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8 一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的2倍多1，将个位上、十位上的数字交换位置，得到一个新两位数.若新两位数比原两位数的2倍少1，则原两位数为
37
.答案
8. 37
【解析】设原两位数的十位上的数字为$x$,则个位上的数字为 $2x+1$. 所以原两位数为 $10x+2x+1$,新两位数为$10(2x+1)+x$. 根据题意,得 $10(2x+1)+x=2(10x+2x+1)-1$. 解这个方程,得 $x=3$. 所以原两位数为 $10x+2x+1=37$.
【解析】设原两位数的十位上的数字为$x$,则个位上的数字为 $2x+1$. 所以原两位数为 $10x+2x+1$,新两位数为$10(2x+1)+x$. 根据题意,得 $10(2x+1)+x=2(10x+2x+1)-1$. 解这个方程,得 $x=3$. 所以原两位数为 $10x+2x+1=37$.
解析
【分析】
这是一道数字类的一元一次方程应用题，解题首先要明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10 + 个位数字。我们可以先设原两位数的十位数字为未知数x，根据“个位上的数字比十位上的数字的2倍多1”，用含x的式子表示出个位数字，再分别写出原两位数和交换数位后的新两位数的表达式。最后根据“新两位数比原两位数的2倍少1”的等量关系列方程求解，得到十位数字后即可算出原两位数，注意数位上的数字需符合0~9的取值要求，十位数字不能为0。
【解析】
设原两位数的十位上的数字为$x$，则个位上的数字为$2x+1$。
原两位数可表示为：$10x + 2x + 1 = 12x + 1$
交换位置后的新两位数可表示为：$10(2x+1) + x = 21x + 10$
根据题意列方程：
$21x + 10 = 2(12x + 1) - 1$
去括号得：$21x + 10 = 24x + 2 - 1$
移项、合并同类项得：$-3x = -9$
系数化为1得：$x = 3$
将$x=3$代入原两位数表达式，得$10×3 + 2×3 + 1 = 37$。
【答案】
37
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 两位数的表示方法
【点评】
本题是基础的列方程解应用题，解题关键是掌握两位数的表示规则，准确提取题目中的等量关系列方程，同时要注意数位数字的取值范围，保证结果符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是一道数字类的一元一次方程应用题，解题首先要明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10 + 个位数字。我们可以先设原两位数的十位数字为未知数x，根据“个位上的数字比十位上的数字的2倍多1”，用含x的式子表示出个位数字，再分别写出原两位数和交换数位后的新两位数的表达式。最后根据“新两位数比原两位数的2倍少1”的等量关系列方程求解，得到十位数字后即可算出原两位数，注意数位上的数字需符合0~9的取值要求，十位数字不能为0。
【解析】
设原两位数的十位上的数字为$x$，则个位上的数字为$2x+1$。
原两位数可表示为：$10x + 2x + 1 = 12x + 1$
交换位置后的新两位数可表示为：$10(2x+1) + x = 21x + 10$
根据题意列方程：
$21x + 10 = 2(12x + 1) - 1$
去括号得：$21x + 10 = 24x + 2 - 1$
移项、合并同类项得：$-3x = -9$
系数化为1得：$x = 3$
将$x=3$代入原两位数表达式，得$10×3 + 2×3 + 1 = 37$。
【答案】
37
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 两位数的表示方法
【点评】
本题是基础的列方程解应用题，解题关键是掌握两位数的表示规则，准确提取题目中的等量关系列方程，同时要注意数位数字的取值范围，保证结果符合实际意义。
【难度系数】
0.7
9 学校组织学生乘汽车去神居山保护区研学.行驶的路段分为平路和坡路两段,其中坡路的长度是平路的2倍.已知汽车在平路上行驶的速度为90 km/h,在坡路上行驶的速度为60 km/h,汽车从学校到神居山保护区一共行驶了2 h,求汽车在坡路上行驶的时间.
小明和小芳分别列出了下面两个不完整的方程:
小明:$60x=2×90$(
(1)小明所设未知数$x$表示
(2)请你选择其中一种方法求出该汽车在坡路上行驶的时间.
小明和小芳分别列出了下面两个不完整的方程:
小明:$60x=2×90$(
2-x
);小芳:$\frac {y}{90}+\frac {( )}{60}=2.$(1)小明所设未知数$x$表示
汽车在坡路上行驶的时间
,小芳所设未知数$y$表示平路的路程
;(2)请你选择其中一种方法求出该汽车在坡路上行驶的时间.
