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3. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹。每人六竿多十四，每人八竿少二竿。”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿。每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿。”若设有牧童 $ x $ 人，根据题意，可列方程为
$ 6x + 14 = 8x - 2 $
。答案
3. $ 6x + 14 = 8x - 2 $
解析
【分析】
解题的核心思路是抓住竹竿的总数量固定不变这个等量关系。题目已经设牧童人数为x，第一步先根据第一种分配规则“每人6竿，多14竿”推导竹竿总数的表达式：每人分6竿，x个牧童总共分掉6x竿，还多出14竿，因此总竹竿数为6x+14。第二步再根据第二种分配规则“每人8竿，少2竿”推导竹竿总数的表达式：如果要给每个牧童分8竿，一共需要8x竿，现有竹竿总数还差2竿才够，因此总竹竿数为8x-2。两个表达式描述的是同一批竹竿的总数量，二者相等即可列出对应方程。
【解析】
解：已知设有牧童$x$人，
1. 根据“每人6竿，多14竿”，可得竹竿总数量为：$6x + 14$
2. 根据“每人8竿，少2竿”，可得竹竿总数量为：$8x - 2$
由于竹竿总数量是恒定值，因此可建立等式得到方程。
【答案】
$ 6x + 14 = 8x - 2 $
【知识点】
实际问题列一元一次方程；总量不变类应用题
【点评】
本题结合古代数学文化背景命题，属于基础送分类题型，核心是找到分配场景下不变的总量作为等量关系，用未知数分别表示总量后建立等式即可，解题时注意不要混淆“多”“少”对应的加减符号，避免出现符号写反的低级错误。
【难度系数】
0.9
解题的核心思路是抓住竹竿的总数量固定不变这个等量关系。题目已经设牧童人数为x，第一步先根据第一种分配规则“每人6竿，多14竿”推导竹竿总数的表达式：每人分6竿，x个牧童总共分掉6x竿，还多出14竿，因此总竹竿数为6x+14。第二步再根据第二种分配规则“每人8竿，少2竿”推导竹竿总数的表达式：如果要给每个牧童分8竿，一共需要8x竿，现有竹竿总数还差2竿才够，因此总竹竿数为8x-2。两个表达式描述的是同一批竹竿的总数量，二者相等即可列出对应方程。
【解析】
解：已知设有牧童$x$人，
1. 根据“每人6竿，多14竿”，可得竹竿总数量为：$6x + 14$
2. 根据“每人8竿，少2竿”，可得竹竿总数量为：$8x - 2$
由于竹竿总数量是恒定值，因此可建立等式得到方程。
【答案】
$ 6x + 14 = 8x - 2 $
【知识点】
实际问题列一元一次方程；总量不变类应用题
【点评】
本题结合古代数学文化背景命题，属于基础送分类题型，核心是找到分配场景下不变的总量作为等量关系，用未知数分别表示总量后建立等式即可，解题时注意不要混淆“多”“少”对应的加减符号，避免出现符号写反的低级错误。
【难度系数】
0.9
4. 小王离岗创业，销售某品牌电脑，1月的销售量为100台，每台电脑售价相同。2月的销售量比1月增加10%，每台售价比1月降低了400元。已知2月与1月的销售总额相同，求每台电脑1月的售价。
答案
4. 解：设每台电脑1月的售价为$ x $元。
根据题意，得$ 100x = 100×(1 + 10\%)(x - 400) $，
解得$ x = 4400 $。
因此，每台电脑1月的售价为4400元。
根据题意，得$ 100x = 100×(1 + 10\%)(x - 400) $，
解得$ x = 4400 $。
因此，每台电脑1月的售价为4400元。
解析
【分析】
这道题属于销售类实际应用题，解题的核心思路是先定位题目给出的明确等量关系：2月与1月的销售总额完全相等。首先梳理已知条件：1月的销售量为100台，我们可以设1月每台电脑的售价为x元，直接得到1月的销售总额表达式为100x元；再根据“2月销售量比1月增加10%”算出2月的实际销售量为100×(1+10%)=110台，结合“2月每台售价比1月降低400元”，就能表示出2月的单价为(x-400)元，进而写出2月的销售总额表达式。最后根据两个月销售总额相等的等量关系列出一元一次方程，求解即可得到1月的售价。
【解析】
解：设每台电脑1月的售价为$x$元。
1月销售总额为$100x$元，
2月的销售量为$100×(1+10\%)=110$台，2月每台售价为$(x-400)$元，因此2月销售总额为$110(x-400)$元。
根据2月与1月销售总额相同的条件列方程：
$100x = 100×(1+10\%)(x - 400)$
展开化简得：
$100x = 110x - 44000$
移项合并同类项得：
$10x = 44000$
解得：
