9 新情境 学科融合 某化学实验中,反应物浓度$C$(mol/L)与时间$t$(min)的几组对应值如下：

(1) 用反比例函数$C=\dfrac{k}{t}$试验数据,分别求出5个$k$值；
(2) 求$k$的平均值,并写出函数的解析式；
(3) 当$t=2.5$时,用模型预测$C$的值.

9. (1) $1×60=60,2×30=60,3×20=60,4×15=60,5×12=60$
(2) 由(1),可得$k$的平均值为$\dfrac{60×5}{5}=60$,
∴ 函数的解析式为$C=\dfrac{60}{t}(t＞0)$
(3) 当$t=2.5$时,$C=\dfrac{60}{2.5}=24$

【分析】
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：
1. 对于问题(1)，根据反比例函数关系$C=\dfrac{k}{t}$，变形可得$k=C· t$，将每组对应的$t$和$C$代入即可计算出5个$k$值；
2. 问题(2)，将问题(1)得到的5个$k$值求平均值，再结合反比例函数形式写出解析式，注意自变量$t$的取值范围；
3. 问题(3)，将$t=2.5$代入已求得的函数解析式，计算对应的$C$值即可。
【解析】
(1) 由反比例函数$C=\dfrac{k}{t}$，可得$k = C · t$，分别代入各组数据：
当$t=1$时，$k=1×60=60$；
当$t=2$时，$k=2×30=60$；
当$t=3$时，$k=3×20=60$；
当$t=4$时，$k=4×15=60$；
当$t=5$时，$k=5×12=60$；
因此5个$k$值均为60。
(2) $k$的平均值为$\dfrac{60+60+60+60+60}{5}=60$，
所以函数的解析式为$C=\dfrac{60}{t}(t＞0)$。
(3) 当$t=2.5$时，代入解析式得：
$C=\dfrac{60}{2.5}=24$。
【答案】
(1) 5个$k$值分别为60、60、60、60、60；
(2) $k$的平均值为60，函数解析式为$C=\dfrac{60}{t}(t＞0)$；
(3) 当$t=2.5$时，$C$的值为24。
【知识点】
反比例函数的应用，求函数解析式，求函数值
【点评】
本题结合化学实验数据考查反比例函数的应用，步骤清晰，计算简单，属于基础题型，主要考查对反比例函数关系的理解和基本运算能力。
【难度系数】
0.2

10 新情境 学科融合 在探究杠杆平衡条件的实验中,固定阻力 $F_2(\mathrm{N})$ 和阻力臂 $L_2(\mathrm{cm})$,改变动力$F_1(\mathrm{N})$ 和动力臂 $L_1(\mathrm{cm})$,得到如下数据:

(1) 根据杠杆原理:$F_1 L_1=F_2 L_2$,计算表格中每一组 $F_1$ 与 $L_1$ 的乘积.
(2) 观察这些乘积,你能发现什么规律? 由此写出 $F_1$ 与 $L_1$ 满足的函数解析式.
(3) 若 $L_1=10$,需要多大的动力 $F_1$ 才能保持杠杆平衡?

10. (1) 乘积依次为$2×12=24,3×8=24,4×6=24,5×4.8=24,6×4=24$
(2) 规律:每组$F_1$与$L_1$的乘积都是24,为定值.
∴ $F_1$与$L_1$成反比例关系,满足的函数解析式为$F_1=\dfrac{24}{L_1}$
(3) 当$L_1=10$时,$F_1=\dfrac{24}{10}=2.4$,
∴ 需要2.4 N的动力才能保持杠杆平衡

【分析】
首先根据杠杆平衡条件$F_1L_1=F_2L_2$，计算每组动力$F_1$和动力臂$L_1$的乘积，观察乘积的规律，发现乘积为定值，从而确定$F_1$与$L_1$成反比例关系，再根据反比例关系写出函数解析式，最后代入$L_1=10$计算对应的动力$F_1$。
【解析】
(1) 分别计算每组$F_1$与$L_1$的乘积：
$2×12=24$，$3×8=24$，$4×6=24$，$5×4.8=24$，$6×4=24$；
(2) 观察上述乘积，发现每组$F_1$与$L_1$的乘积均为24，是定值，因此$F_1$与$L_1$成反比例关系，根据反比例函数的形式，可得函数解析式为$F_1=\dfrac{24}{L_1}$；
(3) 当$L_1=10$时，代入函数解析式得：$F_1=\dfrac{24}{10}=2.4$，即需要2.4 N的动力才能保持杠杆平衡。
【答案】
(1) 乘积依次为24、24、24、24、24；
(2) 规律：每组$F_1$与$L_1$的乘积为定值24，$F_1$与$L_1$成反比例关系，函数解析式为$F_1=\dfrac{24}{L_1}$；
(3) 需要2.4 N的动力。
【知识点】
杠杆平衡条件、反比例函数
【点评】
本题结合杠杆平衡条件与反比例函数知识，通过计算、观察规律、应用函数解决问题，考查学生对基础知识点的综合应用能力，题目难度适中，步骤清晰。
【难度系数】
0.7

