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7. (2026 山东)如图,直线 $a // b$,直线 $c$ 分别交 $a,b$ 于点 $A,B$. 以点 $A$ 为圆心,以适当长为半径作弧,分别交 $a,c$ 于点 $M,N$;再分别以点 $M,N$ 为圆心,以大于 $MN$ 的长为半径作弧,两弧在 $∠ MAN$ 的内部交于点 $C$;作射线 $AC$ 交 $b$ 于点 $D$. 若 $∠ ABD=54°$,则 $∠ ADB$ 的度数是 ( )
A.$36°$
B.$54°$
C.$63°$
D.$72°$
A.$36°$
B.$54°$
C.$63°$
D.$72°$
答案
C
8. 如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$为边$AC$上两点，连接$BD$，$BE$，$DF ⊥ BE$于点$F$。若$∠ A=90°$，$AD=DF$，$∠ DBF=25°$，则$∠ BEC$的度数为（
A.$115°$
B.$120°$
C.$125°$
D.$140°$
D
）A.$115°$
B.$120°$
C.$125°$
D.$140°$
答案
8. D
9.如图，P是$△ ABC$内一点，点P到$△ ABC$三边AB，AC，BC的距离$PD=PE=PF$，$∠ BPC=140°$，则$∠ BAC$的度数为（
A.$120°$
B.$80°$
C.$100°$
D.$70°$
C
）A.$120°$
B.$80°$
C.$100°$
D.$70°$
答案
9. C
10.如图①，AP平分$∠ BAC$，$PD⊥ AB$，$PE⊥ AC$，垂足分别为$D$，$E$.
(1)求证:$AD=AE$;
(2)在图①的条件下，如图②，点$M$，$N$分别在$AB$，$AC$上，且$PM=PN$，$AM=5$，$AN=3$，求$AD$的长.
(1)求证:$AD=AE$;
(2)在图①的条件下，如图②，点$M$，$N$分别在$AB$，$AC$上，且$PM=PN$，$AM=5$，$AN=3$，求$AD$的长.
答案
10. (1)证明:$\because AP$平分$∠BAC,PD⊥AB,PE⊥AC,$
$\therefore PD=PE.$
在$\mathrm{Rt}△ APD$和$\mathrm{Rt}△ APE$中,
$\begin{cases}AP=AP,\\PD=PE,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ APD≌\mathrm{Rt}△ APE(\mathrm{HL}),$
$\therefore AD=AE.$
(2)解:由(1)得$PE=PD,AD=AE.$
在$\mathrm{Rt}△ PEN$和$\mathrm{Rt}△ PDM$中,
$\begin{cases}PN=PM,\\PE=PD,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ PEN≌\mathrm{Rt}△ PDM(\mathrm{HL}),$
$\therefore NE=MD,$
$\therefore AD=AE=AN+NE=AN+MD.$
$\because AM=AD+MD=5,$
$\therefore AN+MD+MD=5.$
$\because AN=3,\therefore MD=1,$
$\therefore AD=AM-MD=5-1=4.$
$\therefore PD=PE.$
在$\mathrm{Rt}△ APD$和$\mathrm{Rt}△ APE$中,
$\begin{cases}AP=AP,\\PD=PE,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ APD≌\mathrm{Rt}△ APE(\mathrm{HL}),$
$\therefore AD=AE.$
(2)解:由(1)得$PE=PD,AD=AE.$
在$\mathrm{Rt}△ PEN$和$\mathrm{Rt}△ PDM$中,
$\begin{cases}PN=PM,\\PE=PD,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ PEN≌\mathrm{Rt}△ PDM(\mathrm{HL}),$
$\therefore NE=MD,$
$\therefore AD=AE=AN+NE=AN+MD.$
$\because AM=AD+MD=5,$
$\therefore AN+MD+MD=5.$
$\because AN=3,\therefore MD=1,$
$\therefore AD=AM-MD=5-1=4.$
11.在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足$∠ BDA=∠ AEC=∠ BAC=α$.
(1)如图①，当$α=90°$时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是
(2)如图②，当$0＜α＜180°$时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.
(3)如图③，在$△ ABC$中，$∠ BAC$是钝角，直线m与CB的延长线交于点F，若$BC=3FB$，$△ ABC$的面积是12，求$△ FBD$与$△ ACE$的面积之和.
(1)如图①，当$α=90°$时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是
DE=BD+CE
.(2)如图②，当$0＜α＜180°$时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.
(3)如图③，在$△ ABC$中，$∠ BAC$是钝角，直线m与CB的延长线交于点F，若$BC=3FB$，$△ ABC$的面积是12，求$△ FBD$与$△ ACE$的面积之和.
答案
11. 解:(1)$DE=BD+CE$
(2)$DE=BD+CE$仍然成立.证明如下:
$\because ∠BDA=∠BAC=∠AEC=α,$
$\therefore ∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-α,$
$\therefore ∠DBA=∠EAC.$
$\because AB=AC,\therefore △ DBA≌△ EAC(\mathrm{AAS}),$
$\therefore BD=AE,AD=CE,$
$\therefore DE=AE+AD=BD+CE.$
(3)$\because ∠BAD＜∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC,$
同(2)可得$∠CAE=∠ABD.$
在$△ ABD$和$△ CAE$中,
$\begin{cases}∠ABD=∠CAE,\\∠BDA=∠AEC,\\AB=AC,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CAE(\mathrm{AAS}),$
$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ CAE}.$
设$△ ABC$的底边$BC$上的高为$h$,则$△ ABF$的底边$BF$上的高也为$h$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· h=12,S_{△ ABF}=\frac{1}{2}BF· h.$
$\because BC=3BF,\therefore S_{△ ABF}=4.$
$\because S_{△ ABF}=S_{△ BDF}+S_{△ ABD}=S_{△ FBD}+S_{△ ACE}=4,$
$\therefore △ FBD$与$△ ACE$的面积之和为4.
(2)$DE=BD+CE$仍然成立.证明如下:
$\because ∠BDA=∠BAC=∠AEC=α,$
$\therefore ∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-α,$
$\therefore ∠DBA=∠EAC.$
$\because AB=AC,\therefore △ DBA≌△ EAC(\mathrm{AAS}),$
$\therefore BD=AE,AD=CE,$
$\therefore DE=AE+AD=BD+CE.$
(3)$\because ∠BAD＜∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC,$
同(2)可得$∠CAE=∠ABD.$
在$△ ABD$和$△ CAE$中,
$\begin{cases}∠ABD=∠CAE,\\∠BDA=∠AEC,\\AB=AC,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CAE(\mathrm{AAS}),$
$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ CAE}.$
设$△ ABC$的底边$BC$上的高为$h$,则$△ ABF$的底边$BF$上的高也为$h$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· h=12,S_{△ ABF}=\frac{1}{2}BF· h.$
$\because BC=3BF,\therefore S_{△ ABF}=4.$
$\because S_{△ ABF}=S_{△ BDF}+S_{△ ABD}=S_{△ FBD}+S_{△ ACE}=4,$
$\therefore △ FBD$与$△ ACE$的面积之和为4.