答案
9. (1) 汽车在坡路上行驶的时间 平路的路程 (2) 小明的方法:设汽车在坡路上行驶的时间为 $x$ h,则汽车在平路上行驶的时间为$(2-x)$h. 根据题意,得 $60x=2× 90(2-x)$,解得 $x=1.5$. 答:该汽车在坡路上行驶的时间为 1.5 h(或小芳的方法:设平路的路程是 $y$ km,则坡路的路程是 $2y$ km. 根据题意,得$\dfrac{y}{90}+\dfrac{2y}{60}=2$,解得 $y=45$. 所以$\dfrac{2y}{60}=\dfrac{2× 45}{60}=1.5$. 答:该汽车在坡路上行驶的时间为 1.5 h)
解析
【分析】
(1) 分析小明的方程：左边$60x$是坡路速度乘对应时间，代表坡路路程，结合题意坡路长度是平路的2倍，可知右边“$2×90( )$”中$90$乘括号内容是平路路程，$90$是平路速度，因此括号内为平路行驶时间，总行驶时间为2h，平路时间为$(2-x)$，可得$x$是汽车在坡路上行驶的时间。分析小芳的方程：等号右边是总行驶时间2h，左边两项分别是平路、坡路的行驶时间，第一项$\frac{y}{90}$是平路路程除以平路速度，即平路行驶时间，因此$y$是平路的路程，坡路路程是平路的2倍，所以第二个括号填$2y$。
(2) 若选小明的方法，补全方程后解一元一次方程即可直接得到坡路行驶时间；若选小芳的方法，补全方程解出平路路程后，再根据“时间=路程÷速度”计算坡路行驶时间即可。
【解析】
(1) 由上述推导可知小明、小芳所设未知数的含义；
(2) 方法一（小明的方法）：
设汽车在坡路上行驶的时间为$x$ h，则平路行驶的时间为$(2-x)$ h。
根据坡路长度是平路的2倍，列方程：
$60x=2×90(2-x)$
展开得：$60x=360-180x$
移项合并同类项得：$240x=360$
系数化为1得：$x=1.5$
方法二（小芳的方法）：
设平路的路程为$y$ km，则坡路的路程为$2y$ km。
根据总行驶时间为2h，列方程：
$\frac{y}{90}+\frac{2y}{60}=2$
化简得：$\frac{y}{90}+\frac{y}{30}=2$
通分计算得：$4y=180$，解得$y=45$
坡路行驶时间为$\frac{2×45}{60}=1.5$ (h)
【答案】
(1) 汽车在坡路上行驶的时间；平路的路程
(2) 该汽车在坡路上行驶的时间为1.5 h
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 行程问题公式
3. 列方程解应用题
【点评】
本题是行程类一元一次方程应用的基础题型，通过两种不同设元角度考察学生对路程、速度、时间三者关系的掌握，以及提取等量关系列方程求解的能力，有助于学生理解不同设元方式的解题逻辑。
【难度系数】
0.7
(1) 分析小明的方程：左边$60x$是坡路速度乘对应时间，代表坡路路程，结合题意坡路长度是平路的2倍，可知右边“$2×90( )$”中$90$乘括号内容是平路路程，$90$是平路速度，因此括号内为平路行驶时间，总行驶时间为2h，平路时间为$(2-x)$，可得$x$是汽车在坡路上行驶的时间。分析小芳的方程：等号右边是总行驶时间2h，左边两项分别是平路、坡路的行驶时间，第一项$\frac{y}{90}$是平路路程除以平路速度，即平路行驶时间，因此$y$是平路的路程，坡路路程是平路的2倍，所以第二个括号填$2y$。
(2) 若选小明的方法，补全方程后解一元一次方程即可直接得到坡路行驶时间；若选小芳的方法，补全方程解出平路路程后，再根据“时间=路程÷速度”计算坡路行驶时间即可。
【解析】
(1) 由上述推导可知小明、小芳所设未知数的含义；
(2) 方法一（小明的方法）：
设汽车在坡路上行驶的时间为$x$ h，则平路行驶的时间为$(2-x)$ h。
根据坡路长度是平路的2倍，列方程：
$60x=2×90(2-x)$
展开得：$60x=360-180x$
移项合并同类项得：$240x=360$
系数化为1得：$x=1.5$
方法二（小芳的方法）：
设平路的路程为$y$ km，则坡路的路程为$2y$ km。
根据总行驶时间为2h，列方程：
$\frac{y}{90}+\frac{2y}{60}=2$
化简得：$\frac{y}{90}+\frac{y}{30}=2$
通分计算得：$4y=180$，解得$y=45$
坡路行驶时间为$\frac{2×45}{60}=1.5$ (h)
【答案】
(1) 汽车在坡路上行驶的时间；平路的路程
(2) 该汽车在坡路上行驶的时间为1.5 h
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 行程问题公式
3. 列方程解应用题
【点评】
本题是行程类一元一次方程应用的基础题型，通过两种不同设元角度考察学生对路程、速度、时间三者关系的掌握，以及提取等量关系列方程求解的能力，有助于学生理解不同设元方式的解题逻辑。
【难度系数】
0.7
10 甲、乙两个旅行团同时去苏州旅游.已知乙团人数比甲团人数多 4,两团人数之和恰等于两团人数之差的 18 倍.
