【知识点1】完全平方式
◎两个多项式是两个数的加上或减去这两个数的，这恰是两个数的和或差的平方，我们把$a^2+2ab+b^2$和$a^2-2ab+b^2$这样的式子叫作。
填空：
(1) 若$x^2+kx+4$是完全平方式，则k=；
(2) 若$x^2-18xy+m$是完全平方式，则m=；
(3) 若$x^2-14x+m^2$是完全平方式，则m=；
(4) 若$9x^2+6xy+m$是完全平方式，则m=。

平方和 积的2倍 完全平方式
(1) ±4
(2) $81y^2$
(3) ±7
(4) $y^2$

【分析】
解决本题首先要明确完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，即两个数的平方和加/减这两个数乘积的2倍。求解未知参数时，先确定式子中对应的“a”和“b”，再对照公式结构计算，注意完全平方式包含和的平方、差的平方两种形式，涉及一次项系数、平方项参数时不要遗漏正负情况。
【解析】
首先根据完全平方式的定义填概念空：两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，这样的式子叫作完全平方式。
接下来逐个计算小问：
(1) 对于$x^2+kx+4$，$x^2$对应$a^2$即$a=x$，$4=2^2$对应$b^2$即$b=\pm2$，则中间项$kx=\pm2ab=\pm2· x·2=\pm4x$，因此$k=\pm4$。
(2) 对于$x^2-18xy+m$，$x^2$对应$a^2$即$a=x$，中间项$-18xy=-2· x·9y$，对应公式中$-2ab$，因此$b=9y$，则第三项$m=b^2=(9y)^2=81y^2$。
(3) 对于$x^2-14x+m^2$，$x^2$对应$a^2$即$a=x$，中间项$-14x=-2· x·7$，对应公式中$-2ab$，因此$b^2=7^2=49$，由题意得$m^2=49$，解得$m=\pm7$。
(4) 对于$9x^2+6xy+m$，$9x^2=(3x)^2$对应$a^2$即$a=3x$，中间项$6xy=2·3x· y$，对应公式中$2ab$，因此$b=y$，则第三项$m=b^2=y^2$。
【答案】
平方和 积的2倍 完全平方式
(1) $\pm4$
(2) $81y^2$
(3) $\pm7$
(4) $y^2$
【知识点】
完全平方式，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题核心考查完全平方式的结构特征，解题的关键是准确识别公式中对应的两个平方项，要注意完全平方式有两种形式，避免因忽略符号导致漏解。
【难度系数】
0.7

○两个数的加上（或减去）这两个数的，等于两个数的和（或差）的。

平方和 积的2倍 平方

【分析】
解题时可先回忆完全平方公式的结构：我们学过的完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，将公式从右向左表述即可对应题干的描述：右侧$a^2+b^2$是两个数的平方和，中间的$\pm2ab$是加或减两个数积的2倍，左侧就是两个数和或差的平方，据此就能填出对应空缺。
【解析】
根据完全平方公式：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
逆向表述公式可得：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于两个数的和（或差）的平方。
因此三个空缺依次填入对应内容即可。
【答案】
平方和；积的2倍；平方
【知识点】
1.完全平方公式
2.公式法分解因式
【点评】
本题考查完全平方公式的结构特征，是运用公式法分解因式的基础内容，需要熟练掌握完全平方公式的正、逆向表述，注意区分和、差完全平方的符号特点，牢记公式中“积的2倍”这一核心特征，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8

