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6. 如图,将正六边形ABCDEF放入平面直角坐标系中.若点A、B、E的坐标分别为$(a,b)$、$(3,1)$、$(-a,b)$,则点D的坐标为 （
A.$(1,3)$
B.$(3,-1)$
C.$(-1,-3)$
D.$(-3,1)$
D
）A.$(1,3)$
B.$(3,-1)$
C.$(-1,-3)$
D.$(-3,1)$
答案
6.D 解析:由点A、E的坐标分别为$(a,b)$、$(-a,b)$知,A、E两点关于y轴对称,则B、D两点也关于y轴对称。$\because B(3,1)$,$\therefore D(-3,1)$。
解析
【分析】
解题时先观察已知点A、E的坐标特征，回忆关于坐标轴对称的点的坐标规律：纵坐标相同、横坐标互为相反数的两点关于y轴对称，由此可判断y轴是正六边形的一条对称轴。再结合正六边形的轴对称性，可知点B与点D关于y轴对称，最后利用关于y轴对称的点的坐标变化规律即可求出点D的坐标。
【解析】
已知点A、E的坐标分别为$(a,b)$、$(-a,b)$，两点纵坐标相等，横坐标互为相反数，因此A、E两点关于y轴对称，即y轴是正六边形ABCDEF的一条对称轴。
根据正六边形的轴对称性，点B与点D是关于y轴对称的对应点。
由关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，结合点B的坐标为$(3,1)$，可得点D的坐标为$(-3,1)$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；正六边形的性质；坐标与图形性质
【点评】
本题将图形的轴对称性和平面直角坐标系相结合考查，解题核心是先通过已知点的坐标特征确定对称轴，再利用对称点的坐标规律求解，掌握基础的坐标对称规律即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知点A、E的坐标特征，回忆关于坐标轴对称的点的坐标规律：纵坐标相同、横坐标互为相反数的两点关于y轴对称，由此可判断y轴是正六边形的一条对称轴。再结合正六边形的轴对称性，可知点B与点D关于y轴对称，最后利用关于y轴对称的点的坐标变化规律即可求出点D的坐标。
【解析】
已知点A、E的坐标分别为$(a,b)$、$(-a,b)$，两点纵坐标相等，横坐标互为相反数，因此A、E两点关于y轴对称，即y轴是正六边形ABCDEF的一条对称轴。
根据正六边形的轴对称性，点B与点D是关于y轴对称的对应点。
由关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，结合点B的坐标为$(3,1)$，可得点D的坐标为$(-3,1)$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；正六边形的性质；坐标与图形性质
【点评】
本题将图形的轴对称性和平面直角坐标系相结合考查，解题核心是先通过已知点的坐标特征确定对称轴，再利用对称点的坐标规律求解，掌握基础的坐标对称规律即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
7. 如图,若在象棋盘上建立平面直角坐标系,使得“将”位于点$(1,-2)$,"象"位于点$(3,-2)$,则“炮”位于点 （
A.$(1,3)$
B.$(4,1)$
C.$(-1,2)$
D.$(-2,2)$
B
）A.$(1,3)$
B.$(4,1)$
C.$(-1,2)$
D.$(-2,2)$
答案
7.B 解析:“将”位于点$(1,-2)$,“象”位于点$(3,-2)$,建立平面直角坐标系如图所示,由图可知,“炮”位于点$(4,1)$。
解析
【分析】
解题时首先明确平面直角坐标系的坐标规则：横坐标（x）向右为正方向，纵坐标（y）向上为正方向，坐标形式为$(x,y)$。首先根据已知“将”和“象”的坐标，可确定每个网格的边长对应1个单位长度，接下来分别数出“炮”的横坐标和纵坐标即可：先看水平方向，数“炮”距离y轴正方向的单位数得到x值，再看竖直方向，数“炮”距离x轴正方向的单位数得到y值，组合后就是炮的坐标。
【解析】
已知“将”位于点$(1,-2)$，“象”位于点$(3,-2)$，可得该平面直角坐标系中每个小方格的边长为1个单位长度，x轴向右为正，y轴向上为正。
观察“炮”的位置：
1. 横坐标：在y轴右侧第4个单位长度处，即$x=4$；
2. 纵坐标：在x轴上方第1个单位长度处，即$y=1$。
因此“炮”的坐标为$(4,1)$。
【答案】
B
【知识点】
平面直角坐标系，坐标确定位置
【点评】
