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1. 在括号里填上适当的质数。
(1) $8=(\quad)+(\quad)$
(2) $12=(\quad)+(\quad)+(\quad)$
(3) $18=(\quad)+(\quad)+(\quad)$
(4) $24=(\quad)+(\quad)=(\quad)+(\quad)=(\quad)+(\quad)$
(1) $8=(\quad)+(\quad)$
(2) $12=(\quad)+(\quad)+(\quad)$
(3) $18=(\quad)+(\quad)+(\quad)$
(4) $24=(\quad)+(\quad)=(\quad)+(\quad)=(\quad)+(\quad)$
答案
(1) 3，5（答案不唯一）
(2) 2，3，7（答案不唯一）
(3) 2，5，11（答案不唯一）
(4) 5，19；7，17；11，13（答案不唯一）
(2) 2，3，7（答案不唯一）
(3) 2，5，11（答案不唯一）
(4) 5，19；7，17；11，13（答案不唯一）
解析
首先明确质数的概念：一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。我们先列出对应数值范围内的所有质数，再从中挑选数组合，满足等式成立即可，部分小题答案不唯一，写出符合要求的组合即可：
(1) 小于8的质数有2、3、5、7，其中3+5=8，符合要求；
(2) 从小于12的质数中挑选3个相加和为12，2+3+7=12，符合要求；
(3) 从小于18的质数中挑选3个相加和为18，2+5+11=18，符合要求；
(4) 从小于24的质数中挑选两两相加和为24的组合，5+19=24、7+17=24、11+13=24，均符合要求。
(1) 小于8的质数有2、3、5、7，其中3+5=8，符合要求；
(2) 从小于12的质数中挑选3个相加和为12，2+3+7=12，符合要求；
(3) 从小于18的质数中挑选3个相加和为18，2+5+11=18，符合要求；
(4) 从小于24的质数中挑选两两相加和为24的组合，5+19=24、7+17=24、11+13=24，均符合要求。
2. 在()中写出两个数的最大公因数，在[]中写出最小公倍数。(m为任意自然数)
(1) 12和8()[]
(2) 9和12()[]
(3) 14和5()[]
(4) 17和51()[]
(5) m和m+1()[]
(6) m和5m()[]
(1) 12和8()[]
(2) 9和12()[]
(3) 14和5()[]
(4) 17和51()[]
(5) m和m+1()[]
(6) m和5m()[]
答案
(1)4；24 (2)3；36 (3)1；70 (4)17；51 (5)1；m(m+1) (6)m；5m
解析
我们结合五年级所学的分解质因数法、特殊数的规律来求解：
1. 普通两个数：先分解质因数，全部公有质因数的乘积就是最大公因数，公有质因数和各自独有质因数的乘积就是最小公倍数。
2. 互质的两个数：最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积。
3. 存在倍数关系的两个数：最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
逐个计算：
(1) 12=2×2×3，8=2×2×2，公有质因数乘积为2×2=4，最小公倍数为2×2×2×3=24；
(2) 9=3×3，12=2×2×3，公有质因数为3，最小公倍数为2×2×3×3=36；
(3) 14和5只有公因数1，属于互质数，最大公因数是1，最小公倍数是14×5=70；
(4) 51是17的3倍，属于倍数关系，最大公因数是17，最小公倍数是51；
(5) 相邻的两个自然数m和m+1是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是m×(m+1)=m(m+1)；
(6) 5m是m的5倍，属于倍数关系，最大公因数是m，最小公倍数是5m。
1. 普通两个数：先分解质因数，全部公有质因数的乘积就是最大公因数，公有质因数和各自独有质因数的乘积就是最小公倍数。
