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5 已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c$图象上部分点的横坐标$x$与纵坐标$y$的对应值如下表：
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当$-4＜x＜0$时，直接写出$y$的取值范围.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当$-4＜x＜0$时，直接写出$y$的取值范围.
答案
(1) 设该二次函数的解析式为 $y=a(x+3)(x-1)$. 将$(0,-3)$代入,得$-3=a×(0+3)×(0-1)$,解得 $a=1$.
∴ 该二次函数的解析式为 $y=(x+3)(x-1)=x^{2}+2x-3$
(2) $-4≤ y＜5$
∴ 该二次函数的解析式为 $y=(x+3)(x-1)=x^{2}+2x-3$
(2) $-4≤ y＜5$
解析
【分析】
要解决这道题，第（1）问求二次函数解析式，观察表格可知x=-3和x=1时y=0，即函数与x轴交于这两点，适合用交点式设解析式，再代入已知点求系数；第（2）问求-4＜x＜0时y的范围，需先确定二次函数的对称轴、顶点（最值点），再计算区间端点对应的函数值，结合开口方向确定y的取值范围。
【解析】
（1）因为二次函数图象经过点(-3,0)和(1,0)，所以设二次函数的交点式为：$y=a(x+3)(x-1)$。
将点(0,-3)代入上式，得：$-3=a×(0+3)×(0-1)$，
计算得：$-3=-3a$，解得$a=1$。
将$a=1$代入交点式，展开得：$y=(x+3)(x-1)=x^2+2x-3$，即该二次函数的解析式为$y=x^2+2x-3$。
（2）对于二次函数$y=x^2+2x-3$，其中$a=1＞0$，函数开口向上，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×1}=-1$，
顶点在对称轴处，将$x=-1$代入解析式得：$y=(-1)^2+2×(-1)-3=-4$，即函数最小值为-4。
计算区间端点的函数值：当$x=-4$时，$y=(-4)^2+2×(-4)-3=5$；当$x=0$时，$y=-3$。
因为函数开口向上，在$-4＜x＜0$范围内，y的最小值为顶点处的-4，最大值接近x=-4时的5，因此y的取值范围是$-4≤ y＜5$。
【答案】
（1）$y=x^2+2x-3$；（2）$-4≤ y＜5$
【知识点】
二次函数解析式、二次函数图像性质
【点评】
本题考查二次函数解析式的求法和函数值范围的确定，利用交点式简化解析式计算，需掌握二次函数对称轴、顶点与最值的关系，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，第（1）问求二次函数解析式，观察表格可知x=-3和x=1时y=0，即函数与x轴交于这两点，适合用交点式设解析式，再代入已知点求系数；第（2）问求-4＜x＜0时y的范围，需先确定二次函数的对称轴、顶点（最值点），再计算区间端点对应的函数值，结合开口方向确定y的取值范围。
【解析】
（1）因为二次函数图象经过点(-3,0)和(1,0)，所以设二次函数的交点式为：$y=a(x+3)(x-1)$。
将点(0,-3)代入上式，得：$-3=a×(0+3)×(0-1)$，
计算得：$-3=-3a$，解得$a=1$。
将$a=1$代入交点式，展开得：$y=(x+3)(x-1)=x^2+2x-3$，即该二次函数的解析式为$y=x^2+2x-3$。
（2）对于二次函数$y=x^2+2x-3$，其中$a=1＞0$，函数开口向上，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×1}=-1$，
顶点在对称轴处，将$x=-1$代入解析式得：$y=(-1)^2+2×(-1)-3=-4$，即函数最小值为-4。
计算区间端点的函数值：当$x=-4$时，$y=(-4)^2+2×(-4)-3=5$；当$x=0$时，$y=-3$。
因为函数开口向上，在$-4＜x＜0$范围内，y的最小值为顶点处的-4，最大值接近x=-4时的5，因此y的取值范围是$-4≤ y＜5$。
【答案】
（1）$y=x^2+2x-3$；（2）$-4≤ y＜5$
【知识点】
二次函数解析式、二次函数图像性质
【点评】
本题考查二次函数解析式的求法和函数值范围的确定，利用交点式简化解析式计算，需掌握二次函数对称轴、顶点与最值的关系，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
6 在平面直角坐标系中,抛物线 $y=ax^{2}+bx+a-4(a＞0)$ 的对称轴是直线 $x=1$. 若抛物线经过点$(0,-3)$,则抛物线对应的函数解析式为
$y=x^2-2x-3$
.答案
$y=x^{2}-2x-3$
解析
【分析】
要确定抛物线的函数解析式，需结合已知的对称轴和过点条件，利用二次函数的相关公式求解。首先，利用抛物线过点(0,-3)的性质，代入解析式求出参数a；再根据抛物线对称轴公式，结合已知对称轴x=1求出参数b，最终得到完整的函数解析式。
【解析】
1. 求参数a的值：
将点(0,-3)代入抛物线解析式$y=ax^2+bx+a-4$，当$x=0$时，$y=a-4$，因此：
$a - 4 = -3$
解得：$a = 1$
2. 求参数b的值：
抛物线对称轴公式为$x = -\frac{b}{2a}$，已知对称轴为$x=1$，且$a=1$，代入得：
