11 教材P127习题17.1第8题变式 $△ ABC$ 的三边长分别为 $a,b,c$ ,且 $a+2ab=c+2bc$ ,则 $△ ABC$ 是三角形.

11. 等腰

【分析】首先对给定的等式进行变形，通过因式分解将等式转化为乘积形式，再结合三角形边长为正数的性质，推导两边的相等关系，进而判断三角形类型。
【解析】对等式$a + 2ab = c + 2bc$移项得：$a - c + 2ab - 2bc = 0$，分组因式分解得：$(a - c) + 2b(a - c) = 0$，提取公因式后为：$(a - c)(1 + 2b) = 0$。因为$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，所以$b＞0$，则$1 + 2b ＞ 0$，因此只能$a - c = 0$，即$a = c$，故$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】等腰
【知识点】因式分解的应用；等腰三角形的判定
【点评】本题将代数变形与几何判定结合，核心是通过因式分解推导边的关系，难度适中，侧重考查代数运算与几何性质的综合应用。
【难度系数】0.6

12 教材 P127 习题 17.1 第 4 题变式 把下列各式分解因式：
(1) $-5a^{2}b^{3}+20ab^{2}-5ab$；
(2) $(2x-y)(x+3y)-(x+y)(y-2x)$；
(3) $(x+y)(x-y)-(x+y)^{2}$；
(4) $5x(x-2y)^{2}-20(2y-x)^{3}$.

12. (1) $-5ab(ab^{2}-4b+1)$ (2) $2(2x-y)(x+2y)$
(3) $-2y(x+y)$ (4) $5(x-2y)^{2}(5x-8y)$

【分析】
因式分解的核心是将多项式转化为几个整式乘积的形式，本题主要运用提公因式法解题。解题思路：先观察多项式各项，确定公因式（系数取各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂，注意符号处理）；若存在互为相反数的项，需先转化为相同形式再找公因式；提取公因式后，整理剩余多项式，检查是否还能继续分解。
【解析】
(1) 原式：$-5a^{2}b^{3}+20ab^{2}-5ab$
公因式为$-5ab$，提取得：
$-5ab(ab^{2}-4b+1)$
(2) 原式：$(2x-y)(x+3y)-(x+y)(y-2x)$
先变形符号：$y-2x=-(2x-y)$，代入得：
$(2x-y)(x+3y)+(x+y)(2x-y)$
提取公因式$(2x-y)$：
$(2x-y)[(x+3y)+(x+y)]=(2x-y)(2x+4y)$
再提取括号内的公因式$2$：
$2(2x-y)(x+2y)$
(3) 原式：$(x+y)(x-y)-(x+y)^{2}$
提取公因式$(x+y)$：
$(x+y)[(x-y)-(x+y)]=(x+y)(-2y)$
整理得：
$-2y(x+y)$
(4) 原式：$5x(x-2y)^{2}-20(2y-x)^{3}$
变形符号：$(2y-x)^{3}=-(x-2y)^{3}$，代入得：
$5x(x-2y)^{2}+20(x-2y)^{3}$
提取公因式$5(x-2y)^{2}$：
$5(x-2y)^{2}[x+4(x-2y)]=5(x-2y)^{2}(5x-8y)$
【答案】
(1) $-5ab(ab^{2}-4b+1)$；(2) $2(2x-y)(x+2y)$；(3) $-2y(x+y)$；(4) $5(x-2y)^{2}(5x-8y)$
【知识点】
因式分解、提公因式法、符号变形
【点评】
本题为因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，需注意互为相反数的项的符号转化，提取公因式后要确保剩余多项式无法再分解，整体难度不大，需熟练掌握公因式的确定方法。
【难度系数】
0.6

13 一题多解 先化简,再求值: $(x+2y)(x-2y)-(x-2y)^2$,其中 $x=1,y=2$.