$x=4400$
【答案】
每台电脑1月的售价为4400元
【知识点】
一元一次方程应用，销售总额计算
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的常规基础题型，核心突破口就是题干直接给出的“销售总额相等”的等量关系，只需要准确对应表示出调价、调整销量后的对应数值，就能顺利列方程求解，整体计算难度低，贴合生活中的销售场景，是初中数学方程应用的典型入门考题。
【难度系数】
0.8
这道题属于销售类实际应用题，解题的核心思路是先定位题目给出的明确等量关系：2月与1月的销售总额完全相等。首先梳理已知条件：1月的销售量为100台，我们可以设1月每台电脑的售价为x元，直接得到1月的销售总额表达式为100x元；再根据“2月销售量比1月增加10%”算出2月的实际销售量为100×(1+10%)=110台，结合“2月每台售价比1月降低400元”，就能表示出2月的单价为(x-400)元，进而写出2月的销售总额表达式。最后根据两个月销售总额相等的等量关系列出一元一次方程，求解即可得到1月的售价。
【解析】
解：设每台电脑1月的售价为$x$元。
1月销售总额为$100x$元，
2月的销售量为$100×(1+10\%)=110$台，2月每台售价为$(x-400)$元，因此2月销售总额为$110(x-400)$元。
根据2月与1月销售总额相同的条件列方程：
$100x = 100×(1+10\%)(x - 400)$
展开化简得：
$100x = 110x - 44000$
移项合并同类项得：
$10x = 44000$
解得：
$x=4400$
【答案】
每台电脑1月的售价为4400元
【知识点】
一元一次方程应用，销售总额计算
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的常规基础题型，核心突破口就是题干直接给出的“销售总额相等”的等量关系，只需要准确对应表示出调价、调整销量后的对应数值，就能顺利列方程求解，整体计算难度低，贴合生活中的销售场景，是初中数学方程应用的典型入门考题。
【难度系数】
0.8
5. 有 $ m $ 辆客车及 $ n $ 个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车。有下列四个等式：① $ 40m + 10 = 43m - 1 $；② $ \frac{n + 10}{40} = \frac{n + 1}{43} $；③ $ \frac{n - 10}{40} = \frac{n - 1}{43} $；④ $ 40m + 10 = 43m + 1 $。其中正确的等式是(
A.①②
B.②④
C.①③
D.③④
D
)。A.①②
B.②④
C.①③
D.③④
答案
5. D
解析
根据题意，总人数$n$不变。
当每辆客车乘40人时，$n = 40m + 10$；当每辆客车乘43人时，$n = 43m + 1$，故$40m + 10 = 43m + 1$，④正确。
由$n = 40m + 10$得$m=\frac{n - 10}{40}$；由$n = 43m + 1$得$m=\frac{n - 1}{43}$，故$\frac{n - 10}{40}=\frac{n - 1}{43}$，③正确。
正确等式为③④。
D
当每辆客车乘40人时，$n = 40m + 10$；当每辆客车乘43人时，$n = 43m + 1$，故$40m + 10 = 43m + 1$，④正确。
由$n = 40m + 10$得$m=\frac{n - 10}{40}$；由$n = 43m + 1$得$m=\frac{n - 1}{43}$，故$\frac{n - 10}{40}=\frac{n - 1}{43}$，③正确。
正确等式为③④。
D
6. 《算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载了一道数学问题，大意如下：若将绳子三折后测井深，则多4尺；若将绳子四折去测井深，则多1尺。问绳长和井深各多少尺。
答案
6. 解：设井深$ x $尺。
由题意，得$ 3(x + 4) = 4(x + 1) $，解得$ x = 8 $。
$ 3×(8 + 4) = 36 $（尺）。
因此，井深8尺，绳长36尺。
由题意，得$ 3(x + 4) = 4(x + 1) $，解得$ x = 8 $。
$ 3×(8 + 4) = 36 $（尺）。
因此，井深8尺，绳长36尺。
解析
【分析】
这是典型的古代数学实际应用题，解题核心是抓住不变量建立等量关系：两种不同的折绳测井的方式中，绳子的总长度是固定不变的。我们可以先设井深为未知数x，根据“三折后测井深多4尺”，可知折成三等份的每段绳长为井深加4尺，总绳长可表示为3(x+4)；再根据“四折后测井深多1尺”，可知折成四等份的每段绳长为井深加1尺，总绳长可表示为4(x+1)，两个表达式都等于总绳长，因此二者相等即可列出方程，求解出井深后再代入计算绳长即可。
