1 $-4x^{2}y+2xy^{2}-2xy$ 分解因式的结果是（）

A.$-2xy(2x-y+1)$
B.$2xy(-2x+y)$
C.$2xy(-2xy+y-1)$
D.$-2xy(2x+y-1)$

1. A

【分析】
本题考查因式分解的提公因式法，解题思路是：先确定多项式各项的公因式，再将公因式提取出来，剩余部分作为括号内的多项式，注意符号处理避免出错。首先观察原式各项，找到系数的最大公约数、相同字母的最低次幂确定公因式，再逐项计算提取公因式后的结果，最后匹配选项。
【解析】
对多项式$-4x^{2}y+2xy^{2}-2xy$分解因式：
1. 确定公因式：各项系数的最大公约数为2，且各项都含因式$x$和$y$，结合符号后公因式为$-2xy$；
2. 提取公因式：将原式各项分别除以公因式$-2xy$，得：
$-4x^{2}y ÷ (-2xy) = 2x$，
$2xy^{2} ÷ (-2xy) = -y$，
$-2xy ÷ (-2xy) = 1$；
3. 组合结果：原式分解为$-2xy(2x - y + 1)$，与选项A一致。
【答案】
A
【知识点】
因式分解（提公因式法）
【点评】
本题是因式分解基础题，核心考查提公因式法的应用，关键是准确找公因式并处理符号，难度较低，用于巩固基础知识点。
【难度系数】
0.7

2 分解因式：
(1) $-9m^{2}+4n^{2}=$;
(2) $4x^{2}+12xy+9y^{2}=$.

2. (1) $(2n+3m)(2n-3m)$ (2) $(2x+3y)^2$

【分析】分解因式时，两项式优先考虑平方差公式，三项式优先考虑完全平方公式。第(1)题是两项式，先调整符号顺序使原式符合平方差公式结构；第(2)题是三项式，观察各项是否匹配完全平方公式的特征，再套用公式分解。
【解析】
(1) 先调整原式顺序：$-9m^2 + 4n^2 = 4n^2 - 9m^2$，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=2n$，$b=3m$，因此分解得：$(2n + 3m)(2n - 3m)$；
(2) 观察原式$4x^2 + 12xy + 9y^2$，首项$4x^2=(2x)^2$，末项$9y^2=(3y)^2$，中间项$12xy=2×2x×3y$，符合完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，其中$a=2x$，$b=3y$，因此分解得：$(2x + 3y)^2$。
【答案】(1) $(2n+3m)(2n-3m)$；(2) $(2x+3y)^2$
【知识点】因式分解、平方差公式、完全平方公式
【点评】本题是因式分解的基础题型，主要考查平方差公式和完全平方公式的应用，需学生熟练掌握公式结构特征，准确识别对应项，属于必须掌握的基础知识点。
【难度系数】0.8

3 把多项式$4x-4x^{3}$分解因式正确的是（）

A.$-x(x+2)(x-2)$
B.$-x(x+2)(2-x)$
C.$-4x(x+1)(1-x)$
D.$4x(x+1)(1-x)$

3. D 【解析】原式=$4x(1-x^2)=4x(x+1)(1-x).$

【分析】
分解因式的一般步骤是先提取公因式，再运用公式法分解。本题中多项式为$4x - 4x^3$，首先观察各项的公因式，确定公因式为$4x$，提取公因式后得到$4x(1 - x^2)$；剩余的$1 - x^2$符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=1$，$b=x$，进一步分解为$(1+x)(1-x)$，最终结果对应选项D。
【解析】
原式$=4x - 4x^3 = 4x(1 - x^2) = 4x(x + 1)(1 - x)$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
分解因式；提公因式法；平方差公式
【点评】
本题考查多项式的因式分解，属于基础题型，解题关键是熟练掌握提公因式法和平方差公式的应用，分解时要彻底，直到不能再分解为止，注意符号的正确性。
【难度系数】
0.7

4 分解因式：
(1) $x^{4}-256y^{4}=$ ;
(2) $mn^{2}+8mn+16m=$ .

