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例1 用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 21；
(2)-0.000 785.
【思路导析】写成“$a × 10^{-n}$”的形式，其中a是整数位只有一位的数，n是左起第一个不为零的数字前面零的个数.
【请你解答】
(1)0.000 21；
(2)-0.000 785.
【思路导析】写成“$a × 10^{-n}$”的形式，其中a是整数位只有一位的数，n是左起第一个不为零的数字前面零的个数.
【请你解答】
答案
解：
(1) $0.00021 = 2.1×10^{-4}$
(2) $-0.000785 = -7.85×10^{-4}$
(1) $0.00021 = 2.1×10^{-4}$
(2) $-0.000785 = -7.85×10^{-4}$
解析
【分析】
要用科学记数法表示绝对值小于1的数，首先明确规则：这类数的科学记数法形式为$a × 10^{-n}$。第一步先确定$a$：需满足$1 ≤ |a| ＜ 10$，即$a$的整数位只有1位；第二步确定$n$：$n$等于原数左起第一个不为0的数字前面所有0的个数（包含小数点前的0）；如果原数是负数，最后在$a × 10^{-n}$前保留负号即可。
【解析】
(1) 对0.00021：左起第一个不为0的数字是2，它前面总共有4个0（含小数点前的0），因此取$a=2.1$，$n=4$，可得$0.00021 = 2.1× 10^{-4}$。
(2) 对-0.000785：先看其绝对值0.000785，左起第一个不为0的数字是7，它前面总共有4个0，因此取$a=7.85$，$n=4$，保留原数的负号，可得$-0.000785 = -7.85× 10^{-4}$。
【答案】
(1) $2.1× 10^{-4}$
(2) $-7.85× 10^{-4}$
【知识点】
科学记数法；负整数指数幂
【点评】
本题考查绝对值小于1的数的科学记数法表示，解题关键是准确确定$a$的取值和$n$的数值，注意负数表示时不要遗漏负号，属于基础规则应用题。
【难度系数】
0.8
要用科学记数法表示绝对值小于1的数，首先明确规则：这类数的科学记数法形式为$a × 10^{-n}$。第一步先确定$a$：需满足$1 ≤ |a| ＜ 10$，即$a$的整数位只有1位；第二步确定$n$：$n$等于原数左起第一个不为0的数字前面所有0的个数（包含小数点前的0）；如果原数是负数，最后在$a × 10^{-n}$前保留负号即可。
【解析】
(1) 对0.00021：左起第一个不为0的数字是2，它前面总共有4个0（含小数点前的0），因此取$a=2.1$，$n=4$，可得$0.00021 = 2.1× 10^{-4}$。
(2) 对-0.000785：先看其绝对值0.000785，左起第一个不为0的数字是7，它前面总共有4个0，因此取$a=7.85$，$n=4$，保留原数的负号，可得$-0.000785 = -7.85× 10^{-4}$。
【答案】
(1) $2.1× 10^{-4}$
(2) $-7.85× 10^{-4}$
【知识点】
科学记数法；负整数指数幂
【点评】
本题考查绝对值小于1的数的科学记数法表示，解题关键是准确确定$a$的取值和$n$的数值，注意负数表示时不要遗漏负号，属于基础规则应用题。
【难度系数】
0.8
例2 (1)芯片内部有数以亿计的晶体管,为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗,需要设计体积更小的晶体管.某品牌手机自主研发了最新型号芯片,其晶体管栅极的宽度为0.000 000 014米,将数据0.000 000 014用科学记数法表示为()
A. $1.4×10^{-8}$
B. $14×10^{-7}$
C. $0.14×10^{-6}$
D. $1.4×10^{-9}$
(2)1纳米为十亿分之一米,而人体中红细胞的直径约为0.000 007 7 m,那么人体中红细胞直径的纳米数用科学记数法表示为()
A. $7.7×10^{3}$ nm
B. $7.7×10^{2}$ nm
C. $7.7×10^{4}$ nm
D.以上都不对
【思路导析】(1)先确定$a$的值,再确定$n$的值.
(2)先单位换算,再确定$a,n$的值.
【请你解答】(1);(2).
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 幂的运算性质的综合运用
A. $1.4×10^{-8}$
B. $14×10^{-7}$
C. $0.14×10^{-6}$
D. $1.4×10^{-9}$
(2)1纳米为十亿分之一米,而人体中红细胞的直径约为0.000 007 7 m,那么人体中红细胞直径的纳米数用科学记数法表示为()
A. $7.7×10^{3}$ nm
B. $7.7×10^{2}$ nm
C. $7.7×10^{4}$ nm
D.以上都不对
【思路导析】(1)先确定$a$的值,再确定$n$的值.
(2)先单位换算,再确定$a,n$的值.
【请你解答】(1);(2).