【解析】
解：设井深为x尺，
根据绳长不变的等量关系，列方程得：
$3(x + 4) = 4(x + 1)$
展开括号得：
$3x + 12 = 4x + 4$
移项合并同类项得：
$x = 8$
即井深为8尺，将x=8代入3(x+4)计算绳长：
$3×(8+4) = 36 \mathrm{（尺）}$
【答案】
井深8尺，绳长36尺
【知识点】
1. 一元一次方程实际应用
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题是我国古代经典的“绳测井深”问题，属于基础的一元一次方程应用题型，解题的关键是准确理解题意，抓住总绳长不变的核心等量关系，注意区分此处的“三折、四折”是将绳子折为等长的3段、4段，并非对折3次、4次，避免因题意理解偏差列错方程。
【难度系数】
0.8
这是典型的古代数学实际应用题，解题核心是抓住不变量建立等量关系：两种不同的折绳测井的方式中，绳子的总长度是固定不变的。我们可以先设井深为未知数x，根据“三折后测井深多4尺”，可知折成三等份的每段绳长为井深加4尺，总绳长可表示为3(x+4)；再根据“四折后测井深多1尺”，可知折成四等份的每段绳长为井深加1尺，总绳长可表示为4(x+1)，两个表达式都等于总绳长，因此二者相等即可列出方程，求解出井深后再代入计算绳长即可。
【解析】
解：设井深为x尺，
根据绳长不变的等量关系，列方程得：
$3(x + 4) = 4(x + 1)$
展开括号得：
$3x + 12 = 4x + 4$
移项合并同类项得：
$x = 8$
即井深为8尺，将x=8代入3(x+4)计算绳长：
$3×(8+4) = 36 \mathrm{（尺）}$
【答案】
井深8尺，绳长36尺
【知识点】
1. 一元一次方程实际应用
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题是我国古代经典的“绳测井深”问题，属于基础的一元一次方程应用题型，解题的关键是准确理解题意，抓住总绳长不变的核心等量关系，注意区分此处的“三折、四折”是将绳子折为等长的3段、4段，并非对折3次、4次，避免因题意理解偏差列错方程。
【难度系数】
0.8
7. 如图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两。设共有银子 $ x $ 两，共有 $ y $ 人，则所列方程正确的是(
隔壁听得客分银，不知人数不知银，
A.$ \frac{x + 4}{7} = \frac{x - 8}{9} $
B.$ 7y - 4 = 9y + 8 $
C.$ \frac{x - 4}{9} = \frac{x + 8}{7} $
D.$ 7y + 4 = 9y - 8 $
D
)。隔壁听得客分银，不知人数不知银，
A.$ \frac{x + 4}{7} = \frac{x - 8}{9} $
B.$ 7y - 4 = 9y + 8 $
C.$ \frac{x - 4}{9} = \frac{x + 8}{7} $
D.$ 7y + 4 = 9y - 8 $
答案
7. D
解析
设共有银子$x$两，共有$y$人。
根据“每人分七两，则剩余四两”，可得$x = 7y + 4$；
根据“每人分九两，则还差八两”（半斤为$8$两），可得$x = 9y - 8$。
所以所列方程为$7y + 4 = 9y - 8$。
D
根据“每人分七两，则剩余四两”，可得$x = 7y + 4$；
根据“每人分九两，则还差八两”（半斤为$8$两），可得$x = 9y - 8$。
所以所列方程为$7y + 4 = 9y - 8$。
D
8. 某厂接到青岛市一所中学的冬季校服定做任务，计划用A，B两台大型设备进行加工。如果单独用A型设备需要90天做完，如果单独用B型设备需要60天做完，为了让同学们能及时领到冬季校服，工厂决定由两台设备同时赶制。
(1) 两台设备同时加工，共需多少天才能完成？
(2) 若两台设备同时加工30天后，B型设备出了故障，暂时不能工作，此时离发冬季校服时间还有13天。如果由A型设备单独完成剩下的任务，会不会影响学校发校服的时间？请通过计算说明理由。
(1) 两台设备同时加工，共需多少天才能完成？
(2) 若两台设备同时加工30天后，B型设备出了故障，暂时不能工作，此时离发冬季校服时间还有13天。如果由A型设备单独完成剩下的任务，会不会影响学校发校服的时间？请通过计算说明理由。
答案
8. 解：（1）$ 1÷(\frac{1}{90} + \frac{1}{60}) = 36 $（天）。
因此，共需36天才能完成。
（2）会影响。理由如下：
设A型设备单独完成剩下任务还需$ x $天。
根据题意，得$ (\frac{1}{90} + \frac{1}{60})×30 + \frac{x}{90} = 1 $，