$-\frac{b}{2×1} = 1$
解得：$b = -2$
3. 确定函数解析式：
将$a=1$、$b=-2$代入原解析式，得：
$y = x^2 - 2x - 3$
【答案】
$y=x^{2}-2x-3$
【知识点】
二次函数解析式、抛物线对称轴公式
【点评】
本题考查二次函数解析式的确定，核心是利用函数过点的性质和对称轴公式建立方程求解，步骤清晰，属于基础题型，学生易掌握。
【难度系数】
0.8
要确定抛物线的函数解析式，需结合已知的对称轴和过点条件，利用二次函数的相关公式求解。首先，利用抛物线过点(0,-3)的性质，代入解析式求出参数a；再根据抛物线对称轴公式，结合已知对称轴x=1求出参数b，最终得到完整的函数解析式。
【解析】
1. 求参数a的值：
将点(0,-3)代入抛物线解析式$y=ax^2+bx+a-4$，当$x=0$时，$y=a-4$，因此：
$a - 4 = -3$
解得：$a = 1$
2. 求参数b的值：
抛物线对称轴公式为$x = -\frac{b}{2a}$，已知对称轴为$x=1$，且$a=1$，代入得：
$-\frac{b}{2×1} = 1$
解得：$b = -2$
3. 确定函数解析式：
将$a=1$、$b=-2$代入原解析式，得：
$y = x^2 - 2x - 3$
【答案】
$y=x^{2}-2x-3$
【知识点】
二次函数解析式、抛物线对称轴公式
【点评】
本题考查二次函数解析式的确定，核心是利用函数过点的性质和对称轴公式建立方程求解，步骤清晰，属于基础题型，学生易掌握。
【难度系数】
0.8
7 已知抛物线过$(1,0)$,$(0,-3)$两点,且对称轴为直线$x=2$,求此抛物线对应的函数解析式.
答案
$\because$ 抛物线的对称轴为直线 $x=2$,$\therefore$ 设此抛物线对应的函数解析式为 $y=a(x-2)^{2}+b$. 将$(1,0),(0,-3)$代入,得
$\begin{cases}a+b=0,\\4a+b=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=1.\end{cases}$
∴ 此抛物线对应的函数解析式为 $y=-(x-2)^{2}+1$,即 $y=-x^{2}+4x-3$
$\begin{cases}a+b=0,\\4a+b=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=1.\end{cases}$
∴ 此抛物线对应的函数解析式为 $y=-(x-2)^{2}+1$,即 $y=-x^{2}+4x-3$
解析
【分析】
本题给出了抛物线的对称轴，优先选择顶点式设解析式可简化计算。顶点式形式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$h$为对称轴横坐标，本题对称轴为$x=2$，故设解析式为$y=a(x-2)^2+b$；再将已知两点代入解析式得到二元一次方程组，求解出$a$、$b$的值，即可得到抛物线解析式。
【解析】
因为抛物线的对称轴为直线$x=2$，所以设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-2)^2+b$（$a≠0$）。
将点$(1,0)$代入得：$a(1-2)^2 + b = 0$，即$a + b = 0$；
将点$(0,-3)$代入得：$a(0-2)^2 + b = -3$，即$4a + b = -3$。
联立方程组：
$\begin{cases}a + b = 0 \\4a + b = -3\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3a = -3$，解得$a=-1$；
将$a=-1$代入$a + b = 0$，得$-1 + b = 0$，解得$b=1$。
因此，抛物线的解析式为$y=-(x-2)^2 + 1$，整理为一般式为$y=-x^2 + 4x - 3$。
【答案】
$y=-(x-2)^2+1$（或$y=-x^2+4x-3$）
【知识点】
二次函数顶点式、待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是二次函数解析式的基础题型，利用对称轴选择顶点式简化计算，通过待定系数法求解参数，步骤清晰，重点考查对二次函数不同形式的掌握，属于常规应用题。
【难度系数】
0.6
本题给出了抛物线的对称轴，优先选择顶点式设解析式可简化计算。顶点式形式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$h$为对称轴横坐标，本题对称轴为$x=2$，故设解析式为$y=a(x-2)^2+b$；再将已知两点代入解析式得到二元一次方程组，求解出$a$、$b$的值，即可得到抛物线解析式。
【解析】
因为抛物线的对称轴为直线$x=2$，所以设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-2)^2+b$（$a≠0$）。
将点$(1,0)$代入得：$a(1-2)^2 + b = 0$，即$a + b = 0$；
将点$(0,-3)$代入得：$a(0-2)^2 + b = -3$，即$4a + b = -3$。
联立方程组：
$\begin{cases}a + b = 0 \\4a + b = -3\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3a = -3$，解得$a=-1$；
将$a=-1$代入$a + b = 0$，得$-1 + b = 0$，解得$b=1$。