4. (1) $(x^2+16y^2)(x+4y)(x-4y)$ (2) $m(n+4)^2$

【分析】
因式分解需遵循“先提公因式，再用公式法，分解到不能再分解”的原则。第(1)题是四次二项式，符合平方差公式特征，先转化为平方差形式分解，剩余因式若仍符合公式需继续分解；第(2)题先提取公因式m，剩余二次三项式符合完全平方公式特征，再用公式分解即可。
【解析】
(1) 对$x^4 - 256y^4$分解因式：
$\begin{aligned}x^4 - 256y^4&=(x^2)^2 - (16y^2)^2\\&=(x^2 + 16y^2)(x^2 - 16y^2)\\&=(x^2 + 16y^2)(x + 4y)(x - 4y)\end{aligned}$
(2) 对$mn^2 + 8mn + 16m$分解因式：
$\begin{aligned}mn^2 + 8mn + 16m&=m(n^2 + 8n + 16)\\&=m(n + 4)^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $(x^2 + 16y^2)(x + 4y)(x - 4y)$；(2) $m(n + 4)^2$
【知识点】
因式分解、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，需熟练掌握提公因式法和公式法，分解时要注意彻底性，避免遗漏后续分解步骤，属于初中数学基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.6

5 阅读材料：
在分解多项式,如:$m^{2}-mn+2m-2n$时,可作如下分组:$m^{2}-mn+2m-2n=(m^{2}-mn)+(2m-$$2n)=m(m-n)+2(m-n)=(m-n)(m+2).$
这种因式分解的方法叫作分组分解法,请仿照上面的方法分解因式:$a^{3}-3a^{2}+6a-18.$

5. $a^{3}-3a^{2}+6a-18=a^{2}(a-3)+6(a-3)=(a-3)(a^{2}+6)$

【分析】
要分解多项式$a^{3}-3a^{2}+6a-18$，可仿照材料中的分组分解法：先观察多项式的项，将前两项与后两项分组，使每组能提取公因式；再分别提取每组的公因式，得到两组含相同因式的式子；最后提取公共因式，完成因式分解。
【解析】
解：$a^{3}-3a^{2}+6a-18$
$=(a^{3}-3a^{2})+(6a-18)$ （合理分组，使每组可提取公因式）
$=a^{2}(a-3)+6(a-3)$ （分别提取每组的公因式）
$=(a-3)(a^{2}+6)$ （提取两组的公共因式）
【答案】
$(a-3)(a^{2}+6)$
【知识点】
因式分解-分组分解法；提公因式法
【点评】
本题考查分组分解法的应用，需通过合理分组将多项式转化为可提公因式的形式，是因式分解的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7

6【教材速览】教材P133阅读与思考介绍了二次项系数为1的二次三项式用十字相乘法分解的方法. 如分解二次三项式$x^{2}-x-6$,如图,将二次项系数与常数项分别拆成两个因数,布列十字交叉线,左边两个数的积为二次项系数,右边两个数的积为常数项,交叉相乘后相加所得的和为一次项系数,则$x^{2}-x-6=(x+2)(x-3)$.
【变式训练】试参考上面的方法分解二次项系数不是1的二次三项式:$2a^{2}-5a-3$.

6. 列十字相乘如图所示,$\therefore 2a^{2}-5a-3=(a-3)(2a+1)$

【分析】
要分解二次项系数不为1的二次三项式，使用十字相乘法时，需将二次项系数拆分为两个整数的乘积，常数项拆分为两个整数的乘积，使得交叉相乘后所得的和等于一次项系数，进而写出因式分解结果。对于式子$2a^2 -5a -3$，先拆分二次项系数和常数项，验证交叉乘积和是否匹配一次项系数，即可完成分解。
【解析】
1. 拆分二次项系数：将二次项系数$2$拆分为$1×2$；
2. 拆分常数项：将常数项$-3$拆分为$-3×1$；
3. 验证交叉乘积和：计算$1×1 + 2×(-3)=1-6=-5$，恰好等于一次项系数；
4. 写出分解结果：根据十字相乘法规则，可得$2a^2 -5a -3=(a-3)(2a+1)$。
【答案】
$(a-3)(2a+1)$
【知识点】
十字相乘法分解因式、二次三项式因式分解
【点评】
本题考查十字相乘法分解二次项系数不为1的二次三项式，核心是正确拆分系数使交叉乘积和匹配一次项系数，属于因式分解的基础应用。
【难度系数】
0.5