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1.某中学七年级(1)班去体育用品商店买一些篮球和排球,供班上同学进行体育锻炼时使用,共买了2个篮球和6个排球,花570元,并且每个排球比篮球便宜25元.
(1)求篮球和排球的单价各是多少.
(2)该商店搞活动,有两种套餐,①套餐打折:五个篮球和五个排球为一套餐,套餐打八折。②满减活动:满999减100,满1 999减200。两种活动可不重复参与。学校打算购买14个篮球,12个排球,请问如何购买更划算?
(1)求篮球和排球的单价各是多少.
(2)该商店搞活动,有两种套餐,①套餐打折:五个篮球和五个排球为一套餐,套餐打八折。②满减活动:满999减100,满1 999减200。两种活动可不重复参与。学校打算购买14个篮球,12个排球,请问如何购买更划算?
答案
解：
(1) 设篮球的单价为x元，则排球的单价为$(x-25)$元。
根据题意列方程：
$2x + 6(x - 25) = 570$
去括号，得：$2x + 6x - 150 = 570$
移项、合并同类项，得：$8x = 720$
系数化为1，得：$x = 90$
排球的单价为：$90 - 25 = 65$（元）
(2) 分别计算不同购买方案的总费用：
方案1：全部参与满减活动
原价总和为：
$14×90 + 12×65 = 1260 + 780 = 2040$（元）
$2040＞1999$，可享受满1999减200优惠，总费用为：
$2040 - 200 = 1840$（元）
方案2：购买1套套餐，剩余商品参与满减活动
1套套餐打八折后的费用为：
$5×(90 + 65)×0.8 = 620$（元）
剩余需购买篮球：$14 - 5 = 9$（个），剩余需购买排球：$12 - 5 = 7$（个）
剩余商品原价总和：$9×90 + 7×65 = 1265$（元）
$1265＞999$，可享受满999减100优惠，剩余部分费用为：$1265 - 100 = 1165$（元）
总费用为：$620 + 1165 = 1785$（元）
方案3：购买2套套餐，剩余商品按原价购买
2套套餐打八折后的总费用为：
$2×[5×(90 + 65)]×0.8 = 1240$（元）
剩余需购买篮球：$14 - 10 = 4$（个），剩余需购买排球：$12 - 10 = 2$（个）
剩余商品原价总和：$4×90 + 2×65 = 490$（元）
剩余商品不满足满减条件，无优惠，总费用为：$1240 + 490 = 1730$（元）
因为$1730 ＜ 1785 ＜ 1840$，所以方案3最划算。
答：(1) 篮球的单价是90元，排球的单价是65元；(2) 购买2套“5个篮球和5个排球”的打折套餐，再单独购买4个篮球和2个排球更划算。
(1) 设篮球的单价为x元，则排球的单价为$(x-25)$元。
根据题意列方程：
$2x + 6(x - 25) = 570$
去括号，得：$2x + 6x - 150 = 570$
移项、合并同类项，得：$8x = 720$
系数化为1，得：$x = 90$
排球的单价为：$90 - 25 = 65$（元）
(2) 分别计算不同购买方案的总费用：
方案1：全部参与满减活动
原价总和为：
$14×90 + 12×65 = 1260 + 780 = 2040$（元）
$2040＞1999$，可享受满1999减200优惠，总费用为：
$2040 - 200 = 1840$（元）
方案2：购买1套套餐，剩余商品参与满减活动
1套套餐打八折后的费用为：
$5×(90 + 65)×0.8 = 620$（元）
剩余需购买篮球：$14 - 5 = 9$（个），剩余需购买排球：$12 - 5 = 7$（个）
剩余商品原价总和：$9×90 + 7×65 = 1265$（元）
$1265＞999$，可享受满999减100优惠，剩余部分费用为：$1265 - 100 = 1165$（元）
总费用为：$620 + 1165 = 1785$（元）
方案3：购买2套套餐，剩余商品按原价购买
2套套餐打八折后的总费用为：
$2×[5×(90 + 65)]×0.8 = 1240$（元）
剩余需购买篮球：$14 - 10 = 4$（个），剩余需购买排球：$12 - 10 = 2$（个）
剩余商品原价总和：$4×90 + 2×65 = 490$（元）
剩余商品不满足满减条件，无优惠，总费用为：$1240 + 490 = 1730$（元）
因为$1730 ＜ 1785 ＜ 1840$，所以方案3最划算。
答：(1) 篮球的单价是90元，排球的单价是65元；(2) 购买2套“5个篮球和5个排球”的打折套餐，再单独购买4个篮球和2个排球更划算。
2.某市进行课程改革已经五年了,为了解学生对数学实验教材的喜欢程度,现对某中学初中学生进行了一次问卷调查,具体情况如下:
(1)已知该校七年级共有 480 人,求该校初中学生总人数;
(2)求该校八年级学生人数及对应扇形的圆心角度数;
(3)请补全统计表,并制作条形统计图来反映统计表中的内容.