2. 互质的两个数：最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积。
3. 存在倍数关系的两个数：最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
逐个计算：
(1) 12=2×2×3，8=2×2×2，公有质因数乘积为2×2=4，最小公倍数为2×2×2×3=24；
(2) 9=3×3，12=2×2×3，公有质因数为3，最小公倍数为2×2×3×3=36；
(3) 14和5只有公因数1，属于互质数，最大公因数是1，最小公倍数是14×5=70；
(4) 51是17的3倍，属于倍数关系，最大公因数是17，最小公倍数是51；
(5) 相邻的两个自然数m和m+1是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是m×(m+1)=m(m+1)；
(6) 5m是m的5倍，属于倍数关系，最大公因数是m，最小公倍数是5m。
二、判断题。
1. 24 是 8 的公倍数。 （）
2. 两个自然数无最大公倍数。 （）
3. 所有自然数的最大公因数是 1。 （）
4. 两个自然数的公倍数与公因数的个数都是有限的。 （）
5. 连续的两个偶数的最大公因数一定是 2。 （）
1. 24 是 8 的公倍数。 （）
2. 两个自然数无最大公倍数。 （）
3. 所有自然数的最大公因数是 1。 （）
4. 两个自然数的公倍数与公因数的个数都是有限的。 （）
5. 连续的两个偶数的最大公因数一定是 2。 （）
答案
1. × 2. √ 3. √ 4. × 5. √
解析
结合五年级因数、倍数、公倍数、公因数的相关知识点逐一判断：
1. 公倍数的定义是两个及两个以上数公有的倍数，不能单独说某一个数是单个数字的公倍数，24是8的倍数，该表述错误。
2. 一个数的倍数的个数是无限的，因此两个自然数的公倍数可以无限大，不存在最大的公倍数，该说法正确。
3. 所有非零自然数都含有公因数1，且不存在比1更大的公共因数，因此所有自然数的最大公因数是1，该说法正确。
4. 两个自然数的公因数的个数是有限的，但公倍数的个数是无限的，该说法错误。
5. 连续两个偶数都可以写成2×n和2×(n+1)的形式，n和n+1是相邻自然数、互质，因此二者的最大公因数是2，该说法正确。
1. 公倍数的定义是两个及两个以上数公有的倍数，不能单独说某一个数是单个数字的公倍数，24是8的倍数，该表述错误。
2. 一个数的倍数的个数是无限的，因此两个自然数的公倍数可以无限大，不存在最大的公倍数，该说法正确。
3. 所有非零自然数都含有公因数1，且不存在比1更大的公共因数，因此所有自然数的最大公因数是1，该说法正确。
4. 两个自然数的公因数的个数是有限的，但公倍数的个数是无限的，该说法错误。
5. 连续两个偶数都可以写成2×n和2×(n+1)的形式，n和n+1是相邻自然数、互质，因此二者的最大公因数是2，该说法正确。
1. $m÷ n=8$($m$、$n$为非0的自然数),$m$和$n$的最小公倍数是(),最大公因数是()。
A.$m$
B.$n$
C.$8$
A.$m$
B.$n$
C.$8$
答案
A、B
解析
m、n是不为0的自然数，由m÷n=8可知m是n的8倍，两数成倍数关系。两个非0自然数成倍数关系时，最小公倍数是两数中较大的数，最大公因数是两数中较小的数，因此最小公倍数是m，最大公因数是n。
2. 如果a和b的最大公因数是1，那么它们的最小公倍数是()。
A.a
B.b
C.1
D.ab
A.a
B.b
C.1
D.ab
答案
D
解析
已知a和b的最大公因数是1，说明a和b是互质数，互质的两个数的最小公倍数等于两个数的乘积，也就是ab。
3. 用10以内的3个不同的质数，组成是3和5的倍数的三位数，一共可以组成（）个这样的三位数。
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
第一步：先找出10以内的质数：2、3、5、7。
第二步：根据5的倍数特征，个位必须是0或5，所选数字都是质数，0不是质数，所以这个三位数的个位只能是5。
第三步：根据3的倍数特征，各位数字之和是3的倍数，剩下要选的两个质数需要满足和5相加的和是3的倍数：