11 教材变式题 教材中研究气体压强 $p\ (\mathrm{kPa})$ 与体积 $V(\mathrm{mL})$ 的关系时,通过 6 组数据建立了反比例
函数模型 $p=\dfrac{k}{V}$, 并取 $k$ 的平均值为 1997.
（1）这种通过多组数据分别求 $k$ 值再取平均值的方法,有什么好处?
（2）已知模型 $p=\dfrac{1\ 997}{V}$, 当 $V=20$ 时,压强是多少?
（3）在实际测量中,当 $V=16$ 时,测得 $p=128$. 请用(2)中的模型计算此时的压强预测值,并与实测值比较,计算绝对误差($|$预测值$-$实测值$|$). 这个误差说明了什么(结果精确到 $0.1\ \mathrm{kPa}$)?

11. (1) 可以减小单次测量中的误差对模型参数k的影响,使最终确定的k值更接近真实情况,模型更可靠(合理即可)
(2) 将$V=20$代入模型,得$p=\dfrac{1997}{20}=99.85$,
∴ 压强为99.85 kPa
(3) 模型预测值:$p_{预测}=\dfrac{1997}{16}=124.8125≈124.8$.实测值:$p_{实测}=128$.
∴ 绝对误差=$|124.8-128|=3.2$(kPa).这说明我们建立的函数模型是对客观规律的近似描述,能够大致反映变化趋势,但预测值与实测值之间存在一定偏差.偏差可能来源于测量误差,也可能说明模型本身只是近似的(合理即可)

【分析】
本题围绕气体压强与体积的反比例函数模型展开，分为三个问题：问题（1）需理解多组数据取平均的作用，核心是减小误差、优化模型参数；问题（2）是基础的函数代入求值；问题（3）需计算预测值、绝对误差，并结合实际说明误差的意义，考察模型的近似性理解。
【解析】
（1）通过多组数据分别求k值再取平均值，可减小单次测量带来的偶然误差，使最终确定的k值更接近真实情况，提升反比例函数模型的可靠性。
（2）将$V=20$代入模型$p=\dfrac{1997}{V}$，计算得$p=\dfrac{1997}{20}=99.85$，因此压强为99.85 kPa。
（3）先计算模型预测压强：将$V=16$代入模型，得$p_{预测}=\dfrac{1997}{16}=124.8125≈124.8$ kPa；实测值$p_{实测}=128$ kPa，绝对误差为$|124.8 - 128|=3.2$ kPa。该误差说明所建立的反比例函数模型是对客观规律的近似描述，能大致反映压强与体积的变化趋势，但预测值与实测值存在偏差，偏差可能来源于测量误差或模型本身的近似性。
【答案】
11. (1) 可以减小单次测量中的误差对模型参数k的影响,使最终确定的k值更接近真实情况,模型更可靠(合理即可)
(2) 将$V=20$代入模型,得$p=\dfrac{1997}{20}=99.85$,
∴ 压强为99.85 kPa
(3) 模型预测值:$p_{预测}=\dfrac{1997}{16}=124.8125≈124.8$.实测值:$p_{实测}=128$.
∴ 绝对误差=$|124.8-128|=3.2$(kPa).这说明我们建立的函数模型是对客观规律的近似描述,能够大致反映变化趋势,但预测值与实测值之间存在一定偏差.偏差可能来源于测量误差,也可能说明模型本身只是近似的(合理即可)
【知识点】
反比例函数的应用，误差分析
【点评】
本题为教材变式题，结合实际情境考察反比例函数的应用及模型误差的理解，注重数学知识与实际问题的结合，难度适中。
【难度系数】
0.6