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9 (1) 若$\dfrac{|x|-2}{x^{2}-5x+6}$的值为0,则$x$的值是
(2) 已知分式$\dfrac{x-3}{x^{2}-5x+a}$,当$x=1$时,分式没有意义,则$a$的值为
-2
；(2) 已知分式$\dfrac{x-3}{x^{2}-5x+a}$,当$x=1$时,分式没有意义,则$a$的值为
4
.答案
9.(1) -2 (2) 4
解析
【分析】
本题考查分式的核心性质，需明确两个关键条件：分式的值为0需满足分子为0且分母不为0；分式无意义的条件是分母为0。解题时先根据对应条件列方程，再验证分母的限制，排除不符合的解。
【解析】
(1) 要使分式$\dfrac{|x|-2}{x^{2}-5x+6}$的值为0，需同时满足：
① 分子为0：$|x| - 2 = 0$，解得$x=2$或$x=-2$；
② 分母不为0：$x^2 -5x +6≠0$，因式分解得$(x-2)(x-3)≠0$，即$x≠2$且$x≠3$；
结合两个条件，排除$x=2$，故$x=-2$。
(2) 分式无意义时分母为0，将$x=1$代入分母$x^2 -5x +a$得：
$1^2 -5×1 +a =0$，计算得$1-5+a=0$，解得$a=4$。
【答案】
(1) -2；(2)4
【知识点】
分式的值为0的条件，分式无意义的条件
【点评】
本题为分式基础题型，核心是掌握分式值为0和无意义的条件，需注意分母不能为0的易错点，解题时分步骤验证即可。
【难度系数】
0.5
本题考查分式的核心性质，需明确两个关键条件：分式的值为0需满足分子为0且分母不为0；分式无意义的条件是分母为0。解题时先根据对应条件列方程，再验证分母的限制，排除不符合的解。
【解析】
(1) 要使分式$\dfrac{|x|-2}{x^{2}-5x+6}$的值为0，需同时满足：
① 分子为0：$|x| - 2 = 0$，解得$x=2$或$x=-2$；
② 分母不为0：$x^2 -5x +6≠0$，因式分解得$(x-2)(x-3)≠0$，即$x≠2$且$x≠3$；
结合两个条件，排除$x=2$，故$x=-2$。
(2) 分式无意义时分母为0，将$x=1$代入分母$x^2 -5x +a$得：
$1^2 -5×1 +a =0$，计算得$1-5+a=0$，解得$a=4$。
【答案】
(1) -2；(2)4
【知识点】
分式的值为0的条件，分式无意义的条件
【点评】
本题为分式基础题型，核心是掌握分式值为0和无意义的条件，需注意分母不能为0的易错点，解题时分步骤验证即可。
【难度系数】
0.5
10 小雪从家到学校的距离为$a\ \mathrm{m}$,若骑自行车去上学,则需要$b\ \mathrm{min}$到达学校.为了提前$20\ \mathrm{min}$到达学校,则骑自行车的速度应为
$\dfrac{a}{b-20}$
$\mathrm{m}/\mathrm{min}.$答案
10.$\dfrac{a}{b-20}$
【解析】由题意,知骑自行车的时间为$(b-20)\mathrm{min}$，
$\therefore$ 骑自行车的速度为$\dfrac{a}{b-20}\ \mathrm{m/min}.$
【解析】由题意,知骑自行车的时间为$(b-20)\mathrm{min}$，
$\therefore$ 骑自行车的速度为$\dfrac{a}{b-20}\ \mathrm{m/min}.$
解析
【分析】
这道题考查路程、时间与速度的关系，解题思路是先根据“提前20min到达”确定新的行驶时间，再利用“速度=路程÷时间”的公式计算目标速度。具体步骤：首先明确原来的时间是$b\ \mathrm{min}$，提前20min后，新的行驶时间为$(b-20)\ \mathrm{min}$；再结合已知路程$a\ \mathrm{m}$，代入速度公式即可求出结果。
【解析】
根据题意，提前20min到达时，骑自行车的行驶时间为$(b - 20)\ \mathrm{min}$。根据速度的计算公式：速度 = 路程÷时间，已知路程为$a\ \mathrm{m}$，因此骑自行车的速度为$\dfrac{a}{b - 20}\ \mathrm{m/min}$。
【答案】
$\dfrac{a}{b - 20}$
【知识点】
列代数式；路程、速度、时间的关系
【点评】
本题是基础行程问题，核心是掌握速度公式，关键是准确求出提前到达后的行驶时间，属于对基础知识点的直接应用，难度较低。