因此，抛物线的解析式为$y=-(x-2)^2 + 1$，整理为一般式为$y=-x^2 + 4x - 3$。
【答案】
$y=-(x-2)^2+1$（或$y=-x^2+4x-3$）
【知识点】
二次函数顶点式、待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是二次函数解析式的基础题型，利用对称轴选择顶点式简化计算，通过待定系数法求解参数，步骤清晰，重点考查对二次函数不同形式的掌握，属于常规应用题。
【难度系数】
0.6
8 一抛物线的顶点坐标为$(-2,0)$,开口方向、形状与函数$y = -\dfrac{1}{2}x^{2}$的图象相同,该抛物线对应的函数解析式为（
A.$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^{2}$
B.$y=\dfrac{1}{2}(x+2)^{2}$
C.$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^{2}$
D.$y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^{2}$
C
）A.$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^{2}$
B.$y=\dfrac{1}{2}(x+2)^{2}$
C.$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^{2}$
D.$y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^{2}$
答案
C
解析
【分析】
要确定抛物线的解析式，需利用二次函数的顶点式：抛物线顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$是顶点坐标，$a$决定抛物线的开口方向和形状。首先根据已知顶点坐标确定$h$和$k$的值，再根据与$y=-\frac{1}{2}x^2$的开口方向、形状相同确定$a$的值，最后代入得到解析式匹配选项即可。
【解析】
1. 设抛物线的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，已知顶点坐标为$(-2,0)$，则$h=-2$，$k=0$，代入得：$y=a(x+2)^2$；
2. 抛物线的形状由$|a|$决定，开口方向由$a$的符号决定，题目中抛物线与$y=-\frac{1}{2}x^2$的开口方向、形状相同，因此$a=-\frac{1}{2}$；
3. 将$a=-\frac{1}{2}$代入顶点式，得解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图像性质
【点评】
本题考查二次函数顶点式的应用，核心是掌握顶点式中参数的意义，以及二次项系数$a$对抛物线形状和开口方向的影响，属于基础题型，是二次函数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.7
要确定抛物线的解析式，需利用二次函数的顶点式：抛物线顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$是顶点坐标，$a$决定抛物线的开口方向和形状。首先根据已知顶点坐标确定$h$和$k$的值，再根据与$y=-\frac{1}{2}x^2$的开口方向、形状相同确定$a$的值，最后代入得到解析式匹配选项即可。
【解析】
1. 设抛物线的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，已知顶点坐标为$(-2,0)$，则$h=-2$，$k=0$，代入得：$y=a(x+2)^2$；
2. 抛物线的形状由$|a|$决定，开口方向由$a$的符号决定，题目中抛物线与$y=-\frac{1}{2}x^2$的开口方向、形状相同，因此$a=-\frac{1}{2}$；
3. 将$a=-\frac{1}{2}$代入顶点式，得解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图像性质
【点评】
本题考查二次函数顶点式的应用，核心是掌握顶点式中参数的意义，以及二次项系数$a$对抛物线形状和开口方向的影响，属于基础题型，是二次函数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.7
9 如果一条抛物线的形状和开口方向与 $y=-2x^2+2$ 的图象相同，且顶点坐标是 $(4,2)$，则该抛物线对应的函数解析式为（
A.$y=2(x-4)^2+2$
B.$y=-2(x-4)^2-2$
C.$y=-2(x-4)^2+2$
D.$y=-2(x+4)^2-2$
C
）A.$y=2(x-4)^2+2$
B.$y=-2(x-4)^2-2$
C.$y=-2(x-4)^2+2$
D.$y=-2(x+4)^2-2$
答案
C
解析
【分析】要确定抛物线的解析式，需利用二次函数的顶点式：抛物线的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$a$决定抛物线的开口方向和形状（$|a|$相同则形状相同，$a$符号相同则开口方向相同），$(h,k)$是顶点坐标。解题时先根据已知的形状和开口方向确定$a$的值，再结合顶点坐标确定$h$、$k$，代入顶点式即可得到解析式，最后对应选项选出答案。
【解析】设所求抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$。