（1）问:甲、乙两个旅行团的人数各是多少?
（2）若乙团中儿童人数恰好比甲团中儿童人数的 3 倍少 2,某景点成人票价为每张 100 元,儿童票价是成人票价的 6 折,两个旅行团在此景点所花费的门票费用相同,求甲、乙两个旅行团中儿童的人数.
（1）问:甲、乙两个旅行团的人数各是多少?
（2）若乙团中儿童人数恰好比甲团中儿童人数的 3 倍少 2,某景点成人票价为每张 100 元,儿童票价是成人票价的 6 折,两个旅行团在此景点所花费的门票费用相同,求甲、乙两个旅行团中儿童的人数.
答案
10. (1) 设甲旅行团的人数为$x$,则乙旅行团的人数为 $x+4$. 由题意,得 $x+x+4=4× 18$,解得 $x=34$. 所以 $x+4=38$. 答:甲旅行团的人数为 34,乙旅行团的人数为 38 (2) 设甲团中儿童的人数为$m$,则乙团中儿童的人数为 $3m-2$. 所以甲团中成人有$(34-m)$人,乙团中成人有$(38-3m+2)$人. 根据题意,得$100(34-m)+m× 100× 60\%=100(38-3m+2)+(3m-2)× 100× 60\%$,解得 $m=6$. 所以 $3m-2=16$. 答:甲旅行团中儿童的人数为 6,乙旅行团中儿童的人数为 16
解析
【分析】
（1）第一问的核心等量关系为：两团人数之和=两团人数之差×18。已知乙团比甲团多4人，因此两团人数差固定为4，人数和即可算出为4×18=72。设甲团人数为x，乙团人数即可表示为x+4，根据人数和的等量关系列方程求解即可。
（2）第二问的核心等量关系为：甲团总门票费用=乙团总门票费用。首先儿童票价为成人票价的6折，即60元/张。设甲团儿童人数为m，则乙团儿童人数为3m-2，分别用两团总人数减去对应儿童人数得到成人人数，再根据“总费用=成人总票价+儿童总票价”表示两团总费用，列方程求解即可。
【解析】
（1）设甲旅行团的人数为$x$，则乙旅行团的人数为$x+4$。
根据题意列方程：
$x+x+4=4×18$
化简得$2x+4=72$，解得$x=34$
则乙团人数为$x+4=34+4=38$
（2）儿童票价为$100×60\%=60$元/张，设甲团中儿童的人数为$m$，则乙团中儿童的人数为$3m-2$，甲团成人有$(34-m)$人，乙团成人有$38-(3m-2)=40-3m$人。
根据两团门票费用相同列方程：
$100(34-m)+60m=100(40-3m)+60(3m-2)$
展开合并同类项得$3400-40m=3880-120m$
移项计算得$80m=480$，解得$m=6$
则乙团儿童人数为$3m-2=3×6-2=16$
【答案】
(1) 甲旅行团的人数为34，乙旅行团的人数为38；
(2) 甲旅行团中儿童的人数为6，乙旅行团中儿童的人数为16
【知识点】
一元一次方程应用，打折计算，列方程解应用题
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的常规题型，解题关键是准确提取题干中的等量关系，按照“设、列、解、答”的规范步骤求解即可，第二问需要注意准确表示两团的成人人数，避免计算时出现符号错误。
【难度系数】
0.7
（1）第一问的核心等量关系为：两团人数之和=两团人数之差×18。已知乙团比甲团多4人，因此两团人数差固定为4，人数和即可算出为4×18=72。设甲团人数为x，乙团人数即可表示为x+4，根据人数和的等量关系列方程求解即可。
（2）第二问的核心等量关系为：甲团总门票费用=乙团总门票费用。首先儿童票价为成人票价的6折，即60元/张。设甲团儿童人数为m，则乙团儿童人数为3m-2，分别用两团总人数减去对应儿童人数得到成人人数，再根据“总费用=成人总票价+儿童总票价”表示两团总费用，列方程求解即可。
【解析】
（1）设甲旅行团的人数为$x$，则乙旅行团的人数为$x+4$。
根据题意列方程：
$x+x+4=4×18$
化简得$2x+4=72$，解得$x=34$
则乙团人数为$x+4=34+4=38$
（2）儿童票价为$100×60\%=60$元/张，设甲团中儿童的人数为$m$，则乙团中儿童的人数为$3m-2$，甲团成人有$(34-m)$人，乙团成人有$38-(3m-2)=40-3m$人。
根据两团门票费用相同列方程：
$100(34-m)+60m=100(40-3m)+60(3m-2)$