(1)已知该校七年级共有 480 人,求该校初中学生总人数;
(2)求该校八年级学生人数及对应扇形的圆心角度数;
(3)请补全统计表,并制作条形统计图来反映统计表中的内容.
答案
解：
(1) 该校初中学生总人数为：
$480 ÷ 40\% = 1200$（人）
(2) 八年级学生人数占总人数的百分比为：
$1 - 40\% - 28\% = 32\%$
八年级学生人数为：
$1200 × 32\% = 384$（人）
对应扇形的圆心角度数为：
$360° × 32\% = 115.2°$
(3) 喜欢的人数为：
$1200 - 600 - 100 = 500$（人）
补全统计表后，“喜欢”对应的人数为500。
条形统计图绘制：横轴依次标注“非常喜欢”“喜欢”“不喜欢”，纵轴标注人数，分别绘制高度对应600、500、100的等宽直条，标注对应数值即可。
答：(1) 该校初中学生总人数为1200人；(2) 八年级学生人数为384人，对应扇形的圆心角度数为$115.2°$；(3) 统计表中喜欢的人数为500，条形统计图按上述要求绘制完成。
(1) 该校初中学生总人数为：
$480 ÷ 40\% = 1200$（人）
(2) 八年级学生人数占总人数的百分比为：
$1 - 40\% - 28\% = 32\%$
八年级学生人数为：
$1200 × 32\% = 384$（人）
对应扇形的圆心角度数为：
$360° × 32\% = 115.2°$
(3) 喜欢的人数为：
$1200 - 600 - 100 = 500$（人）
补全统计表后，“喜欢”对应的人数为500。
条形统计图绘制：横轴依次标注“非常喜欢”“喜欢”“不喜欢”，纵轴标注人数，分别绘制高度对应600、500、100的等宽直条，标注对应数值即可。
答：(1) 该校初中学生总人数为1200人；(2) 八年级学生人数为384人，对应扇形的圆心角度数为$115.2°$；(3) 统计表中喜欢的人数为500，条形统计图按上述要求绘制完成。
3.如图,在$△ ABC$中,点$D,F$在边$BC$上,点$E$在边$AB$上,点$G$在边$AC$上,$EF$与$GD$的延长线交于点$H$,$∠ 1=∠ B$,$∠ 2+∠ 3=180°$.
(1)判断$EH$与$AD$的位置关系,并说明理由.
(2)若$∠ DGC=58°$,且$∠ H=∠ 4+10°$,求$∠ H$的度数.
(1)判断$EH$与$AD$的位置关系,并说明理由.
(2)若$∠ DGC=58°$,且$∠ H=∠ 4+10°$,求$∠ H$的度数.
答案
解：(1) $EH// AD$，理由如下：
$\because ∠ 1=∠ B$，
$\therefore GD// AB$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ 2=∠ BAD$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠ 2+∠ 3=180°$，
$\therefore ∠ BAD+∠ 3=180°$，
$\therefore EH// AD$（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) $\because EH// AD$，
$\therefore ∠ H=∠ 2$（两直线平行，内错角相等），
$\because ∠ H=∠ 4+10°$，
$\therefore ∠ 2=∠ 4+10°$，
$\because ∠ DGC$是$△ ADG$的外角，$∠ DGC=58°$，
$\therefore ∠ DGC=∠ 4+∠ 2=58°$，
将$∠ 2=∠ 4+10°$代入得：
$∠ 4+∠ 4+10°=58°$，
解得$∠ 4=24°$，
$\therefore ∠ H=24°+10°=34°$。
答：$∠ H$的度数为$34°$。
$\because ∠ 1=∠ B$，
$\therefore GD// AB$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ 2=∠ BAD$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠ 2+∠ 3=180°$，
$\therefore ∠ BAD+∠ 3=180°$，
$\therefore EH// AD$（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) $\because EH// AD$，
$\therefore ∠ H=∠ 2$（两直线平行，内错角相等），
$\because ∠ H=∠ 4+10°$，
$\therefore ∠ 2=∠ 4+10°$，
$\because ∠ DGC$是$△ ADG$的外角，$∠ DGC=58°$，
$\therefore ∠ DGC=∠ 4+∠ 2=58°$，
将$∠ 2=∠ 4+10°$代入得：
$∠ 4+∠ 4+10°=58°$，
解得$∠ 4=24°$，
$\therefore ∠ H=24°+10°=34°$。
答：$∠ H$的度数为$34°$。
