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19.如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,将△CDE沿着CE折叠,使点D落在对角线AC上的点F处.若$\frac{AF}{FC}=\frac{2}{3},DE=3$,则AE的长为. 
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
解：
由折叠的性质可得：$EF=DE=3$，$∠ CFE=∠ D=90°$，$CF=CD$，
$\therefore ∠ AFE=90°$，即$△ AEF$是直角三角形。
已知$\frac{AF}{FC}=\frac{2}{3}$，设$AF=2k$，$FC=3k$，则$CD=CF=3k$，$AC=AF+FC=5k$。
在$Rt△ AEF$中，由勾股定理得：
$AE^2 = AF^2 + EF^2 = (2k)^2 + 3^2 = 4k^2 +9$ ①
∵四边形$ABCD$是矩形，$\therefore ∠ D=90°$，
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：
$AD^2 + CD^2 = AC^2$，
又$AD=AE+DE=AE+3$，代入得：
$(AE+3)^2 + (3k)^2 = (5k)^2$
展开整理得：$AE^2 +6AE +9 = 16k^2$ ②
将①代入②：
$4k^2 +9 +6AE +9 =16k^2$
化简得：$k^2=\frac{AE+3}{2}$
将$k^2=\frac{AE+3}{2}$代入①：
$AE^2 =4×\frac{AE+3}{2} +9$
整理得：$AE^2 -2AE -15=0$
解得$AE=5$，$AE=-3$（边长为正，舍去）
最终
由折叠的性质可得：$EF=DE=3$，$∠ CFE=∠ D=90°$，$CF=CD$，
$\therefore ∠ AFE=90°$，即$△ AEF$是直角三角形。
已知$\frac{AF}{FC}=\frac{2}{3}$，设$AF=2k$，$FC=3k$，则$CD=CF=3k$，$AC=AF+FC=5k$。
在$Rt△ AEF$中，由勾股定理得：
$AE^2 = AF^2 + EF^2 = (2k)^2 + 3^2 = 4k^2 +9$ ①
∵四边形$ABCD$是矩形，$\therefore ∠ D=90°$，
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：
$AD^2 + CD^2 = AC^2$，
又$AD=AE+DE=AE+3$，代入得：
$(AE+3)^2 + (3k)^2 = (5k)^2$
展开整理得：$AE^2 +6AE +9 = 16k^2$ ②
将①代入②：
$4k^2 +9 +6AE +9 =16k^2$
化简得：$k^2=\frac{AE+3}{2}$
将$k^2=\frac{AE+3}{2}$代入①：
$AE^2 =4×\frac{AE+3}{2} +9$
整理得：$AE^2 -2AE -15=0$
解得$AE=5$，$AE=-3$（边长为正，舍去）
最终
20.如图,四边形ABCD是平行四边形,AC,BD相交于点O,E是AB的中点,连接OE,过点E作$EF⊥BC$于点F,过点O作$OG⊥BC$于点G.
(1)求证:四边形EFGO是矩形.
(2)若四边形ABCD是菱形,$AB=10$,且$\frac{EO}{AO}=\frac{4}{5}$,求$△ AEO$的面积.
(1)求证:四边形EFGO是矩形.
(2)若四边形ABCD是菱形,$AB=10$,且$\frac{EO}{AO}=\frac{4}{5}$,求$△ AEO$的面积.