1. 确定$a$：因为所求抛物线与$y=-2x^2+2$的形状和开口方向相同，二次项系数决定抛物线的形状和开口方向，所以$a=-2$；
2. 确定$h$、$k$：已知顶点坐标为$(4,2)$，因此$h=4$，$k=2$；
3. 代入得解析式：将$a=-2$、$h=4$、$k=2$代入顶点式，得到$y=-2(x-4)^2+2$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】二次函数顶点式、二次函数的性质
【点评】本题考查二次函数顶点式的应用，核心是掌握$a$的意义和顶点式的结构，属于基础题型，牢记相关知识点即可快速解答。
【难度系数】0.7
【解析】设所求抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$。
1. 确定$a$：因为所求抛物线与$y=-2x^2+2$的形状和开口方向相同，二次项系数决定抛物线的形状和开口方向，所以$a=-2$；
2. 确定$h$、$k$：已知顶点坐标为$(4,2)$，因此$h=4$，$k=2$；
3. 代入得解析式：将$a=-2$、$h=4$、$k=2$代入顶点式，得到$y=-2(x-4)^2+2$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】二次函数顶点式、二次函数的性质
【点评】本题考查二次函数顶点式的应用，核心是掌握$a$的意义和顶点式的结构，属于基础题型，牢记相关知识点即可快速解答。
【难度系数】0.7
10 一题多解 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 过 $(-3,0),(1,0)$ 两点,与 $y$ 轴的交点为 $(0,4)$. 试用三种不同的方法求该抛物线对应的函数解析式.
答案
解法一:$\because$ 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 过 $(-3,0),(1,0)$ 两点,与 $y$ 轴的交点为 $(0,4)$,$\therefore$ 将 $(-3,0),(1,0),(0,4)$ 代入 $y=ax^2+bx+c$,得
$\begin{cases}9a-3b+c=0,\\a+b+c=0,\\c=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\dfrac{4}{3},\\b=-\dfrac{8}{3},\\c=4.\end{cases}$
∴ 该抛物线对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{4}{3}x^{2}-\dfrac{8}{3}x+4$
解法二:$\because$ 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 过 $(-3,0),(1,0)$ 两点,与 $y$ 轴的交点为 $(0,4)$,$\therefore$ 易得 $c=4$,且该抛物线的对称轴为直线 $x=-1$. $\therefore -\dfrac{b}{2a}=-1$,即 $b=2a$ ①. 又$\because$ 抛物线过点$(1,0)$,$\therefore a+b+4=0$②. 由①②,解得 $a=-\dfrac{4}{3},b=-\dfrac{8}{3}$.
∴ 该抛物线对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{4}{3}x^{2}-\dfrac{8}{3}x+4$
解法三:由题意,可设该抛物线对应的函数解析式为 $y=a(x+3)(x-1)$. 将$(0,4)$代入,得 $a×3×(-1)=4$,解得 $a=-\dfrac{4}{3}$.
$\therefore y=-\dfrac{4}{3}(x+3)(x-1)$,即 $y=-\dfrac{4}{3}x^{2}-\dfrac{8}{3}x+4$
$\begin{cases}9a-3b+c=0,\\a+b+c=0,\\c=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\dfrac{4}{3},\\b=-\dfrac{8}{3},\\c=4.\end{cases}$
∴ 该抛物线对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{4}{3}x^{2}-\dfrac{8}{3}x+4$
解法二:$\because$ 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 过 $(-3,0),(1,0)$ 两点,与 $y$ 轴的交点为 $(0,4)$,$\therefore$ 易得 $c=4$,且该抛物线的对称轴为直线 $x=-1$. $\therefore -\dfrac{b}{2a}=-1$,即 $b=2a$ ①. 又$\because$ 抛物线过点$(1,0)$,$\therefore a+b+4=0$②. 由①②,解得 $a=-\dfrac{4}{3},b=-\dfrac{8}{3}$.
∴ 该抛物线对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{4}{3}x^{2}-\dfrac{8}{3}x+4$
解法三:由题意,可设该抛物线对应的函数解析式为 $y=a(x+3)(x-1)$. 将$(0,4)$代入,得 $a×3×(-1)=4$,解得 $a=-\dfrac{4}{3}$.