选2和3：2+3+5=10，不是3的倍数，不符合；
选2和7：2+7+5=14，不是3的倍数，不符合；
选3和7：3+7+5=15，是3的倍数，符合。
第四步：用3、7、5组成个位是5的三位数，得到375、735，共2个。
第二步：根据5的倍数特征，个位必须是0或5，所选数字都是质数，0不是质数，所以这个三位数的个位只能是5。
第三步：根据3的倍数特征，各位数字之和是3的倍数，剩下要选的两个质数需要满足和5相加的和是3的倍数：
选2和3：2+3+5=10，不是3的倍数，不符合；
选2和7：2+7+5=14，不是3的倍数，不符合；
选3和7：3+7+5=15，是3的倍数，符合。
第四步：用3、7、5组成个位是5的三位数，得到375、735，共2个。
1. 一间教室的地面是长方形，长9米，宽7.2米。计划给教室的地面铺方砖，要使每块方砖尽可能大而且铺的都是整块的方砖，选边长是多少厘米的方砖合适？这种方砖最少要多少块？
答案
选边长是180厘米的方砖合适，这种方砖最少要20块。
解析
1. 先统一单位：9米=900厘米，7.2米=720厘米。
2. 要让方砖尽可能大且铺的都是整块，说明方砖的边长是900和720的最大公因数。用短除法计算两个数的最大公因数，得到二者公有质因数的乘积为2×2×3×3×5=180，因此符合要求的方砖边长是180厘米。
3. 计算所需方砖的最少数量：
长的方向可铺方砖数：900÷180=5（块）
宽的方向可铺方砖数：720÷180=4（块）
总块数：5×4=20（块）
2. 要让方砖尽可能大且铺的都是整块，说明方砖的边长是900和720的最大公因数。用短除法计算两个数的最大公因数，得到二者公有质因数的乘积为2×2×3×3×5=180，因此符合要求的方砖边长是180厘米。
3. 计算所需方砖的最少数量：
长的方向可铺方砖数：900÷180=5（块）
宽的方向可铺方砖数：720÷180=4（块）
总块数：5×4=20（块）
2. 在AC这条新铺的路的一侧等距离安装路灯,要求在A、B、C处都要安装一盏路灯。至少需要安装多少盏路灯？
答案
18盏
解析
要使安装的路灯总数量最少，需要让相邻两盏路灯的间距尽可能大，这个最大间距是560和630的最大公因数：
1. 分解质因数求最大公因数：
560 = 2×2×2×2×5×7
630 = 2×3×3×5×7
可得560和630的最大公因数为2×5×7=70，即最大的路灯间距是70米。
2. 计算AC的总长度：560+630=1190米
3. 本题属于两端都栽的植树问题，路灯总数=总间隔数+1，总间隔数为1190÷70=17个，因此路灯总数为17+1=18盏。
1. 分解质因数求最大公因数：
560 = 2×2×2×2×5×7
630 = 2×3×3×5×7
可得560和630的最大公因数为2×5×7=70，即最大的路灯间距是70米。
2. 计算AC的总长度：560+630=1190米
3. 本题属于两端都栽的植树问题，路灯总数=总间隔数+1，总间隔数为1190÷70=17个，因此路灯总数为17+1=18盏。
写出4和1、2、3、4、5、6、7、…各数的最大公因数。你发现了什么规律？
我发现的规律是：。
我发现的规律是：。
答案
填入表格的结果依次为1、2、1、4、1、2、1、4、1、2、1……；规律为：自然数与4的最大公因数按1、2、1、4的顺序循环出现，所有数和4的最大公因数只能是1、2、4这三个数中的一个。
解析
根据最大公因数的定义，依次计算各数字与4的最大公因数：
1和4互质，最大公因数为1；2是4的因数，最大公因数为2；3和4互质，最大公因数为1；4和自身的最大公因数为4；5和4互质，最大公因数为1；6和4的最大公因数为2；7和4互质，最大公因数为1；8是4的倍数，最大公因数为4；9和4互质，最大公因数为1；10和4的最大公因数为2；11和4互质，最大公因数为1……
观察计算得到的结果序列，即可总结出对应规律。
1和4互质，最大公因数为1；2是4的因数，最大公因数为2；3和4互质，最大公因数为1；4和自身的最大公因数为4；5和4互质，最大公因数为1；6和4的最大公因数为2；7和4互质，最大公因数为1；8是4的倍数，最大公因数为4；9和4互质，最大公因数为1；10和4的最大公因数为2；11和4互质，最大公因数为1……
观察计算得到的结果序列，即可总结出对应规律。