答案
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ O是AC的中点，
又∵ E是AB的中点，
∴ OE是△ABC的中位线，
∴ $OE// BC$，
∵ $EF⊥ BC$，$OG⊥ BC$，
∴ $EF// OG$，
∴ 四边形EFGO是平行四边形，
又∵ $∠ EFG=90°$，
∴ 平行四边形EFGO是矩形。
---
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AC⊥ BD$，即 $∠ AOB=90°$，
∵ E是AB的中点，$AB=10$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$OE=AE=BE=\frac{1}{2}AB=5$，
∵ $\frac{EO}{AO}=\frac{4}{5}$，即 $\frac{5}{AO}=\frac{4}{5}$，
解得 $AO=\frac{25}{4}$，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{10^2-(\frac{25}{4})^2}=\frac{5\sqrt{39}}{4}$，
∴ $S_{△ AOB}=\frac{1}{2}· AO· OB=\frac{1}{2}×\frac{25}{4}×\frac{5\sqrt{39}}{4}=\frac{125\sqrt{39}}{32}$，
∵ E是AB的中点，
∴ $S_{△ AEO}=\frac{1}{2}S_{△ AOB}=\frac{125\sqrt{39}}{64}$。
答：$△ AEO$的面积为$\frac{125\sqrt{39}}{64}$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ O是AC的中点，
又∵ E是AB的中点，
∴ OE是△ABC的中位线，
∴ $OE// BC$，
∵ $EF⊥ BC$，$OG⊥ BC$，
∴ $EF// OG$，
∴ 四边形EFGO是平行四边形，
又∵ $∠ EFG=90°$，
∴ 平行四边形EFGO是矩形。
---
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AC⊥ BD$，即 $∠ AOB=90°$，
∵ E是AB的中点，$AB=10$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$OE=AE=BE=\frac{1}{2}AB=5$，
∵ $\frac{EO}{AO}=\frac{4}{5}$，即 $\frac{5}{AO}=\frac{4}{5}$，
解得 $AO=\frac{25}{4}$，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{10^2-(\frac{25}{4})^2}=\frac{5\sqrt{39}}{4}$，
∴ $S_{△ AOB}=\frac{1}{2}· AO· OB=\frac{1}{2}×\frac{25}{4}×\frac{5\sqrt{39}}{4}=\frac{125\sqrt{39}}{32}$，
∵ E是AB的中点，
∴ $S_{△ AEO}=\frac{1}{2}S_{△ AOB}=\frac{125\sqrt{39}}{64}$。
答：$△ AEO$的面积为$\frac{125\sqrt{39}}{64}$。
21. 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$D$是$BC$的中点，$E$是$AD$的中点，过点$A$作$AF// BC$交$CE$的延长线于点$F$.
(1)求证:四边形$ADBF$是菱形.
(2)若$AB=10$，菱形$ADBF$的面积为80，求$BC$的长.
(1)求证:四边形$ADBF$是菱形.
(2)若$AB=10$，菱形$ADBF$的面积为80，求$BC$的长.
答案
(1) 证明：
∵ $AF// BC$，
∴ $∠ AFE = ∠ DCE$，
∵ $E$是$AD$的中点，
∴ $AE = DE$，
在$△ AEF$和$△ DEC$中：
$\begin{cases}∠ AFE = ∠ DCE \\∠ AEF = ∠ DEC \\AE = DE\end{cases}$
∴ $△ AEF ≌ △ DEC$（AAS），
∴ $AF = DC$，
∵ $D$是斜边$BC$的中点，在$Rt△ ABC$中$∠ BAC=90°$，
∴ $BD = DC = AD$，
∴ $AF = BD$，
又∵ $AF// BD$，
∴ 四边形$ADBF$是平行四边形，
又∵ $AD = BD$，
∴ 平行四边形$ADBF$是菱形。
---
(2) 解：
∵ 四边形$ADBF$是菱形，
∴ $S_{\mathrm{菱形}ADBF} = 2S_{△ ABD}$，
∵ $D$是$BC$中点，
∴ $S_{△ ABD} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∴ $S_{\mathrm{菱形}ADBF} = S_{△ ABC} = 80$，
∵ $∠ BAC=90°$，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2}· AB· AC = 80$，
代入$AB=10$得：$\frac{1}{2}×10× AC = 80$，
解得$AC=16$，
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理：
$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{10^2 + 16^2} = \sqrt{356} = 2\sqrt{89}$。
答：$BC$的长为$2\sqrt{89}$。
∵ $AF// BC$，
∴ $∠ AFE = ∠ DCE$，
∵ $E$是$AD$的中点，
∴ $AE = DE$，
在$△ AEF$和$△ DEC$中：
$\begin{cases}∠ AFE = ∠ DCE \\∠ AEF = ∠ DEC \\AE = DE\end{cases}$
∴ $△ AEF ≌ △ DEC$（AAS），
∴ $AF = DC$，
∵ $D$是斜边$BC$的中点，在$Rt△ ABC$中$∠ BAC=90°$，
∴ $BD = DC = AD$，
∴ $AF = BD$，
又∵ $AF// BD$，
∴ 四边形$ADBF$是平行四边形，
又∵ $AD = BD$，
∴ 平行四边形$ADBF$是菱形。
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(2) 解：
∵ 四边形$ADBF$是菱形，
∴ $S_{\mathrm{菱形}ADBF} = 2S_{△ ABD}$，
∵ $D$是$BC$中点，
∴ $S_{△ ABD} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∴ $S_{\mathrm{菱形}ADBF} = S_{△ ABC} = 80$，
∵ $∠ BAC=90°$，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2}· AB· AC = 80$，
代入$AB=10$得：$\frac{1}{2}×10× AC = 80$，
解得$AC=16$，
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理：
$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{10^2 + 16^2} = \sqrt{356} = 2\sqrt{89}$。
答：$BC$的长为$2\sqrt{89}$。