13. 解法一:原式$=x^{2}-4y^{2}-(x^{2}-4xy+4y^{2})=x^{2}-4y^{2}-x^{2}+4xy-4y^{2}=4xy-8y^{2}$. 当 $x=1,y=2$ 时,原式$=4xy-8y^{2}=4×1×2-8×2^{2}=8-32=-24$
解法二:原式$=(x-2y)(x+2y-x+2y)=4y(x-2y)$. 当 $x=1,y=2$ 时,原式$=4y(x-2y)=4×2×(1-2×2)=-24$

【分析】本题是整式的化简求值题，要求先化简再代入计算。解题思路有两种：方法一，利用平方差公式和完全平方公式分别展开式子中的两项，再去括号合并同类项得到最简式，最后代入x、y的值计算；方法二，观察到两项含有相同的公因式(x-2y)，先提取公因式化简，再代入求值，两种方法均可得到结果，体现了一题多解的思维。
【解析】
解法一：利用平方差公式和完全平方公式展开：
原式 = x² - 4y² - (x² - 4xy + 4y²)
去括号得：x² - 4y² - x² + 4xy - 4y²
合并同类项得：4xy - 8y²
当x=1，y=2时，代入得：
4×1×2 - 8×2² = 8 - 32 = -24
解法二：提取公因式(x-2y)：
原式 = (x - 2y)[(x + 2y) - (x - 2y)]
化简括号内：(x + 2y - x + 2y) = 4y
所以原式 = (x - 2y)×4y = 4y(x - 2y)
当x=1，y=2时，代入得：
4×2×(1 - 2×2) = 8×(-3) = -24
【答案】-24
【知识点】平方差公式，完全平方公式，整式化简求值
【点评】本题属于整式运算的基础题型，通过一题多解的形式，既考查了平方差公式、完全平方公式的正确运用，又巩固了提取公因式的因式分解方法，同时训练了运算能力与思维灵活性，需注意去括号时的符号处理，避免计算失误。
【难度系数】0.7

14 [2025 海门段测]阅读下面的材料：
已知二次三项式 $2x^2+x+a$ 有一个因式为 $x+2$,求另一个因式以及 $a$ 的值.
解:设另一个因式为 $2x+b$.
根据题意,得 $2x^2+x+a=(x+2)(2x+b)$.
展开,得 $2x^2+x+a=2x^2+(b+4)x+2b$.
$\therefore \begin{cases} b+4=1,\\ a=2b, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=-6,\\ b=-3. \end{cases}$
$\therefore$ 另一个因式为 $2x-3$,$a$ 的值是 $-6$.
请你仿照以上方法解答:已知二次三项式 $3x^2+10x+m$ 有一个因式为 $x+4$,求另一个因式以及$m$ 的值.

14. 设另一个因式为 $3x+b$. 根据题意,得 $3x^{2}+10x+m=(x+4)(3x+b)$. 展开,得 $3x^{2}+10x+m=3x^{2}+(b+12)x+4b$.
$\therefore \begin{cases} b+12=10,\\ m=4b, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} b=-2,\\ m=-8, \end{cases}$ 即另一个因式为 $3x-2$,$m$ 的值是$-8$

【分析】
本题仿照给定的因式分解类例题解题，核心思路是：已知二次三项式的一个一次因式，因二次三项式的二次项系数为3，故另一个因式必为一次式且二次项系数为3，据此设出另一个因式；再利用多项式乘法法则展开等式两边，根据对应项系数相等列出方程组，解方程组即可求出未知参数和另一个因式。
【解析】
设另一个因式为 $3x + b$。
根据题意，得 $3x^2 + 10x + m = (x + 4)(3x + b)$。
展开右边的式子：$(x + 4)(3x + b) = 3x^2 + bx + 12x + 4b = 3x^2 + (b + 12)x + 4b$。
根据多项式相等则对应项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}b + 12 = 10 \\m = 4b\end{cases}$
解第一个方程得 $b = 10 - 12 = -2$；
将 $b = -2$ 代入第二个方程，得 $m = 4 × (-2) = -8$。
因此，另一个因式为 $3x - 2$，$m$ 的值是 $-8$。
【答案】
另一个因式为 $3x - 2$，$m$ 的值是 $-8$
【知识点】
多项式的因式分解、多项式乘法、二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于因式分解的应用类题目，通过仿照例题的方法，利用多项式乘法的对应系数相等建立方程求解，解题步骤清晰，关键在于正确设出另一个因式并准确展开多项式，难度适中，适合学生巩固多项式乘法与因式分解的联系。
【难度系数】
0.6