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16. (★★★)【问题情境】利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法,此方法是我们解决几何问题的途径之一。
引例:$E$为平行四边形$ABCD$中$AD$边上一点,连接$BE$和$CE$,探究$△ BCE$和$□ ABCD$的面积关系。
小聪给出这样的解答:
如图①,分别过点$E,D$作$EF⊥ BC,DH⊥ BC$,垂足分别为$F,H$,则$∠ EFB=∠ BHD=90°$。
$\therefore EF// DH$。
在$□ ABCD$中,$AD// BC$,
$\therefore $四边形$EFHD$是平行四边形。
$\therefore EF=DH$。
又$\because S_{□ ABCD}=BC· DH,S_{△ BEC}=\frac{1}{2}BC· EF$,
$\therefore S_{△ BEC}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}$。
请运用上述引例中的结论和你所积累的等积法的经验和方法解决下列问题:
(1)回顾探究
如图②,在$□ ABCD$中,点$E,F$分别在$AD,CD$上,连接$AF,CE$相交于点$O$,且$AF=CE$,连接$BO$。求证:$OB$平分$∠ AOC$。
(2)探究延伸
如图③,在$□ ABCD$中,$AC$为对角线,$∠ BAD+∠ CAD=180°$,点$G$在$AD$边上,$GE⊥ DC,GF⊥ AC$,垂足分别为点$E,F$,连接$AE$,若$AD=6,AE=5,DE=\frac{11}{5}$,求$GF+GE$的值。
引例:$E$为平行四边形$ABCD$中$AD$边上一点,连接$BE$和$CE$,探究$△ BCE$和$□ ABCD$的面积关系。
小聪给出这样的解答:
如图①,分别过点$E,D$作$EF⊥ BC,DH⊥ BC$,垂足分别为$F,H$,则$∠ EFB=∠ BHD=90°$。
$\therefore EF// DH$。
在$□ ABCD$中,$AD// BC$,
$\therefore $四边形$EFHD$是平行四边形。
$\therefore EF=DH$。
又$\because S_{□ ABCD}=BC· DH,S_{△ BEC}=\frac{1}{2}BC· EF$,
$\therefore S_{△ BEC}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}$。
请运用上述引例中的结论和你所积累的等积法的经验和方法解决下列问题:
(1)回顾探究
如图②,在$□ ABCD$中,点$E,F$分别在$AD,CD$上,连接$AF,CE$相交于点$O$,且$AF=CE$,连接$BO$。求证:$OB$平分$∠ AOC$。
(2)探究延伸
如图③,在$□ ABCD$中,$AC$为对角线,$∠ BAD+∠ CAD=180°$,点$G$在$AD$边上,$GE⊥ DC,GF⊥ AC$,垂足分别为点$E,F$,连接$AE$,若$AD=6,AE=5,DE=\frac{11}{5}$,求$GF+GE$的值。
答案
$\boldsymbol{【参考答案】(1)如图,连接\boldsymbol{BE,BF},过点\boldsymbol{B}作\boldsymbol{BG⊥ AF}于点\boldsymbol{G},\boldsymbol{BH⊥ CE}于点\boldsymbol{H}。}$
$\boldsymbol{\because 四边形\boldsymbol{ABCD}是平行四边形,}$
$\boldsymbol{\therefore S_{△ ABF}=\frac{1}{2}S_{□ABCD},S_{△ BCE}=\frac{1}{2}S_{□ABCD}。}$
$\boldsymbol{\therefore S_{△ ABF}=S_{△ BCE}。}$
$\boldsymbol{\because S_{△ ABF}=\frac{1}{2}AF· BG,S_{△ BCE}=\frac{1}{2}CE· BH,}$
$\boldsymbol{\therefore \frac{1}{2}AF· BG=\frac{1}{2}CE· BH,即\boldsymbol{AF· BG=CE· BH}。}$
$\boldsymbol{\because AF=CE,\therefore BG=BH。}$
$\boldsymbol{\because BG⊥ AF,BH⊥ CE,}$
$\boldsymbol{\therefore BO}平分\boldsymbol{∠AOC}。$
$\boldsymbol{(2)如图,过点\boldsymbol{A}作\boldsymbol{AH⊥ CD}于点\boldsymbol{H},连接\boldsymbol{CG}。}$
$\boldsymbol{\because AD^{2}=DH^{2}+AH^{2},AE^{2}=AH^{2}+EH^{2},}$
$\boldsymbol{\therefore AH^{2}=AD^{2}-(DE+EH)^{2}=AE^{2}-EH^{2}。}$
$\boldsymbol{\therefore 36-(\frac{11}{5}+EH)^{2}=25-EH^{2}。}$
$\boldsymbol{\therefore EH=\frac{7}{5}。}$
$\boldsymbol{\therefore AH=\sqrt{AE^{2}-EH^{2}}=\sqrt{25-\frac{49}{25}}=\frac{24}{5}。}$
$\boldsymbol{\because ∠BAD+∠CAD=180°,∠BAD+∠ADC=180°,}$
$\boldsymbol{\therefore ∠ADC=∠CAD。\therefore AC=CD。}$
$\boldsymbol{\because S_{△ ACD}=\frac{1}{2}CD· AH=\frac{1}{2}× AC· FG+\frac{1}{2}× CD· GE,}$
$\boldsymbol{\therefore GE+GF=AH=\frac{24}{5}。}$
$\boldsymbol{\because 四边形\boldsymbol{ABCD}是平行四边形,}$
$\boldsymbol{\therefore S_{△ ABF}=\frac{1}{2}S_{□ABCD},S_{△ BCE}=\frac{1}{2}S_{□ABCD}。}$
$\boldsymbol{\therefore S_{△ ABF}=S_{△ BCE}。}$
$\boldsymbol{\because S_{△ ABF}=\frac{1}{2}AF· BG,S_{△ BCE}=\frac{1}{2}CE· BH,}$
$\boldsymbol{\therefore \frac{1}{2}AF· BG=\frac{1}{2}CE· BH,即\boldsymbol{AF· BG=CE· BH}。}$
$\boldsymbol{\because AF=CE,\therefore BG=BH。}$
$\boldsymbol{\because BG⊥ AF,BH⊥ CE,}$
$\boldsymbol{\therefore BO}平分\boldsymbol{∠AOC}。$
$\boldsymbol{(2)如图,过点\boldsymbol{A}作\boldsymbol{AH⊥ CD}于点\boldsymbol{H},连接\boldsymbol{CG}。}$
$\boldsymbol{\because AD^{2}=DH^{2}+AH^{2},AE^{2}=AH^{2}+EH^{2},}$
$\boldsymbol{\therefore AH^{2}=AD^{2}-(DE+EH)^{2}=AE^{2}-EH^{2}。}$
$\boldsymbol{\therefore 36-(\frac{11}{5}+EH)^{2}=25-EH^{2}。}$
$\boldsymbol{\therefore EH=\frac{7}{5}。}$
$\boldsymbol{\therefore AH=\sqrt{AE^{2}-EH^{2}}=\sqrt{25-\frac{49}{25}}=\frac{24}{5}。}$
$\boldsymbol{\because ∠BAD+∠CAD=180°,∠BAD+∠ADC=180°,}$
$\boldsymbol{\therefore ∠ADC=∠CAD。\therefore AC=CD。}$
$\boldsymbol{\because S_{△ ACD}=\frac{1}{2}CD· AH=\frac{1}{2}× AC· FG+\frac{1}{2}× CD· GE,}$
$\boldsymbol{\therefore GE+GF=AH=\frac{24}{5}。}$