展开合并同类项得$3400-40m=3880-120m$
移项计算得$80m=480$，解得$m=6$
则乙团儿童人数为$3m-2=3×6-2=16$
【答案】
(1) 甲旅行团的人数为34，乙旅行团的人数为38；
(2) 甲旅行团中儿童的人数为6，乙旅行团中儿童的人数为16
【知识点】
一元一次方程应用，打折计算，列方程解应用题
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的常规题型，解题关键是准确提取题干中的等量关系，按照“设、列、解、答”的规范步骤求解即可，第二问需要注意准确表示两团的成人人数，避免计算时出现符号错误。
【难度系数】
0.7
11 新情境 科技创新 [2024 济南]近年来，光伏建筑一体化广受关注. 某社区拟修建 A，B 两种光伏车棚. 已知修建 2 个 A 种光伏车棚和 1 个 B 种光伏车棚共需投资 8 万元，修建 5 个 A 种光伏车棚和 3 个 B 种光伏车棚共需投资 21 万元. 修建 A，B 两种光伏车棚每个分别需投资多少万元？
答案
11. 设修建 A 种光伏车棚每个需投资 $x$ 万元,则修建 B 种光伏车棚每个需投资$(8-2x)$万元. 根据题意,得 $5x+3(8-2x)=21$,解得 $x=3$,此时 $8-2x=2$. 答:修建 A 种光伏车棚每个需投资 3 万元,修建 B 种光伏车棚每个需投资 2 万元
解析
【分析】
本题是利用一元一次方程解决的实际应用问题，解题首先要提取题目中的两个等量关系：①修建2个A种车棚的费用+修建1个B种车棚的费用=8万元；②修建5个A种车棚的费用+修建3个B种车棚的费用=21万元。我们可以先设A种车棚每个投资x万元，借助第一个等量关系，用含x的式子表示出B种车棚的单投资额，再代入第二个等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设修建A种光伏车棚每个需投资$x$万元，则根据第一个等量关系，修建B种光伏车棚每个需投资$(8-2x)$万元。
根据第二个等量关系列方程得：
$5x+3(8-2x)=21$
展开括号得：$5x+24-6x=21$
合并同类项得：$-x+24=21$
移项计算得：$x=3$
将$x=3$代入$8-2x$，得B种车棚每个投资额为$8-2×3=2$（万元）
答：修建A种光伏车棚每个需投资3万元，修建B种光伏车棚每个需投资2万元。
【答案】
修建A种光伏车棚每个需投资3万元，修建B种光伏车棚每个需投资2万元。
【知识点】
一元一次方程的应用；列方程解实际问题
【点评】
本题结合光伏建筑一体化的新情境命题，贴近生活实际，核心考查学生从实际问题中提取有效信息、找准等量关系、建立方程求解的能力，是方程应用类的基础题型，解题的关键是理清两个投资条件对应的等量关系。
【难度系数】
0.8
本题是利用一元一次方程解决的实际应用问题，解题首先要提取题目中的两个等量关系：①修建2个A种车棚的费用+修建1个B种车棚的费用=8万元；②修建5个A种车棚的费用+修建3个B种车棚的费用=21万元。我们可以先设A种车棚每个投资x万元，借助第一个等量关系，用含x的式子表示出B种车棚的单投资额，再代入第二个等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设修建A种光伏车棚每个需投资$x$万元，则根据第一个等量关系，修建B种光伏车棚每个需投资$(8-2x)$万元。
根据第二个等量关系列方程得：
$5x+3(8-2x)=21$
展开括号得：$5x+24-6x=21$
合并同类项得：$-x+24=21$
移项计算得：$x=3$
将$x=3$代入$8-2x$，得B种车棚每个投资额为$8-2×3=2$（万元）
答：修建A种光伏车棚每个需投资3万元，修建B种光伏车棚每个需投资2万元。
【答案】
修建A种光伏车棚每个需投资3万元，修建B种光伏车棚每个需投资2万元。
【知识点】
一元一次方程的应用；列方程解实际问题
【点评】
本题结合光伏建筑一体化的新情境命题，贴近生活实际，核心考查学生从实际问题中提取有效信息、找准等量关系、建立方程求解的能力，是方程应用类的基础题型，解题的关键是理清两个投资条件对应的等量关系。
【难度系数】
0.8