本题是坐标在实际场景中的应用题目，解题核心是根据已知点的坐标明确坐标系的单位长度和坐标轴方向，再通过数网格得到未知点坐标，难度较低，掌握坐标的基本含义即可求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确平面直角坐标系的坐标规则：横坐标（x）向右为正方向，纵坐标（y）向上为正方向，坐标形式为$(x,y)$。首先根据已知“将”和“象”的坐标，可确定每个网格的边长对应1个单位长度，接下来分别数出“炮”的横坐标和纵坐标即可：先看水平方向，数“炮”距离y轴正方向的单位数得到x值，再看竖直方向，数“炮”距离x轴正方向的单位数得到y值，组合后就是炮的坐标。
【解析】
已知“将”位于点$(1,-2)$，“象”位于点$(3,-2)$，可得该平面直角坐标系中每个小方格的边长为1个单位长度，x轴向右为正，y轴向上为正。
观察“炮”的位置：
1. 横坐标：在y轴右侧第4个单位长度处，即$x=4$；
2. 纵坐标：在x轴上方第1个单位长度处，即$y=1$。
因此“炮”的坐标为$(4,1)$。
【答案】
B
【知识点】
平面直角坐标系，坐标确定位置
【点评】
本题是坐标在实际场景中的应用题目，解题核心是根据已知点的坐标明确坐标系的单位长度和坐标轴方向，再通过数网格得到未知点坐标，难度较低，掌握坐标的基本含义即可求解。
【难度系数】
0.9
8. 如图,在x轴、y轴上分别截取OA、OB,使OA=OB,再分别以点A和点B为圆心、大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧,两弧交于点P.若点P的坐标为$(a,2a-3)$,则a的值为
3
.答案
8.3 解析:由题意可知,点P在$∠ BOA$的平分线上,$\therefore$点P到x轴和y轴的距离相等。又$\because$点P的坐标为$(a,2a-3)$,且在第一象限$\therefore a=2a-3$,$\therefore a=3$。
解析
【分析】
解题第一步先识别题中的尺规作图类型：题中给出的作图步骤是作∠AOB的角平分线的标准尺规作法，因此可得点P在∠AOB的角平分线上；第二步回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，∠AOB的两边是x轴和y轴，因此点P到x轴、y轴的距离相等；第三步结合平面直角坐标系中点的坐标的意义：第一象限内点到x轴的距离是纵坐标，到y轴的距离是横坐标，因此点P的横、纵坐标相等，据此列一元一次方程即可求出a的值。
【解析】
解：由题中的尺规作图步骤可知，点P在∠BOA的角平分线上。
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点P到x轴、y轴的距离相等。
由作图可知点P在第一象限，已知点P的坐标为$(a,2a-3)$，第一象限内点的横、纵坐标均为正数，且点到x轴的距离等于纵坐标，到y轴的距离等于横坐标，因此可列方程：
$a = 2a - 3$
移项计算得：$a=3$
【答案】
3
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的性质；平面直角坐标系点的特征
【点评】
本题属于基础综合题，将尺规作图识别、角平分线性质与平面直角坐标系知识结合考查，解题核心是准确判断点P的位置特征，建立等量关系求解，侧重对基础概念和方法的掌握情况的检验。
【难度系数】
0.8
解题第一步先识别题中的尺规作图类型：题中给出的作图步骤是作∠AOB的角平分线的标准尺规作法，因此可得点P在∠AOB的角平分线上；第二步回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，∠AOB的两边是x轴和y轴，因此点P到x轴、y轴的距离相等；第三步结合平面直角坐标系中点的坐标的意义：第一象限内点到x轴的距离是纵坐标，到y轴的距离是横坐标，因此点P的横、纵坐标相等，据此列一元一次方程即可求出a的值。
【解析】
解：由题中的尺规作图步骤可知，点P在∠BOA的角平分线上。
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点P到x轴、y轴的距离相等。
由作图可知点P在第一象限，已知点P的坐标为$(a,2a-3)$，第一象限内点的横、纵坐标均为正数，且点到x轴的距离等于纵坐标，到y轴的距离等于横坐标，因此可列方程：
$a = 2a - 3$
移项计算得：$a=3$
【答案】
3
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的性质；平面直角坐标系点的特征
【点评】
本题属于基础综合题，将尺规作图识别、角平分线性质与平面直角坐标系知识结合考查，解题核心是准确判断点P的位置特征，建立等量关系求解，侧重对基础概念和方法的掌握情况的检验。
【难度系数】
0.8
9. 如图,在平面直角坐标系中,点 A 在 x 轴上,已知点 C 的横坐标为 3,$AC=2,OC=2\sqrt{3}$,$CB ⊥ OA$,垂足为 B. 请你判断$△ AOC$的形状,并说明理由.