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 幂的运算性质的综合运用
答案
解：
(1) 将0.000000014的小数点向右移动8位得到1.4，因此
$0.000000014=1.4×10^{-8}$，
故选A。
(2) 由题意可知，1纳米$=10^{-9}$米，因此换算单位得：
$0.0000077\ \mathrm{m} = 0.0000077÷10^{-9}\ \mathrm{nm}=7.7×10^{-6}×10^{9}\ \mathrm{nm}=7.7×10^{3}\ \mathrm{nm}$，
故选A。
(1) 将0.000000014的小数点向右移动8位得到1.4，因此
$0.000000014=1.4×10^{-8}$，
故选A。
(2) 由题意可知，1纳米$=10^{-9}$米，因此换算单位得：
$0.0000077\ \mathrm{m} = 0.0000077÷10^{-9}\ \mathrm{nm}=7.7×10^{-6}×10^{9}\ \mathrm{nm}=7.7×10^{3}\ \mathrm{nm}$，
故选A。
解析
【分析】
(1) 本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的正数，首先回忆科学记数法的书写规则：形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，n为整数。对于小于1的正数，n为负整数，n的绝对值等于把原数的小数点向右移动到第一个非零数字后，移动的总位数。解题时先确定符合要求的a值，再计算n的数值即可匹配选项。
(2) 本题结合单位换算考查科学记数法的应用，首先明确米和纳米的换算关系：1纳米$=10^{-9}$米，将米换算为纳米时，需用米的数值除以$10^{-9}$（等价于乘以$10^9$），再将运算结果整理为科学记数法的标准形式，对照选项判断即可。
【解析】
(1) 将0.000000014的小数点向右移动8位得到1.4，满足$1≤1.4＜10$的要求，因此$0.000000014=1.4×10^{-8}$，故选A。
(2) 由题意得1纳米$=10^{-9}$米，进行单位换算：
$0.0000077\ \mathrm{m} = 0.0000077÷10^{-9}\ \mathrm{nm}=7.7×10^{-6}×10^{9}\ \mathrm{nm}=7.7×10^{3}\ \mathrm{nm}$，故选A。
【答案】
(1)A；(2)A
【知识点】
科学记数法；负整数指数幂运算；单位换算
【点评】
两道题均为科学记数法的基础应用题型，第一题直接考查小于1的正数的科学记数法表示，第二题结合长度单位换算考查知识点的灵活运用，解题核心是熟练掌握科学记数法的书写规则和负整数指数幂的运算方法，做题时细心确认小数点移动位数即可得分。
【难度系数】
0.8
(1) 本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的正数，首先回忆科学记数法的书写规则：形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，n为整数。对于小于1的正数，n为负整数，n的绝对值等于把原数的小数点向右移动到第一个非零数字后，移动的总位数。解题时先确定符合要求的a值，再计算n的数值即可匹配选项。
(2) 本题结合单位换算考查科学记数法的应用，首先明确米和纳米的换算关系：1纳米$=10^{-9}$米，将米换算为纳米时，需用米的数值除以$10^{-9}$（等价于乘以$10^9$），再将运算结果整理为科学记数法的标准形式，对照选项判断即可。
【解析】
(1) 将0.000000014的小数点向右移动8位得到1.4，满足$1≤1.4＜10$的要求，因此$0.000000014=1.4×10^{-8}$，故选A。
(2) 由题意得1纳米$=10^{-9}$米，进行单位换算：
$0.0000077\ \mathrm{m} = 0.0000077÷10^{-9}\ \mathrm{nm}=7.7×10^{-6}×10^{9}\ \mathrm{nm}=7.7×10^{3}\ \mathrm{nm}$，故选A。
【答案】
(1)A；(2)A
【知识点】
科学记数法；负整数指数幂运算；单位换算
【点评】
两道题均为科学记数法的基础应用题型，第一题直接考查小于1的正数的科学记数法表示，第二题结合长度单位换算考查知识点的灵活运用，解题核心是熟练掌握科学记数法的书写规则和负整数指数幂的运算方法，做题时细心确认小数点移动位数即可得分。
【难度系数】
0.8
例3 已知$10^a=20,10^b=5^{-1}$,求$9^a ÷3^{2b}$的值.
【思路导析】
【示范解答】∵$10^a=20,10^b=5^{-1}$,
∴$\frac{10^a}{10^b}=10^{a-b}=\frac{20}{5^{-1}}=\frac{20}{\frac{1}{5}}=100$,即$10^{a-b}=10^2$.
∴$a-b=2$.
∴$9^a ÷3^{2b}=(3^2)^a ÷3^{2b}=3^{2a} ÷3^{2b}=3^{2(a-b)}$
$=3^{2×2}=3^4=81$.
【思路导析】
【示范解答】∵$10^a=20,10^b=5^{-1}$,
∴$\frac{10^a}{10^b}=10^{a-b}=\frac{20}{5^{-1}}=\frac{20}{\frac{1}{5}}=100$,即$10^{a-b}=10^2$.
∴$a-b=2$.
∴$9^a ÷3^{2b}=(3^2)^a ÷3^{2b}=3^{2a} ÷3^{2b}=3^{2(a-b)}$
$=3^{2×2}=3^4=81$.