【难度系数】
0.6
这道题考查路程、时间与速度的关系，解题思路是先根据“提前20min到达”确定新的行驶时间，再利用“速度=路程÷时间”的公式计算目标速度。具体步骤：首先明确原来的时间是$b\ \mathrm{min}$，提前20min后，新的行驶时间为$(b-20)\ \mathrm{min}$；再结合已知路程$a\ \mathrm{m}$，代入速度公式即可求出结果。
【解析】
根据题意，提前20min到达时，骑自行车的行驶时间为$(b - 20)\ \mathrm{min}$。根据速度的计算公式：速度 = 路程÷时间，已知路程为$a\ \mathrm{m}$，因此骑自行车的速度为$\dfrac{a}{b - 20}\ \mathrm{m/min}$。
【答案】
$\dfrac{a}{b - 20}$
【知识点】
列代数式；路程、速度、时间的关系
【点评】
本题是基础行程问题，核心是掌握速度公式，关键是准确求出提前到达后的行驶时间，属于对基础知识点的直接应用，难度较低。
【难度系数】
0.6
11 已知分式$\dfrac{5}{2-3x}$.
（1）当$x$满足什么条件时，分式的值是正数？
（2）当$x$满足什么条件时，分式的值是负数？
（3）当$x$满足什么条件时，分式无意义？
（1）当$x$满足什么条件时，分式的值是正数？
（2）当$x$满足什么条件时，分式的值是负数？
（3）当$x$满足什么条件时，分式无意义？
答案
11.(1) 当$x＜\dfrac{2}{3}$时,分式的值是正数 (2) 当$x＞\dfrac{2}{3}$时,分式的值是负数 (3) 当$x=\dfrac{2}{3}$时,分式无意义
解析
【分析】
要解决这道题，需掌握分式的核心性质：①分式的值的正负由分子和分母的符号关系决定，同号得正、异号得负；②分式无意义的条件是分母为0。本题中分子是正数5，因此可直接根据分母的符号求解前两问，第三问直接利用分母为0的条件即可。
【解析】
（1）分式的值为正数时，分子分母需同号。已知分子5＞0，因此分母需满足：
2 - 3x ＞ 0
移项得：-3x ＞ -2
两边同时除以-3（不等号方向改变），得：x ＜ 2/3；
（2）分式的值为负数时，分子分母需异号。已知分子5＞0，因此分母需满足：
2 - 3x ＜ 0
移项得：-3x ＜ -2
两边同时除以-3（不等号方向改变），得：x ＞ 2/3；
（3）分式无意义的条件是分母为0，即：
2 - 3x = 0
解得：x = 2/3；
【答案】
11.(1) 当$x＜\dfrac{2}{3}$时,分式的值是正数 (2) 当$x＞\dfrac{2}{3}$时,分式的值是负数 (3) 当$x=\dfrac{2}{3}$时,分式无意义
【知识点】
分式的符号判断、分式无意义的条件
【点评】
本题是分式基础性质的直接应用，核心考点明确，解题思路清晰，属于分式章节的入门基础题，只要掌握分式符号规律和无意义的条件即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需掌握分式的核心性质：①分式的值的正负由分子和分母的符号关系决定，同号得正、异号得负；②分式无意义的条件是分母为0。本题中分子是正数5，因此可直接根据分母的符号求解前两问，第三问直接利用分母为0的条件即可。
【解析】
（1）分式的值为正数时，分子分母需同号。已知分子5＞0，因此分母需满足：
2 - 3x ＞ 0
移项得：-3x ＞ -2
两边同时除以-3（不等号方向改变），得：x ＜ 2/3；
（2）分式的值为负数时，分子分母需异号。已知分子5＞0，因此分母需满足：
2 - 3x ＜ 0
移项得：-3x ＜ -2
两边同时除以-3（不等号方向改变），得：x ＞ 2/3；
（3）分式无意义的条件是分母为0，即：
2 - 3x = 0
解得：x = 2/3；
【答案】
11.(1) 当$x＜\dfrac{2}{3}$时,分式的值是正数 (2) 当$x＞\dfrac{2}{3}$时,分式的值是负数 (3) 当$x=\dfrac{2}{3}$时,分式无意义
【知识点】
分式的符号判断、分式无意义的条件
【点评】
本题是分式基础性质的直接应用，核心考点明确，解题思路清晰，属于分式章节的入门基础题，只要掌握分式符号规律和无意义的条件即可快速解答。
【难度系数】
0.8
12 教材 P139 练习第 1 题变式 列式表示下列各量：
(1) 某计算器降价 $a\%$ 后的单价为 $m$ 元. 求此计算器降价前的单价.
