1 运用乘法公式计算$(x+2y)^{2}$的结果为（）

A.$x^{2}+4xy+4y^{2}$
B.$x^{2}+2xy+4y^{2}$
C.$x^{2}+4xy+2y^{2}$
D.$x^{2}+4y^{2}$

1. A

【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题思路是先回忆完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，再将原式中的$a$替换为$x$，$b$替换为$2y$，代入公式展开计算，最后对比选项选出正确结果。
【解析】根据完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，令$a=x$，$b=2y$，代入得：
$(x+2y)^2=x^2+2· x· 2y+(2y)^2=x^2+4xy+4y^2$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】完全平方公式
【点评】本题是完全平方公式的基础应用题型，主要考察学生对完全平方和公式的掌握，计算过程简单直接，属于代数运算的基础题目。
【难度系数】0.8

2 将 $9.5^{2}$ 变形正确的是（）

A.$9.5^{2}=9^{2}+0.5^{2}$
B.$9.5^{2}=(10+0.5) ×(10-0.5)$
C.$9.5^{2}=10^{2}-2 × 10 × 0.5+0.5^{2}$
D.$9.5^{2}=9^{2}+9 × 0.5+0.5^{2}$

2. C

【分析】
本题考查乘法公式的应用，解题思路是先将9.5转化为便于运用公式的形式（如10-0.5），再结合完全平方公式、平方差公式的结构特征，逐一分析每个选项的变形是否正确，从而确定答案。
【解析】
首先，将9.5变形为10 - 0.5，根据完全平方公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$9.5^2=(10-0.5)^2=10^2 - 2×10×0.5 + 0.5^2$，接下来分析各选项：
选项A：$9.5^2=(9+0.5)^2$，根据完全平方公式应展开为$9^2 + 2×9×0.5 + 0.5^2$，而非$9^2 + 0.5^2$，变形错误；
选项B：$(10+0.5)(10-0.5)$符合平方差公式，结果为$10^2 - 0.5^2$，与$9.5^2$不相等，变形错误；
选项C：根据完全平方公式，$9.5^2=(10-0.5)^2=10^2 - 2×10×0.5 + 0.5^2$，变形正确；
选项D：$9.5^2=(9+0.5)^2$，正确展开应为$9^2 + 2×9×0.5 + 0.5^2$，选项漏乘了2，变形错误。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查乘法公式的准确应用，需牢记公式的结构特征，避免混淆公式或漏项，解题时通过公式展开验证即可快速判断选项正误。
【难度系数】
0.6

3（易错题）下列计算正确的是（）

A.$(3a+b)^2=9a^2+b^2$
B.$(5x-2y)^2=25x^2-10xy+4y^2$
C.$(\dfrac{1}{2}x-y)^2=\dfrac{1}{2}x^2-xy+y^2$
D.$(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{9}$

3. D
易错分析：对完全平方公式的特征理解不透彻而出错。

【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题思路是根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，逐一计算各选项中等式左边的结果，与右边对比判断正误，需注意公式中中间项是两数乘积的2倍，各项需正确平方，避免漏项或计算错误。
【解析】根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，逐一分析选项：
选项A：$(3a+b)^2=(3a)^2 + 2×3a× b + b^2=9a^2+6ab+b^2$，与右边$9a^2+b^2$不符，错误；
选项B：$(5x-2y)^2=(5x)^2 -2×5x×2y + (2y)^2=25x^2-20xy+4y^2$，与右边$25x^2-10xy+4y^2$不符，错误；
选项C：$(\frac{1}{2}x - y)^2=(\frac{1}{2}x)^2 -2×\frac{1}{2}x× y + y^2=\frac{1}{4}x^2 -xy + y^2$，与右边$\frac{1}{2}x^2 -xy+y^2$不符，错误；
选项D：$(\frac{1}{2}x+\frac{1}{3})^2=(\frac{1}{2}x)^2 +2×\frac{1}{2}x×\frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2=\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}$，与右边一致，正确。
【答案】D
【知识点】完全平方公式，整式的乘法
【点评】本题为易错题，核心考查对完全平方公式的准确掌握，学生易因忽略中间项的系数2倍、平方计算错误等原因出错，需牢记公式结构特征避免失误。
【难度系数】0.3

4 计算：$(x+1)^{2}-(x+2)(x-2)=$.

4. $2x+5$

【分析】
本题是整式的运算题，解题思路是先利用完全平方公式和平方差公式分别展开式子中的两项，再通过去括号、合并同类项化简得到结果。需牢记整式乘法的核心公式，注意去括号时的符号变化，避免计算错误。
【解析】
解：根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得$(x+1)^2=x^2+2x+1$；根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，得$(x+2)(x-2)=x^2-4$。
将两项代入原式：
原式$=(x^2+2x+1)-(x^2-4)$
去括号：$x^2+2x+1 -x^2 +4$
合并同类项：$(x^2 -x^2)+2x+(1+4)=2x+5$
【答案】
$2x+5$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、整式的加减
【点评】
本题是整式运算的基础题型，主要考查对乘法公式的掌握和合并同类项的运算能力，属于易得分题，只要熟练掌握相关公式和运算规则即可正确解答。
【难度系数】
0.8

5 若$a^{2}+b^{2}=5,ab=2$,则$(a+b)^{2}=$.