$\therefore y=-\dfrac{4}{3}(x+3)(x-1)$,即 $y=-\dfrac{4}{3}x^{2}-\dfrac{8}{3}x+4$
解析
【分析】
本题要求用三种方法求抛物线的函数解析式，核心是根据已知点的坐标特点选择合适的二次函数形式求解：方法一利用二次函数一般式，代入三个已知点构建三元一次方程组；方法二结合抛物线与x轴两交点的对称轴性质，结合已知点构建二元一次方程组；方法三利用抛物线的交点式（两根式），简化计算过程。
【解析】
解法一：将点$(-3,0),(1,0),(0,4)$代入抛物线一般式$y=ax^2+bx+c$，得方程组：
$\begin{cases}9a-3b+c=0\\a+b+c=0\\c=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\dfrac{4}{3}\\b=-\dfrac{8}{3}\\c=4\end{cases}$，因此解析式为$y=-\dfrac{4}{3}x^2-\dfrac{8}{3}x+4$。
解法二：由抛物线过$(-3,0),(1,0)$，得对称轴为直线$x=\dfrac{-3+1}{2}=-1$，故$-\dfrac{b}{2a}=-1$即$b=2a$；又抛物线过$(1,0)$和$(0,4)$，代入得$a+b+4=0$，联立$\begin{cases}b=2a\\a+b=-4\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-\dfrac{4}{3}\\b=-\dfrac{8}{3}\end{cases}$，因此解析式为$y=-\dfrac{4}{3}x^2-\dfrac{8}{3}x+4$。
解法三：因抛物线与x轴交于$(-3,0),(1,0)$，设交点式为$y=a(x+3)(x-1)$，将$(0,4)$代入得$a×3×(-1)=4$，解得$a=-\dfrac{4}{3}$，展开得$y=-\dfrac{4}{3}(x+3)(x-1)=-\dfrac{4}{3}x^2-\dfrac{8}{3}x+4$。
【答案】
$y=-\dfrac{4}{3}x^2-\dfrac{8}{3}x+4$
【知识点】
二次函数解析式、抛物线对称轴
【点评】
本题通过一题多解考查二次函数解析式的求法，不同形式的解析式适配不同已知条件，交点式在已知与x轴交点时更简便，体现了解题的灵活性，是二次函数的基础题型。
【难度系数】
0.7
本题要求用三种方法求抛物线的函数解析式，核心是根据已知点的坐标特点选择合适的二次函数形式求解：方法一利用二次函数一般式，代入三个已知点构建三元一次方程组；方法二结合抛物线与x轴两交点的对称轴性质，结合已知点构建二元一次方程组；方法三利用抛物线的交点式（两根式），简化计算过程。
【解析】
解法一：将点$(-3,0),(1,0),(0,4)$代入抛物线一般式$y=ax^2+bx+c$，得方程组：
$\begin{cases}9a-3b+c=0\\a+b+c=0\\c=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\dfrac{4}{3}\\b=-\dfrac{8}{3}\\c=4\end{cases}$，因此解析式为$y=-\dfrac{4}{3}x^2-\dfrac{8}{3}x+4$。
解法二：由抛物线过$(-3,0),(1,0)$，得对称轴为直线$x=\dfrac{-3+1}{2}=-1$，故$-\dfrac{b}{2a}=-1$即$b=2a$；又抛物线过$(1,0)$和$(0,4)$，代入得$a+b+4=0$，联立$\begin{cases}b=2a\\a+b=-4\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-\dfrac{4}{3}\\b=-\dfrac{8}{3}\end{cases}$，因此解析式为$y=-\dfrac{4}{3}x^2-\dfrac{8}{3}x+4$。
解法三：因抛物线与x轴交于$(-3,0),(1,0)$，设交点式为$y=a(x+3)(x-1)$，将$(0,4)$代入得$a×3×(-1)=4$，解得$a=-\dfrac{4}{3}$，展开得$y=-\dfrac{4}{3}(x+3)(x-1)=-\dfrac{4}{3}x^2-\dfrac{8}{3}x+4$。
【答案】
$y=-\dfrac{4}{3}x^2-\dfrac{8}{3}x+4$
【知识点】
二次函数解析式、抛物线对称轴
【点评】
本题通过一题多解考查二次函数解析式的求法，不同形式的解析式适配不同已知条件，交点式在已知与x轴交点时更简便，体现了解题的灵活性，是二次函数的基础题型。
【难度系数】
0.7