1. 下列多项式能用完全平方公式分解因式的有（）

A.$m^2 - mn + n^2$
B.$x^2 + 4x - 4$
C.$x^2 - 4x + 4$
D.$4x^2 - 4x + 4$

1. C

【分析】
要判断多项式能否用完全平方公式分解因式，首先要明确完全平方公式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的多项式，可分解为$(a\pm b)^2$，通俗来说就是“首平方，尾平方，首尾乘积的2倍在中央”。解题时我们只需逐一核对每个选项是否满足该结构特征即可。
【解析】
完全平方公式的结构为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，需同时满足三个条件：①有两个符号相同的平方项；②有一个交叉项；③交叉项是两个平方项底数乘积的2倍。
对各选项逐一分析：
A选项：$m^2 - mn + n^2$，平方项为$m^2$和$n^2$，两底数乘积的2倍为$2mn$，但中间项是$-mn$，不符合“首尾2倍”的要求，不能用完全平方公式分解；
B选项：$x^2 + 4x - 4$，两个平方项为$x^2$和$-4$，符号相反，不符合平方项同号的要求，不能用完全平方公式分解；
C选项：$x^2 - 4x + 4$，平方项为$x^2$和$2^2$，中间项为$-2× x×2=-4x$，完全符合完全平方公式结构，可分解为$(x-2)^2$，满足要求；
D选项：$4x^2 - 4x + 4$，平方项为$(2x)^2$和$2^2$，两底数乘积的2倍为$2×2x×2=8x$，但中间项是$-4x$，不符合“首尾2倍”的要求，不能用完全平方公式分解。
综上，符合要求的只有C选项。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，因式分解
【点评】
本题主要考查对完全平方公式结构特征的理解，解题的核心是熟记公式的结构特点，逐一核对三个构成要素即可快速判断，解题时要注意不要忽略平方项的符号和中间项的倍数关系。
【难度系数】
0.8

2. 因式分解：
(1) $x^2 + 8x + 16$；
(2) $25a^2 - 10a + 1$；
(3) $-4x^2 + 12xy - 9y^2$；
(4) $(x+y)^2 - 6(x+y) + 9$。

(1) $(x+4)^2$
(2) $(5a-1)^2$
(3) $-(2x-3y)^2$
(4) $(x+y-3)^2$

【分析】
这组因式分解题均考查完全平方公式的应用，解题思路如下：1. 牢记完全平方公式的结构特征：两个数的平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，即$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$；2. 逐个分析多项式的项数和各项特征，确定公式中对应的$a$和$b$：若首项系数为负，先提取负号转化为符合公式的形式；若出现相同的整式块，用整体思想将其看作一个整体代入公式计算即可。
【解析】
(1) 观察多项式$x^2+8x+16$，$x^2=x^2$，$16=4^2$，$8x=2× x×4$，符合完全平方和公式，其中$a=x$，$b=4$，因此：
$x^2 + 8x + 16=(x+4)^2$
(2) 观察多项式$25a^2-10a+1$，$25a^2=(5a)^2$，$1=1^2$，$-10a=-2×5a×1$，符合完全平方差公式，其中$a=5a$，$b=1$，因此：
$25a^2 - 10a + 1=(5a-1)^2$
(3) 观察多项式$-4x^2+12xy-9y^2$，首项为负，先提取负号得：原式$=-(4x^2-12xy+9y^2)$，括号内$4x^2=(2x)^2$，$9y^2=(3y)^2$，$12xy=2×2x×3y$，符合完全平方差公式，其中$a=2x$，$b=3y$，因此：
$-4x^2 + 12xy - 9y^2=-(2x-3y)^2$
(4) 观察多项式$(x+y)^2 - 6(x+y) + 9$，将$x+y$看作一个整体$A$，则原式转化为$A^2-6A+9$，其中$9=3^2$，$6A=2× A×3$，符合完全平方差公式，因此：
$(x+y)^2 - 6(x+y) + 9=(x+y-3)^2$
【答案】
(1) $(x+4)^2$
(2) $(5a-1)^2$
(3) $-(2x-3y)^2$
(4) $(x+y-3)^2$
【知识点】
完全平方公式因式分解；整体思想；提公因式法
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，解题时需先观察多项式的形式，灵活处理负号、整体类的特殊情况，确保因式分解的结果正确且彻底。
【难度系数】
0.75