1. 计算$x· x^{2}$的结果是()。

A.$3x$
B.$x^{2}$
C.$x$
D.$x^{3}$

1. D

【分析】
这道题考查同底数幂的乘法运算，首先观察算式的两个因式x和x²，二者底数都是x，属于同底数幂相乘的形式。我们只需要回忆同底数幂相乘的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，注意单独的字母x的指数是1，只是书写时通常省略不写，将两个幂的指数相加后就能得到最终结果，再对应选项选出正确答案即可。
【解析】
解：根据同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
先将原式中的x改写为指数为1的幂的形式，即$x = x^1$，代入原式计算：
$x·x^2 = x^1 · x^2 = x^{1+2} = x^3$
因此计算结果为$x^3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂乘法
【点评】
本题属于幂运算的基础入门题型，核心考察对同底数幂乘法法则的识记与简单应用，易错点是部分初学者会误将指数相加当成系数相加错选A选项，解题时要注意区分同底数幂乘法和合并同类项的运算规则差异。
【难度系数】
0.9

2. 下列运算中，正确的是()。

A.$a^{6}· a^{6}=2a^{6}$
B.$2^{m}× 3^{n}=6^{m + n}$
C.$(a - b)^{5}· (b - a)^{4}=a - b$
D.$-a^{3}· (-a)^{5}=a^{8}$

2. D

【分析】
这是一道幂运算的正误辨析题，解题的核心思路是紧扣同底数幂的乘法运算法则，对四个选项逐一计算验证排除错误选项：首先回忆同底数幂相乘的规则是“底数不变，指数相加”，同时注意互为相反数的两个底数的偶次幂相等、奇次幂互为相反数的性质，逐个核对每个选项的运算结果是否正确，最终选出符合要求的正确选项。
【解析】
我们依据同底数幂的乘法运算法则$a^m · a^n = a^{m+n}$，逐一验证各选项：
1. 验证选项A：$a^{6}· a^{6}=a^{6+6}=a^{12}$，显然不等于$2a^6$，该选项运算错误；
2. 验证选项B：$2^m$和$3^n$底数、指数均不相同，不能直接套用同底数幂乘法法则合并，$6^{m+n}=2^{m+n}·3^{m+n} ≠ 2^m × 3^n$，该选项运算错误；
3. 验证选项C：因为指数4是偶数，所以$(b-a)^4=(a-b)^4$，代入原式可得$(a-b)^5·(a-b)^4=(a-b)^{5+4}=(a-b)^9$，不等于$a-b$，该选项运算错误；
4. 验证选项D：先化简$(-a)^5=-a^5$，代入原式得$-a^{3}· (-a)^{5}=-a^3 · (-a^5)=a^{3+5}=a^8$，该选项运算正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂乘法，幂的符号运算
【点评】
本题属于整式幂运算的基础题型，易错点集中在三个地方：一是误用同底数幂法则对不同底数的幂直接合并，二是对底数互为相反数的幂的转换规则不熟悉，三是运算过程中符号处理失误，只要牢记运算法则、逐项仔细核对，很容易选出正确答案。
【难度系数】
0.75

