数模型 $y=\sqrt{x}$ 符合公司奖励方案的要求.
(2)因为函数模型 $y=a\sqrt{x}-8(y≥0)$ 符合公司奖励方案的要求,
所以奖金 $y$ 随收益 $x$ 的增加而增加,所以 $a＞0$.
当 $x=25$ 时,$a\sqrt{25}-8≥0$,解得 $a≥\frac{8}{5}$;
当 $x=900$ 时,$a\sqrt{900}-8≤90$,解得 $a≤\frac{49}{15}$.
因为当 $x\in[25,900]$ 时,$a\sqrt{x}-8≤\frac{x}{4}$ 恒成立,
所以 $a≤\frac{\sqrt{x}}{4}+\frac{8}{\sqrt{x}}$.
又因为 $\frac{\sqrt{x}}{4}+\frac{8}{\sqrt{x}}≥2\sqrt{\frac{\sqrt{x}}{4}·\frac{8}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{2}$,
当且仅当 $x=32$ 时,等号成立,所以 $a≤2\sqrt{2}$.
综上,实数 $a$ 的取值范围是 $\{a∣ \frac{8}{5}≤ a≤2\sqrt{2}\}$.