答案
9.$△ AOC$是直角三角形。理由如下:$\because$点C的横坐标为3,$CB⊥ OA$,$\therefore OB=3$,$∠ OBC=∠ ABC=90°$,$\therefore BC=\sqrt{OC^2-OB^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-3^2}=\sqrt{3}$,$\therefore AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1$,$\therefore OA=OB+AB=4$。$\because OC^2+AC^2=12+4=16$,$OA^2=16$,$\therefore OC^2+AC^2=OA^2$,$\therefore △ AOC$是直角三角形。
解析
【分析】
要判断△AOC的形状，已知OC、AC的长度，我们只需求出OA的长度，再验证三边是否满足勾股定理的逆定理即可。首先根据点C的横坐标为3，且CB⊥OA，可直接得到OB的长度；先在Rt△OBC中利用勾股定理求出BC的长，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长，OB与AB相加即可得到OA的长度；最后验证OC²+AC²是否等于OA²，即可得出三角形的形状。
【解析】
△AOC是直角三角形，理由如下：
∵点C的横坐标为3，CB⊥OA，
∴OB=3，∠OBC=∠ABC=90°，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OC^2-OB^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-3^2}=\sqrt{3}$，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1$，
∴OA=OB+AB=3+1=4，
∵$OC^2+AC^2=(2\sqrt{3})^2+2^2=12+4=16$，$OA^2=4^2=16$，
∴$OC^2+AC^2=OA^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△AOC是直角三角形。
【答案】
△AOC是直角三角形。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；坐标与图形性质
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查三角形形状的判定，解题的关键是熟练运用勾股定理计算未知线段的长度，再通过勾股定理的逆定理完成判定，注重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
要判断△AOC的形状，已知OC、AC的长度，我们只需求出OA的长度，再验证三边是否满足勾股定理的逆定理即可。首先根据点C的横坐标为3，且CB⊥OA，可直接得到OB的长度；先在Rt△OBC中利用勾股定理求出BC的长，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长，OB与AB相加即可得到OA的长度；最后验证OC²+AC²是否等于OA²，即可得出三角形的形状。
【解析】
△AOC是直角三角形，理由如下：
∵点C的横坐标为3，CB⊥OA，
∴OB=3，∠OBC=∠ABC=90°，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OC^2-OB^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-3^2}=\sqrt{3}$，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1$，
∴OA=OB+AB=3+1=4，
∵$OC^2+AC^2=(2\sqrt{3})^2+2^2=12+4=16$，$OA^2=4^2=16$，
∴$OC^2+AC^2=OA^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△AOC是直角三角形。
【答案】
△AOC是直角三角形。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；坐标与图形性质
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查三角形形状的判定，解题的关键是熟练运用勾股定理计算未知线段的长度，再通过勾股定理的逆定理完成判定，注重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
10. 如图,方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度,学校的位置坐标为$A(2,1)$,图书馆的位置坐标为$B(-1,-2)$,解答下列问题:
(1)在图中建立平面直角坐标系,并标出坐标原点$O$.
(2)若体育馆的位置坐标为$C(1,3)$,请在坐标系中标出体育馆的位置$C$.
(3)将点$C$绕原点顺时针旋转$90°$得到点$D$,直接写出点$D$的坐标.
(4)顺次连接学校、图书馆、体育馆,得到$△ ABC$,求$△ ABC$的面积.
(1)在图中建立平面直角坐标系,并标出坐标原点$O$.
(2)若体育馆的位置坐标为$C(1,3)$,请在坐标系中标出体育馆的位置$C$.
(3)将点$C$绕原点顺时针旋转$90°$得到点$D$,直接写出点$D$的坐标.
