$1+a+a(1+a)+a(1+a)^2+a(1+a)^3+a(1+a)^4+a(1+a)^5+a(1+a)^6$，
然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：
①1+a+a(1+a)
=(1+a)+a(1+a)
=(1+a)(1+a)
$=(1+a)^2$；
②由①知$1+a+a(1+a)=(1+a)^2$，所以，
$1+a+a(1+a)+a(1+a)^2$
$=(1+a)^2+a(1+a)^2$
$=(1+a)^2(1+a)$
$=(1+a)^3$。
(1)仿照②，写出$1+a+a(1+a)+a(1+a)^2+a(1+a)^3$进行因式分解的过程。
【发现规律】
$(2)1+a+a(1+a)+a(1+a)^2+…+a(1+a)^n=$。
【问题解决】
(3)计算：$1+3+3(1+3)+3(1+3)^2+3(1+3)^3+3(1+3)^4+3(1+3)^5+3(1+3)^6=$（结果用乘方表示）。

解：
(1) 由②知$1+a+a(1+a)+a(1+a)^2=(1+a)^3$，所以
$1+a+a(1+a)+a(1+a)^2+a(1+a)^3$
$=(1+a)^3 + a(1+a)^3$
$=(1+a)^3(1+a)$
$=(1+a)^4$
(2) $(1+a)^{n+1}$
(3) $4^7$

21.如图，长为40，宽为x的大长方形被分割为9小块，除阴影A，B两块外，其余7块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为y。

(1)分别用含x，y的代数式表示阴影A，B两块的周长，并计算阴影A，B两块的周长和；
(2)分别用含x，y的代数式表示阴影A，B两块的面积，并计算阴影A，B的面积差；
(3)当y取何值时，阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化，并求出这个值。

解：
(1) 由图可知，小长方形的长为$40-4y$。
阴影A的长为$40-4y$，宽为$x-3y$，
则阴影A的周长为：
$2[(40-4y)+(x-3y)]=2x+80-14y$
阴影B的长为$4y$，宽为$x-(40-4y)=x-40+4y$，
则阴影B的周长为：
$2[4y+(x-40+4y)]=2x+16y-80$
两块阴影的周长和为：
$(2x+80-14y)+(2x+16y-80)=4x+2y$
(2) 阴影A的面积为：
$S_A=(40-4y)(x-3y)=40x-120y-4xy+12y^2$
阴影B的面积为：
$S_B=4y(x-40+4y)=4xy-160y+16y^2$
两块阴影的面积差为：
$S_A-S_B=(40x-120y-4xy+12y^2)-(4xy-160y+16y^2)$
$=40x-8xy+40y-4y^2$
(3) 将面积差整理得：
$S_A-S_B=(40-8y)x+40y-4y^2$
若面积差不随$x$的变化而变化，则$x$的系数为0，即：
$40-8y=0$
解得$y=5$
此时面积差为$40×5-4×5^2=100$
答：当$y=5$时，阴影A与阴影B的面积差不会随$x$的变化而变化，这个定值为100。