(2) 甲稻田有 $n$ 公顷,共收获稻谷 $a\ \mathrm{kg}$;乙稻田有 $m$ 公顷,共收获稻谷 $b\ \mathrm{kg}$. 求甲、乙两稻田稻谷的平均产量.
(3) 一货轮在距离为 $s\ \mathrm{km}$ 的 A,B 两码头之间航行,已知货轮在静水中航行的速度是 $a\ \mathrm{km/h}$($a＞3$),水流速度是 $3\ \mathrm{km/h}$. 请分别写出货轮在 A,B 两码头之间顺流航行和逆流航行所用的时间.
(1) 某计算器降价 $a\%$ 后的单价为 $m$ 元. 求此计算器降价前的单价.
(2) 甲稻田有 $n$ 公顷,共收获稻谷 $a\ \mathrm{kg}$;乙稻田有 $m$ 公顷,共收获稻谷 $b\ \mathrm{kg}$. 求甲、乙两稻田稻谷的平均产量.
(3) 一货轮在距离为 $s\ \mathrm{km}$ 的 A,B 两码头之间航行,已知货轮在静水中航行的速度是 $a\ \mathrm{km/h}$($a＞3$),水流速度是 $3\ \mathrm{km/h}$. 请分别写出货轮在 A,B 两码头之间顺流航行和逆流航行所用的时间.
答案
12.(1) $\dfrac{m}{1-a\%}$元 (2) $\dfrac{a+b}{m+n}\ \mathrm{kg/公顷}$ (3) 顺流航行所用的时间为$\dfrac{s}{a+3}\ \mathrm{h}$,逆流航行所用的时间为$\dfrac{s}{a-3}\ \mathrm{h}$
解析
【分析】
本题需根据各小题的核心数量关系列式：
(1) 降价$a\%$后，现价是原价的$(1 - a\%)$，已知现价求原价，用现价除以对应比例即可；
(2) 平均产量等于总稻谷质量除以总稻田面积，需先确定总质量和总面积再计算；
(3) 顺流速度为静水速度加水流速度，逆流速度为静水速度减水流速度，时间=路程÷速度，据此分别计算顺、逆流航行时间。
【解析】
(1) 设降价前的单价为$x$元，根据“原价×(1 - 降价百分比)=现价”，列方程：$x(1 - a\%) = m$，解得$x = \dfrac{m}{1 - a\%}$，即降价前的单价为$\dfrac{m}{1 - a\%}$元。
(2) 甲、乙两稻田总收获稻谷量为$(a + b)\ \mathrm{kg}$，总公顷数为$(m + n)$公顷，根据“平均产量=总产量÷总公顷数”，可得平均产量为$\dfrac{a + b}{m + n}\ \mathrm{kg/公顷}$。
(3) 顺流航行时，货轮速度为$(a + 3)\ \mathrm{km/h}$，由“时间=路程÷速度”，顺流时间为$\dfrac{s}{a + 3}\ \mathrm{h}$；逆流航行时，货轮速度为$(a - 3)\ \mathrm{km/h}$，逆流时间为$\dfrac{s}{a - 3}\ \mathrm{h}$。
【答案】