(4)顺次连接学校、图书馆、体育馆,得到$△ ABC$,求$△ ABC$的面积.
答案
10.(1)如图所示。
(2)如图,点C即为所求。
(3)如图,点D即为所求,$D(3,-1)$。
(4)$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×3×1+\frac{1}{2}×3×2=\frac{9}{2}$。
解析
【分析】
1. 建立平面直角坐标系：已知点A坐标为(2,1)，说明A在原点右侧2个单位、上方1个单位，因此原点O就是A点向左数2格、向下数1格的位置，确定原点后画出x轴（水平向右为正方向）和y轴（竖直向上为正方向）即可。
2. 标注点C：已知C(1,3)，横坐标为1即原点右侧1格，纵坐标为3即原点上方3格，找到对应格点标注即可。
3. 求旋转后点D的坐标：记住点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律：原坐标(x,y)旋转后变为(y,-x)，代入C点坐标即可求出D点坐标。
4. 求△ABC的面积：因为△ABC的边都不与网格线重合，采用分割法，将其拆分为两个易计算面积的小三角形，分别计算面积后求和即可。
【解析】
(1) 根据A(2,1)的坐标，在A点左侧2个单位、下方1个单位的位置确定原点O，画出水平的x轴（向右为正）和竖直的y轴（向上为正），完成坐标系建立。
(2) 在坐标系中找横坐标为1、纵坐标为3的格点，标注为点C。
(3) 点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律为$(x,y)\xrightarrow{\mathrm{顺时针旋转}90°}(y,-x)$，将C(1,3)代入得：$x_D=3$，$y_D=-1$，即D点坐标为(3,-1)，在坐标系中标出D点。
(4) 采用分割法计算面积：将△ABC分割为两个底长为3，高分别为1和2的小三角形，分别计算面积后相加：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×3×1+\frac{1}{2}×3×2=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}$
【答案】
10.(1)如图所示。
(2)如图,点C即为所求。
(3)如图,点D即为所求,$D(3,-1)$。
(4)$S_{△ ABC}=\frac{9}{2}$
【知识点】
平面直角坐标系建立，旋转的坐标变换，割补法求面积
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，涵盖了坐标系建立、点的标注、旋转坐标变化、网格图形面积计算多个考点，侧重对基础规律和常用解题方法的考查，掌握相关基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
1. 建立平面直角坐标系：已知点A坐标为(2,1)，说明A在原点右侧2个单位、上方1个单位，因此原点O就是A点向左数2格、向下数1格的位置，确定原点后画出x轴（水平向右为正方向）和y轴（竖直向上为正方向）即可。
2. 标注点C：已知C(1,3)，横坐标为1即原点右侧1格，纵坐标为3即原点上方3格，找到对应格点标注即可。
3. 求旋转后点D的坐标：记住点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律：原坐标(x,y)旋转后变为(y,-x)，代入C点坐标即可求出D点坐标。
4. 求△ABC的面积：因为△ABC的边都不与网格线重合，采用分割法，将其拆分为两个易计算面积的小三角形，分别计算面积后求和即可。
【解析】
(1) 根据A(2,1)的坐标，在A点左侧2个单位、下方1个单位的位置确定原点O，画出水平的x轴（向右为正）和竖直的y轴（向上为正），完成坐标系建立。
(2) 在坐标系中找横坐标为1、纵坐标为3的格点，标注为点C。
(3) 点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律为$(x,y)\xrightarrow{\mathrm{顺时针旋转}90°}(y,-x)$，将C(1,3)代入得：$x_D=3$，$y_D=-1$，即D点坐标为(3,-1)，在坐标系中标出D点。
(4) 采用分割法计算面积：将△ABC分割为两个底长为3，高分别为1和2的小三角形，分别计算面积后相加：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×3×1+\frac{1}{2}×3×2=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}$
【答案】
10.(1)如图所示。
(2)如图,点C即为所求。
(3)如图,点D即为所求,$D(3,-1)$。
(4)$S_{△ ABC}=\frac{9}{2}$
【知识点】
平面直角坐标系建立，旋转的坐标变换，割补法求面积
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，涵盖了坐标系建立、点的标注、旋转坐标变化、网格图形面积计算多个考点，侧重对基础规律和常用解题方法的考查，掌握相关基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
