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1.某商店出售下列形状的地砖:①长方形;②正方形;③正五边形;④正六边形。若只选购其中一种形状的地砖用来铺设教室地面,则可供选择的地砖是()
A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.②③
A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.②③
答案
C
解析
单一地砖铺设地面属于平面密铺问题，核心条件是：该多边形的若干个内角拼接后和恰好为360°，无空隙无重叠。逐一验证：
1. 长方形内角为90°，4个90°和为360°，可密铺；
2. 正方形内角为90°，4个90°和为360°，可密铺；
3. 正五边形内角为108°，108无法整除360°，不能密铺；
4. 正六边形内角为120°，3个120°和为360°，可密铺。
因此可供选择的地砖是①②④。
1. 长方形内角为90°，4个90°和为360°，可密铺；
2. 正方形内角为90°，4个90°和为360°，可密铺；
3. 正五边形内角为108°，108无法整除360°，不能密铺；
4. 正六边形内角为120°，3个120°和为360°，可密铺。
因此可供选择的地砖是①②④。
2.如果多边形的边数增加2,关于其内角和与外角和的变化,下列说法正确的是()
A.内角和不变,外角和增加 $ 180° $
B.外角和不变,内角和增加 $ 180° $
C.内角和不变,外角和增加 $ 360° $
D.外角和不变,内角和增加 $ 360° $
A.内角和不变,外角和增加 $ 180° $
B.外角和不变,内角和增加 $ 180° $
C.内角和不变,外角和增加 $ 360° $
D.外角和不变,内角和增加 $ 360° $
答案
D
解析
任意多边形的外角和恒为360°，不随边数改变。设原多边形边数为n，由多边形内角和公式可得原内角和为$(n-2)×180°$，边数增加2后，新多边形边数为$n+2$，新内角和为$(n+2-2)×180°=n×180°$，二者作差可得内角和增加了$360°$，即外角和不变，内角和增加$360°$。
3. 如图,在四边形 ABCD 中,AB=CD,对角线 AC,BD 相交于点 O,AE⊥BD 于点 E,CF⊥BD 于点 F,连接 AF,CE。若 DE=BF,则有下列结论:①CF=AE;②OE=OF;③四边形 CFAE 是平行四边形;④四边形 ABCD 是平行四边形。其中正确的结论是___________（填序号）。
答案
①②③④
解析
我们逐一推导各结论：
1. 推导结论①：
∵ AE⊥BD，CF⊥BD，∴ ∠CFD=∠AEB=90°，
∵ DE=BF，∴ DE-EF=BF-EF，即DF=BE，
在Rt△CDF和Rt△ABE中，$\begin{cases} CD=AB \\ DF=BE \end{cases}$，
∴ Rt△CDF ≌ Rt△ABE（HL），可得CF=AE，结论①正确。
2. 推导结论③：
∵ CF⊥BD，AE⊥BD，∴ CF//AE，
又已证CF=AE，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形CFAE是平行四边形，结论③正确。
3. 推导结论②：
∵ 四边形CFAE是平行四边形，平行四边形对角线互相平分，∴ OE=OF，结论②正确。
4. 推导结论④：
∵ DE=BF，DE=DO+OE，BF=BO+OF，且OE=OF，∴ DO=BO，
又∵ 四边形CFAE是平行四边形，∴ OA=OC，即四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，因此四边形ABCD是平行四边形，结论④正确。
综上，所有结论均正确。
1. 推导结论①：
∵ AE⊥BD，CF⊥BD，∴ ∠CFD=∠AEB=90°，
∵ DE=BF，∴ DE-EF=BF-EF，即DF=BE，
在Rt△CDF和Rt△ABE中，$\begin{cases} CD=AB \\ DF=BE \end{cases}$，
∴ Rt△CDF ≌ Rt△ABE（HL），可得CF=AE，结论①正确。
2. 推导结论③：
∵ CF⊥BD，AE⊥BD，∴ CF//AE，
又已证CF=AE，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形CFAE是平行四边形，结论③正确。
3. 推导结论②：
∵ 四边形CFAE是平行四边形，平行四边形对角线互相平分，∴ OE=OF，结论②正确。
4. 推导结论④：
∵ DE=BF，DE=DO+OE，BF=BO+OF，且OE=OF，∴ DO=BO，
又∵ 四边形CFAE是平行四边形，∴ OA=OC，即四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，因此四边形ABCD是平行四边形，结论④正确。
综上，所有结论均正确。
4.如图,在等腰梯形ABCD中,E为CD的中点,EF⊥AB于点F。如果AB=8 cm,EF=5 cm,那么梯形ABCD的面积为。
答案
$40\ \mathrm{cm}^2$
解析
连接AE并延长，交BC的延长线于点G：
1. 由等腰梯形性质得AD//BC，因此∠D=∠ECG，
已知E为CD中点，故DE=CE，又∠AED=∠GEC，可证△ADE ≌ △GCE（ASA），
因此S△ADE = S△GCE，且AE=GE，即E为AG中点。
2. 由此可得梯形ABCD的面积 = S四边形ABCE + S△ADE = S△ABG，
因为E是AG中点，△ABE和△GBE等底同高，故S△ABG = 2S△ABE。
3. 已知EF⊥AB，AB=8cm，EF=5cm，计算得S△ABE = $\frac{1}{2} × AB × EF = \frac{1}{2} × 8 × 5 = 20\ \mathrm{cm}^2$，