5. 9

【分析】
要计算$(a+b)^2$的值，需利用完全平方公式将其展开，再结合题目给出的$a^2+b^2$和$ab$的已知条件代入计算。首先回忆完全平方公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，题目已明确给出$a^2+b^2=5$、$ab=2$，直接代入展开式即可求出结果。
【解析】
根据完全平方公式：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
将$a^2+b^2=5$，$ab=2$代入上式：
$(a+b)^2 = (a^2 + b^2) + 2ab = 5 + 2×2 = 5 + 4 = 9$
【答案】
9
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方公式的基础应用，属于代数运算的简单题型，核心是熟练掌握完全平方公式的展开形式，直接代入已知数值即可快速求解。
【难度系数】
0.9

6 教材 P115 例 3,4 变式 运用完全平方公式计算：
(1) $(5a+2)^{2}$;
(2) $(2b-\dfrac{1}{3})^{2}$;
(3) $1002^{2}$;
(4) $60.1^{2}$.

6. (1) $25a^{2}+20a+4$ (2) $4b^{2}-\dfrac{4}{3}b+\dfrac{1}{9}$ (3) 1 004 004
(4) 3 612.01

【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题思路：对于(1)(2)直接套用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，先确定公式中的$a$和$b$，再代入展开计算；对于(3)(4)，将接近整十、整百的数拆成整十/百数与一个较小数的和或差，转化为完全平方形式后套用公式，简化计算。
【解析】
(1) 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，令$a=5a$，$b=2$，则：
$(5a+2)^2=(5a)^2 + 2×5a×2 + 2^2=25a^2+20a+4$；
(2) 根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，令$a=2b$，$b=\frac{1}{3}$，则：
$(2b-\frac{1}{3})^2=(2b)^2 - 2×2b×\frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2=4b^2-\frac{4}{3}b+\frac{1}{9}$；
(3) 将$1002$转化为$1000+2$，根据完全平方公式：
$1002^2=(1000+2)^2=1000^2 + 2×1000×2 + 2^2=1000000+4000+4=1004004$；
(4) 将$60.1$转化为$60+0.1$，根据完全平方公式：
$60.1^2=(60+0.1)^2=60^2 + 2×60×0.1 + 0.1^2=3600+12+0.01=3612.01$；
【答案】(1)$25a^2+20a+4$；(2)$4b^2-\frac{4}{3}b+\frac{1}{9}$；(3)$1004004$；(4)$3612.01$
【知识点】完全平方公式，整式运算，数值计算
【点评】本题是完全平方公式的基础应用，分为直接套用和变形套用两类，需熟练掌握公式结构，注意符号的处理；将非整十/百数转化为和或差的形式简化计算，是代数运算的常用技巧，难度较低。
【难度系数】0.8

7 整体思想 已知实数 $a,b$ 满足 $a+b=2,ab=\dfrac{3}{4}$, 则 $a-b$ 的值为（）

A.$1$
B.$-\dfrac{5}{2}$
C.$\pm1$
D.$\pm\dfrac{5}{2}$

7. C

【分析】
本题可利用完全平方公式的变形，结合整体思想求解。已知$a+b$和$ab$的值，将$(a-b)^2$转化为$(a+b)^2 - 4ab$，代入已知条件计算出$(a-b)^2$的值，再开平方即可得到$a-b$的可能值，注意平方开方后有正负两种情况。
【解析】
根据完全平方公式的变形：
$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$
将$a + b = 2$，$ab = \dfrac{3}{4}$代入上式：
$(a - b)^2 = 2^2 - 4×\dfrac{3}{4} = 4 - 3 = 1$
对等式两边开平方得：$a - b = \pm1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；整体思想
【点评】
本题考查完全平方公式的应用，通过整体代入简化计算，无需单独求解$a$、$b$的值，是代数运算中常用的技巧，属于基础题型。
【难度系数】
0.7

8 [2025 通州模拟改编]已知实数 $m,n$ 满足 $\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=mn=3$, 则 $m^2+n^2$ 的值为（）

A.9
B.36
C.75
D.105

8. C

【分析】要计算$m^2 + n^2$的值，需先根据已知条件求出$m + n$的值。首先对$\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$通分，结合已知的$mn=3$求出$m + n$，再利用完全平方公式的变形$m^2 + n^2=(m + n)^2 - 2mn$代入计算即可。
【解析】解：
1. 对$\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$通分：$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{m + n}{mn}$，
已知$\frac{1}{m} + \frac{1}{n}=3$，$mn=3$，代入得：$\frac{m + n}{3}=3$，
解得$m + n = 9$。
2. 利用完全平方公式变形计算$m^2 + n^2$：
$m^2 + n^2=(m + n)^2 - 2mn$，
将$m + n=9$，$mn=3$代入得：
$m^2 + n^2=9^2 - 2×3=81 - 6=75$。
综上，答案选C。
【答案】C
【知识点】分式的通分、完全平方公式的应用
【点评】本题通过分式通分求出两数之和，再结合完全平方公式变形求代数式的值，属于基础题型，考查公式的灵活运用能力。
【难度系数】0.6