解得$ x = 15 $。
$ 15 ＞ 13 $，故会影响学校发校服的时间。
因此，共需36天才能完成。
（2）会影响。理由如下：
设A型设备单独完成剩下任务还需$ x $天。
根据题意，得$ (\frac{1}{90} + \frac{1}{60})×30 + \frac{x}{90} = 1 $，
解得$ x = 15 $。
$ 15 ＞ 13 $，故会影响学校发校服的时间。
解析
【分析】
这是典型的工程类实际应用题，我们可以先将定做校服的总工作量看作单位“1”来简化计算。第一问的解题思路是：先根据“工作效率=总工作量÷单独完成时长”，分别算出A、B两台设备的单日工作效率，两台设备同时加工的总效率就是二者效率之和，再用总工作量除以合作总效率，就能得到共同完成全部任务的天数。第二问的解题思路是：先计算两台设备共同加工30天已经完成的工作量，设A型设备单独做完剩余任务需要的时长为x，根据“已完成工作量+A型单独完成的剩余工作量=总工作量”的等量关系列方程求解，最后把算出的x和剩余的13天比较大小，即可判断是否会影响发校服的时间。
【解析】
(1) 把本次校服定做的总工作量看作单位1：
A型设备单日工作效率为：$1÷90=\frac{1}{90}$
B型设备单日工作效率为：$1÷60=\frac{1}{60}$
两台设备同时加工的总效率为：$\frac{1}{90}+\frac{1}{60}=\frac{1}{36}$
因此两台设备共同完成全部任务的时长为：$1÷\frac{1}{36}=36$（天）
(2) 设A型设备单独完成剩下的任务还需$x$天，根据总工作量为1列方程：
$(\frac{1}{90} + \frac{1}{60})×30 + \frac{x}{90} = 1$
化简计算得：
$\frac{5}{6}+\frac{x}{90}=1$
解得$x=15$
因为$15＞13$，即A型设备单独完成剩余任务需要15天，超过了剩余的13天，因此会影响学校发校服的时间。
【答案】
(1) 共需36天才能完成；(2) 会影响学校发校服的时间，A型设备单独完成剩余任务需要15天，15＞13，超出了剩余的13天时长。
【知识点】
工程问题，一元一次方程应用，工作效率计算
【点评】
本题是初中数学非常典型的基础应用型题目，核心技巧是将总工作量设为单位“1”，无需引入具体总工作量数值即可大幅简化计算，重点考察学生对工作量、工作效率、工作时间三者对应关系的掌握，第二问结合实际场景做大小比较，能锻炼学生用数学知识解决现实问题的能力，只要理清各阶段工作量之和等于总工作量的等量关系，就不容易出现错误。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程类实际应用题，我们可以先将定做校服的总工作量看作单位“1”来简化计算。第一问的解题思路是：先根据“工作效率=总工作量÷单独完成时长”，分别算出A、B两台设备的单日工作效率，两台设备同时加工的总效率就是二者效率之和，再用总工作量除以合作总效率，就能得到共同完成全部任务的天数。第二问的解题思路是：先计算两台设备共同加工30天已经完成的工作量，设A型设备单独做完剩余任务需要的时长为x，根据“已完成工作量+A型单独完成的剩余工作量=总工作量”的等量关系列方程求解，最后把算出的x和剩余的13天比较大小，即可判断是否会影响发校服的时间。
【解析】
(1) 把本次校服定做的总工作量看作单位1：
A型设备单日工作效率为：$1÷90=\frac{1}{90}$
B型设备单日工作效率为：$1÷60=\frac{1}{60}$
两台设备同时加工的总效率为：$\frac{1}{90}+\frac{1}{60}=\frac{1}{36}$
因此两台设备共同完成全部任务的时长为：$1÷\frac{1}{36}=36$（天）
(2) 设A型设备单独完成剩下的任务还需$x$天，根据总工作量为1列方程：
$(\frac{1}{90} + \frac{1}{60})×30 + \frac{x}{90} = 1$
化简计算得：
$\frac{5}{6}+\frac{x}{90}=1$
解得$x=15$
因为$15＞13$，即A型设备单独完成剩余任务需要15天，超过了剩余的13天，因此会影响学校发校服的时间。
【答案】
(1) 共需36天才能完成；(2) 会影响学校发校服的时间，A型设备单独完成剩余任务需要15天，15＞13，超出了剩余的13天时长。
【知识点】
工程问题，一元一次方程应用，工作效率计算
【点评】
本题是初中数学非常典型的基础应用型题目，核心技巧是将总工作量设为单位“1”，无需引入具体总工作量数值即可大幅简化计算，重点考察学生对工作量、工作效率、工作时间三者对应关系的掌握，第二问结合实际场景做大小比较，能锻炼学生用数学知识解决现实问题的能力，只要理清各阶段工作量之和等于总工作量的等量关系，就不容易出现错误。
【难度系数】
0.8