因此梯形ABCD的面积 = 2×20 = 40 $\mathrm{cm}^2$。
1. 由等腰梯形性质得AD//BC，因此∠D=∠ECG，
已知E为CD中点，故DE=CE，又∠AED=∠GEC，可证△ADE ≌ △GCE（ASA），
因此S△ADE = S△GCE，且AE=GE，即E为AG中点。
2. 由此可得梯形ABCD的面积 = S四边形ABCE + S△ADE = S△ABG，
因为E是AG中点，△ABE和△GBE等底同高，故S△ABG = 2S△ABE。
3. 已知EF⊥AB，AB=8cm，EF=5cm，计算得S△ABE = $\frac{1}{2} × AB × EF = \frac{1}{2} × 8 × 5 = 20\ \mathrm{cm}^2$，
因此梯形ABCD的面积 = 2×20 = 40 $\mathrm{cm}^2$。
5.如图,在平面内,将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠放在一起,则$∠3+∠1-∠2=$°。
答案
24
解析
首先根据正多边形内角和公式：正$n$边形的每个内角度数为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，分别计算各图形的内角度数：
1. 正三角形的内角度数：$\frac{(3-2)×180°}{3}=60°$
2. 正方形的内角度数：$\frac{(4-2)×180°}{4}=90°$
3. 正五边形的内角度数：$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
4. 正六边形的内角度数：$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$
结合叠放图形可知：
$∠1 = 120° - 108° = 12°$，$∠2 = 108° - 90° = 18°$，$∠3 = 90° - 60° = 30°$
代入计算得：$∠3 + ∠1 - ∠2 = 30° + 12° - 18° = 24°$
1. 正三角形的内角度数：$\frac{(3-2)×180°}{3}=60°$
2. 正方形的内角度数：$\frac{(4-2)×180°}{4}=90°$
3. 正五边形的内角度数：$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
4. 正六边形的内角度数：$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$
结合叠放图形可知：
$∠1 = 120° - 108° = 12°$，$∠2 = 108° - 90° = 18°$，$∠3 = 90° - 60° = 30°$
代入计算得：$∠3 + ∠1 - ∠2 = 30° + 12° - 18° = 24°$
6.如图,四边形ABCD是平行四边形,E为BC延长线上一点,BE=CD,连接AE,交CD于点F,连接AC,BF,DE。
(1)若$∠DAE=65°$,求$∠BAD$的度数。
(2)若$BF⊥AE$,求证:四边形ACED是平行四边形。
(1)若$∠DAE=65°$,求$∠BAD$的度数。
(2)若$BF⊥AE$,求证:四边形ACED是平行四边形。
答案
(1) $\boldsymbol{130°}$
(2) 四边形ACED是平行四边形，得证。
(2) 四边形ACED是平行四边形，得证。
解析
(1) 解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB=CD$，$AD// BC$，
由两直线平行，内错角相等得：$∠ AEB = ∠ DAE = 65°$，
又∵ $BE=CD$，
∴ $AB=BE$，即$△ ABE$是等腰三角形，
∴ $∠ BAE = ∠ AEB = 65°$，
因此$∠ BAD = ∠ BAE + ∠ DAE = 65° + 65° = 130°$。
(2) 证明：
∵ $AB=BE$，$BF⊥ AE$，
由等腰三角形三线合一可得：F是AE的中点，即$AF=EF$，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AD// BC$，即$AD// CE$，且$AD=BC$，
又∵ 点F是AE中点，$CF// AB$，根据三角形中位线定理的逆定理，可得C是BE的中点，
∴ $BC=CE$，
结合$AD=BC$，得$AD=CE$，
又∵ $AD// CE$，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ACED是平行四边形。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB=CD$，$AD// BC$，
由两直线平行，内错角相等得：$∠ AEB = ∠ DAE = 65°$，
又∵ $BE=CD$，
∴ $AB=BE$，即$△ ABE$是等腰三角形，
∴ $∠ BAE = ∠ AEB = 65°$，
因此$∠ BAD = ∠ BAE + ∠ DAE = 65° + 65° = 130°$。
(2) 证明：
∵ $AB=BE$，$BF⊥ AE$，
由等腰三角形三线合一可得：F是AE的中点，即$AF=EF$，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AD// BC$，即$AD// CE$，且$AD=BC$，
又∵ 点F是AE中点，$CF// AB$，根据三角形中位线定理的逆定理，可得C是BE的中点，
∴ $BC=CE$，
结合$AD=BC$，得$AD=CE$，
又∵ $AD// CE$，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ACED是平行四边形。