12.(1) $\dfrac{m}{1-a\%}$元 (2) $\dfrac{a+b}{m+n}\ \mathrm{kg/公顷}$ (3) 顺流航行所用的时间为$\dfrac{s}{a+3}\ \mathrm{h}$,逆流航行所用的时间为$\dfrac{s}{a-3}\ \mathrm{h}$
【知识点】
列代数式、分式应用、行程问题
【点评】
本题是教材练习的基础变式题，涵盖百分比降价、平均产量、顺逆流行程三类常见数量关系，考查学生对基本数量关系的理解与代数式的列式能力，属于巩固基础的常规题型。
【难度系数】
0.7
本题需根据各小题的核心数量关系列式：
(1) 降价$a\%$后，现价是原价的$(1 - a\%)$，已知现价求原价，用现价除以对应比例即可；
(2) 平均产量等于总稻谷质量除以总稻田面积，需先确定总质量和总面积再计算；
(3) 顺流速度为静水速度加水流速度，逆流速度为静水速度减水流速度，时间=路程÷速度，据此分别计算顺、逆流航行时间。
【解析】
(1) 设降价前的单价为$x$元，根据“原价×(1 - 降价百分比)=现价”，列方程：$x(1 - a\%) = m$，解得$x = \dfrac{m}{1 - a\%}$，即降价前的单价为$\dfrac{m}{1 - a\%}$元。
(2) 甲、乙两稻田总收获稻谷量为$(a + b)\ \mathrm{kg}$，总公顷数为$(m + n)$公顷，根据“平均产量=总产量÷总公顷数”，可得平均产量为$\dfrac{a + b}{m + n}\ \mathrm{kg/公顷}$。
(3) 顺流航行时，货轮速度为$(a + 3)\ \mathrm{km/h}$，由“时间=路程÷速度”，顺流时间为$\dfrac{s}{a + 3}\ \mathrm{h}$；逆流航行时，货轮速度为$(a - 3)\ \mathrm{km/h}$，逆流时间为$\dfrac{s}{a - 3}\ \mathrm{h}$。
【答案】
12.(1) $\dfrac{m}{1-a\%}$元 (2) $\dfrac{a+b}{m+n}\ \mathrm{kg/公顷}$ (3) 顺流航行所用的时间为$\dfrac{s}{a+3}\ \mathrm{h}$,逆流航行所用的时间为$\dfrac{s}{a-3}\ \mathrm{h}$
【知识点】
列代数式、分式应用、行程问题
【点评】
本题是教材练习的基础变式题，涵盖百分比降价、平均产量、顺逆流行程三类常见数量关系，考查学生对基本数量关系的理解与代数式的列式能力，属于巩固基础的常规题型。
【难度系数】
0.7
13 分式的定义告诉我们:一般地,如果 A,B 表示两个整式,并且 B 中含有字母,那么式子$\dfrac{A}{B}$为分式.
我们还知道:两数相除,同号得正.请运用这些知识解决问题.
(1) 如果分式$\dfrac{x}{x+1}$的值是整数,求整数$x$的值;
(2) 如果分式$\dfrac{x}{x+1}$的值为正数,求$x$的取值范围.
我们还知道:两数相除,同号得正.请运用这些知识解决问题.
(1) 如果分式$\dfrac{x}{x+1}$的值是整数,求整数$x$的值;
(2) 如果分式$\dfrac{x}{x+1}$的值为正数,求$x$的取值范围.