3. 若$2^{4}× 2^{2}=2^{m}$，则$m$的值为()。

A.$8$
B.$6$
C.$5$
D.$2$

3. B

$2^{4} × 2^{2} = 2^{4+2} = 2^{6}$，所以$m=6$。
B

4. 式子$a^{3m + 5}$不能写成()。

A.$a^{3m}+5$
B.$a^{2m}· a^{m + 5}$
C.$a^{3m}· a^{5}$
D.$a^{2m + 3}· a^{m + 2}$

4. A

【分析】
这道题的核心考点是同底数幂的乘法运算法则，解题思路非常清晰：我们只需要利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的规则，对B、C、D三个涉及幂乘法的选项分别计算运算结果，再和题干的式子$a^{3m+5}$做对比，同时直接判断A选项的形式是否和原式等价，最终选出不能和原式相等的选项即可。解题过程中要明确区分同底数幂做加法和做乘法的不同运算规则，避免混淆。
【解析】
解：根据同底数幂的乘法运算法则：$a^p · a^q = a^{p+q}$，逐个验证所有选项：
1. 选项A：$a^{3m}+5$是幂$a^{3m}$和常数5的和，和$a^{3m+5}$的形式、运算逻辑完全不同，二者不相等；
2. 选项B：$a^{2m} · a^{m+5} = a^{2m + m +5} = a^{3m+5}$，和题干式子相等；
3. 选项C：$a^{3m} · a^5 = a^{3m +5}$，和题干式子相等；
4. 选项D：$a^{2m+3} · a^{m+2} = a^{(2m+3)+(m+2)} = a^{3m+5}$，和题干式子相等。
因此式子$a^{3m+5}$不能写成的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法，指数运算
【点评】
本题属于幂运算的基础辨析题，重点考察学生对同底数幂乘法规则的掌握程度，容易出现的误区是误将幂的加法和乘法运算混淆，只要明确区分幂相加和幂相乘的不同运算逻辑，夯实基础运算规则就能轻松解题。
【难度系数】
0.9

5. 已知$x + y - 3 = 0$，则$2^{x}· 2^{y}$的值是()。

A.$6$
B.$\frac{1}{8}$
C.$8$
D.$-6$

5. C

因为$x + y - 3 = 0$，所以$x + y = 3$。
$2^{x}·2^{y}=2^{x + y}=2^{3}=8$
答案：C

6. $· x^{2}=x^{7}$。

6. $ x ^ { 5 } $

【分析】
这道题是已知两个因式的乘积和其中一个因式，求未知因式的填空题。我们可以通过两种思路推导：第一种是利用乘除法的互逆关系，用乘积除以已知的因式，就能得到待求的部分；第二种是直接反向套用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘时底数不变、指数相加，已知其中一个因式的指数是2，乘积的指数是7，直接计算7减去2就能得到待求因式的指数，快速得出结果。
【解析】
解：设待求的代数式为A，
根据题意可得：$A · x^2 = x^7$
方法1：利用乘除互逆关系，可得$A = x^7 ÷ x^2$
根据同底数幂的除法运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，
因此$A = x^{7-2} = x^5$
方法2：直接逆用同底数幂乘法法则，同底数幂相乘指数相加，设A的指数为n，则$n+2=7$，解得$n=5$，因此A为$x^5$。
【答案】
$x^5$
【知识点】
同底数幂运算，整式乘除互逆
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，重点考察学生对同底数幂乘除运算法则的掌握程度，不需要复杂计算，只要牢记幂运算的基本性质，正向反向灵活运用就可以轻松得出正确结果，是整式运算部分的入门必练题。
【难度系数】
0.9

7. 若$9· 3^{2m}· 3^{3m}=3^{22}$，则$m$的值为。

7. 4

解：$9· 3^{2m}· 3^{3m}=3^{2}·3^{2m}·3^{3m}=3^{2+2m+3m}=3^{2+5m}$，
因为$9· 3^{2m}· 3^{3m}=3^{22}$，所以$3^{2+5m}=3^{22}$，
则$2+5m=22$，
解得$m=4$。

8. 已知$a^{x}=3$，$a^{y}=4$，则$a^{x + y}=$。

8. 12

$a^{x+y}=a^x · a^y=3×4=12$

9. 若$7^{m}=2$，$7^{n}=3$，则$7^{2 + m + n}$的值为。

9. 294

$7^{2 + m + n}=7^{2}×7^{m}×7^{n}=49×2×3=294$

10. 计算：
（1）$(-x)^{3}· (-x)· (-x)^{6}$；
（2）$x^{3}· x^{4}+x· x^{3}· x^{3}$；
（3）$(\frac{1}{2})^{3}× (\frac{1}{2})^{2}× \frac{1}{2}$；
（4）$(m + n)^{5}· (m + n)^{11}$。

10. 解：（1）原式 $ = ( - x ) ^ { 3 + 1 + 6 } = ( - x ) ^ { 10 } = x ^ { 10 } $。
（2）原式 $ = x ^ { 7 } + x ^ { 7 } = 2 x ^ { 7 } $。
（3）原式 $ = ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 1 + 2 + 3 } = ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 6 } $。
（4）原式 $ = ( m + n ) ^ { 5 + 11 } = ( m + n ) ^ { 16 } $。

【分析】
这道题是同底数幂乘法的基础计算题，解题核心是牢记同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数保持不变，指数相加。解题时先识别每道小题的公共底数：
1. 第（1）题三个幂的底数都是$(-x)$，直接套用法则把指数相加，再根据负数的偶次幂为正化简结果即可；
2. 第（2）题是两个幂运算的和，先分别对两个乘法部分用同底数幂乘法法则计算，得到两个同类项后再合并同类项；
3. 第（3）题三个幂的底数都是$\frac{1}{2}$，注意最后单独的$\frac{1}{2}$的指数是1，不要遗漏，直接指数相加计算即可；
4. 第（4）题把多项式$(m+n)$看作一个整体作为公共底数，直接套用同底数幂乘法法则，指数相加得到结果。
【解析】
（1）三个因式底数均为$-x$，根据同底数幂乘法法则，底数不变指数相加：
原式$=(-x)^{3+1+6}=(-x)^{10}$，由于指数10是偶数，负数的偶次幂为正，化简得$x^{10}$；
（2）先分别计算前后两个乘法部分：
第一部分$x^3·x^4 = x^{3+4}=x^7$，第二部分$x·x^3·x^3 = x^{1+3+3}=x^7$，再合并同类项：
原式$=x^7 + x^7 = 2x^7$；
（3）三个因式底数均为$\frac{1}{2}$，单独的$\frac{1}{2}$指数为1，套用同底数幂乘法法则：
原式$=(\frac{1}{2})^{3+2+1}=(\frac{1}{2})^6$；
（4）将$m+n$视为整体公共底数，套用同底数幂乘法法则：
原式$=(m+n)^{5+11}=(m+n)^{16}$。
【答案】
（1）$x^{10}$；（2）$2x^{7}$；（3）$(\frac{1}{2})^{6}$；（4）$(m+n)^{16}$
【知识点】
同底数幂乘法，合并同类项，整体思想
【点评】
本题属于整式幂运算的基础练习题，覆盖了不同类型底数的同底数幂乘法场景，既包含纯幂乘法运算，也涉及幂运算与整式加法的混合运算，能够帮助初学者巩固同底数幂乘法的核心规则，提醒学生注意单独数字/字母的默认指数为1，避免出现漏加指数的常见错误，同时初步渗透把多项式当作整体运算的代数思想。
【难度系数】
0.85

11. 已知$5^{2x + 1}=125$，求$(x - 2)^{2026 + x}$的值。

11. 解：因为 $ 5 ^ { 2 x + 1 } = 125 = 5 ^ { 3 } $，
所以 $ 2 x + 1 = 3 $。
所以 $ x = 1 $。
所以 $ ( x - 2 ) ^ { 2025 + x } = ( 1 - 2 ) ^ { 2026 + 1 } = ( - 1 ) ^ { 2027 } = - 1 $。

【分析】
这道题的解题思路分为两步：第一步先求解给出的指数方程得到x的值，观察等式左侧底数为5，右侧的125刚好可以转化为以5为底的幂即$5^3$，根据同底数幂相等时指数必然相等的性质，就能列出关于x的一元一次方程，解出x的取值。第二步把求得的x代入待求代数式，结合有理数乘方的运算规则计算最终结果，这里代入后底数为-1，只需要判断指数的奇偶性就能快速得到结果。
【解析】
1. 统一等式两侧的幂的底数
已知$5^{2x + 1}=125$，因为$125=5^3$，因此原式可改写为：
$5^{2x+1}=5^3$
2. 利用同底数幂性质求解x
当底数不为0、1、-1时，同底数幂相等则对应指数相等，因此可得方程：
$2x+1=3$
解该一元一次方程：移项得$2x=3-1=2$，解得$x=1$。
3. 代入待求式计算结果
将$x=1$代入$(x - 2)^{2026 + x}$：
计算底数：$x-2=1-2=-1$
计算指数：$2026+x=2026+1=2027$
因此原式为$(-1)^{2027}$，由于2027是奇数，负数的奇次幂为负数，可得$(-1)^{2027}=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
同底数幂性质，有理数乘方，一元一次方程求解
【点评】
本题是幂运算的基础综合题型，难度较低，核心是掌握同底数幂相等时指数对应相等的性质，只需要先将等式两侧转化为同底数幂的形式即可快速解出x，代入求值时注意区分-1的奇数次幂、偶数次幂的结果差异，避免计算失误。
【难度系数】
0.8