答案
13.(1) $\because \dfrac{x}{x+1}=\dfrac{x+1-1}{x+1}=1-\dfrac{1}{x+1}$,且分式$\dfrac{x}{x+1}$的值是整数,$x$为整数,$\therefore x+1=\pm1$,解得$x=0$或$x=-2$
(2) $\because$ 分式$\dfrac{x}{x+1}$的值为正数,$\therefore \begin{cases} x＞0, \\ x+1＞0 \end{cases}$或$\begin{cases} x＜0, \\ x+1＜0, \end{cases}$解得$x＞0$或$x＜-1. \therefore x$的取值范围是$x＞0$或$x＜-1$
(2) $\because$ 分式$\dfrac{x}{x+1}$的值为正数,$\therefore \begin{cases} x＞0, \\ x+1＞0 \end{cases}$或$\begin{cases} x＜0, \\ x+1＜0, \end{cases}$解得$x＞0$或$x＜-1. \therefore x$的取值范围是$x＞0$或$x＜-1$
解析
【分析】
第(1)问，要使分式$\dfrac{x}{x+1}$的值为整数，先通过分离常数法变形分式，将分子转化为与分母相关的形式，便于分析；因为x是整数，变形后分式的分母需为分子的约数，由此确定x+1的可能取值，进而求解x。第(2)问，根据“两数相除同号得正”，分式的值为正数等价于分子与分母同号，据此分两种情况列出不等式组，求解不等式组得到x的取值范围，同时注意分母不为0的隐含条件。
【解析】
(1) 对分式$\dfrac{x}{x+1}$变形：
$\dfrac{x}{x+1} = \dfrac{(x+1)-1}{x+1} = 1 - \dfrac{1}{x+1}$
已知分式的值为整数，且x为整数，因此$\dfrac{1}{x+1}$必须为整数，即$x+1$是1的约数，故$x+1 = \pm1$。
当$x+1=1$时，解得$x=0$；当$x+1=-1$时，解得$x=-2$。
验证：$x=0$时分母$x+1=1≠0$，$x=-2$时分母$x+1=-1≠0$，均满足分式有意义，因此整数x的值为0或-2。
(2) 因为分式$\dfrac{x}{x+1}$的值为正数，根据“两数相除同号得正”，分子与分母需同号，分两种情况列不等式组：
① $\begin{cases} x ＞ 0 \\ x+1 ＞ 0 \end{cases}$，解得$x ＞ 0$；
② $\begin{cases} x ＜ 0 \\ x+1 ＜ 0 \end{cases}$，解得$x ＜ -1$。
综上，x的取值范围是$x ＞ 0$或$x ＜ -1$。
【答案】
(1) 整数x的值为0或-2；(2) x的取值范围是$x ＞ 0$或$x ＜ -1$
【知识点】
分式的定义，分式的值，不等式组的应用
【点评】
本题考查分式的变形、分式值为整数的条件及分式值为正的转化方法，需掌握分离常数法处理分式，利用有理数除法法则转化为不等式组求解，是分式部分的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
第(1)问，要使分式$\dfrac{x}{x+1}$的值为整数，先通过分离常数法变形分式，将分子转化为与分母相关的形式，便于分析；因为x是整数，变形后分式的分母需为分子的约数，由此确定x+1的可能取值，进而求解x。第(2)问，根据“两数相除同号得正”，分式的值为正数等价于分子与分母同号，据此分两种情况列出不等式组，求解不等式组得到x的取值范围，同时注意分母不为0的隐含条件。
【解析】
(1) 对分式$\dfrac{x}{x+1}$变形：
$\dfrac{x}{x+1} = \dfrac{(x+1)-1}{x+1} = 1 - \dfrac{1}{x+1}$
已知分式的值为整数，且x为整数，因此$\dfrac{1}{x+1}$必须为整数，即$x+1$是1的约数，故$x+1 = \pm1$。
当$x+1=1$时，解得$x=0$；当$x+1=-1$时，解得$x=-2$。
验证：$x=0$时分母$x+1=1≠0$，$x=-2$时分母$x+1=-1≠0$，均满足分式有意义，因此整数x的值为0或-2。
(2) 因为分式$\dfrac{x}{x+1}$的值为正数，根据“两数相除同号得正”，分子与分母需同号，分两种情况列不等式组：
① $\begin{cases} x ＞ 0 \\ x+1 ＞ 0 \end{cases}$，解得$x ＞ 0$；
② $\begin{cases} x ＜ 0 \\ x+1 ＜ 0 \end{cases}$，解得$x ＜ -1$。
综上，x的取值范围是$x ＞ 0$或$x ＜ -1$。
【答案】
(1) 整数x的值为0或-2；(2) x的取值范围是$x ＞ 0$或$x ＜ -1$
【知识点】
分式的定义，分式的值，不等式组的应用
【点评】
本题考查分式的变形、分式值为整数的条件及分式值为正的转化方法，需掌握分离常数法处理分式，利用有理数除法法则转化为不等式组求解，是分式部分的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