答案
解：
∵$10^a=20$，$10^b=5^{-1}$，
∴$\frac{10^a}{10^b}=10^{a-b}=\frac{20}{5^{-1}}=\frac{20}{\frac{1}{5}}=100$，即$10^{a-b}=10^2$，
∴$a-b=2$。
∴$9^a ÷ 3^{2b}$
$=(3^2)^a ÷ 3^{2b}$
$=3^{2a} ÷ 3^{2b}$
$=3^{2a-2b}$
$=3^{2(a-b)}$
$=3^{2×2}$
$=3^4$
$=81$。
∵$10^a=20$，$10^b=5^{-1}$，
∴$\frac{10^a}{10^b}=10^{a-b}=\frac{20}{5^{-1}}=\frac{20}{\frac{1}{5}}=100$，即$10^{a-b}=10^2$，
∴$a-b=2$。
∴$9^a ÷ 3^{2b}$
$=(3^2)^a ÷ 3^{2b}$
$=3^{2a} ÷ 3^{2b}$
$=3^{2a-2b}$
$=3^{2(a-b)}$
$=3^{2×2}$
$=3^4$
$=81$。
解析
【分析】
解题时先从所求代数式入手，先统一底数：9是3的平方，因此可将$9^a$转化为以3为底的幂，再结合同底数幂的除法法则，将代数式化简为$3^{2(a-b)}$，可知只需算出$a-b$的值即可求解。再利用已知的$10^a$、$10^b$，根据同底数幂的除法法则计算$10^{a-b}$的值，结合幂相等时同底数的指数相等，即可求出$a-b$的值，最后代入化简后的代数式计算即可。
【解析】
∵$10^a=20$，$10^b=5^{-1}$，
∴$\frac{10^a}{10^b}=10^{a-b}=\frac{20}{5^{-1}}=\frac{20}{\frac{1}{5}}=100$，即$10^{a-b}=10^2$，
∴$a-b=2$。
∴$9^a ÷ 3^{2b}$
$=(3^2)^a ÷ 3^{2b}$
$=3^{2a} ÷ 3^{2b}$
$=3^{2a-2b}$
$=3^{2(a-b)}$
$=3^{2×2}$
$=3^4$
$=81$
【答案】
81
【知识点】
同底数幂的除法、幂的乘方、负整数指数幂
【点评】
本题是幂的运算的综合应用题型，解题的关键是建立已知条件和所求代数式之间的关联，通过化简所求式、推导$a-b$的值两步即可求解，能够很好地检验学生对幂的运算性质的掌握程度和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从所求代数式入手，先统一底数：9是3的平方，因此可将$9^a$转化为以3为底的幂，再结合同底数幂的除法法则，将代数式化简为$3^{2(a-b)}$，可知只需算出$a-b$的值即可求解。再利用已知的$10^a$、$10^b$，根据同底数幂的除法法则计算$10^{a-b}$的值，结合幂相等时同底数的指数相等，即可求出$a-b$的值，最后代入化简后的代数式计算即可。
【解析】
∵$10^a=20$，$10^b=5^{-1}$，
∴$\frac{10^a}{10^b}=10^{a-b}=\frac{20}{5^{-1}}=\frac{20}{\frac{1}{5}}=100$，即$10^{a-b}=10^2$，
∴$a-b=2$。
∴$9^a ÷ 3^{2b}$
$=(3^2)^a ÷ 3^{2b}$
$=3^{2a} ÷ 3^{2b}$
$=3^{2a-2b}$
$=3^{2(a-b)}$
$=3^{2×2}$
$=3^4$
$=81$
【答案】
81
【知识点】
同底数幂的除法、幂的乘方、负整数指数幂
【点评】
本题是幂的运算的综合应用题型，解题的关键是建立已知条件和所求代数式之间的关联，通过化简所求式、推导$a-b$的值两步即可求解，能够很好地检验学生对幂的运算性质的掌握程度和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
用科学记数法表示下列各数：
(1)0.003 009;(2)－0.000 010 96;
(3)0.000 329.
(1)0.003 009;(2)－0.000 010 96;
(3)0.000 329.
答案
解：
(1) $0.003009 = 3.009×10^{-3}$
(2) $-0.00001096 = -1.096×10^{-5}$
(3) $0.000329 = 3.29×10^{-4}$
(1) $0.003009 = 3.009×10^{-3}$
(2) $-0.00001096 = -1.096×10^{-5}$
(3) $0.000329 = 3.29×10^{-4}$
解析
【分析】
要把绝对值小于1的数用科学记数法表示，首先要明确其规范形式为$\boldsymbol{a×10^{-n}}$：一是要满足$1≤\vert a\vert＜10$，二是指数的绝对值n等于原数左边第一个不为0的数字前面所有0的个数（包含小数点前的0）；如果原数是负数，最终结果保留负号即可。接下来我们逐个数处理：先找每个数左起第一个非零数字，数它前面的0的个数确定n，再把原数改写为符合要求的a的形式，最后组合得到结果即可。
【解析】
绝对值小于1的数用科学记数法表示的一般形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤\vert a\vert＜10$，n为原数左起第一个不为零的数字前面所有0的个数（含小数点前的0）。
(1) 对0.003009，左起第一个非零数字是3，它前面共有3个0，因此n=3，$a=3.009$，可得$0.003009=3.009×10^{-3}$；
(2) 对-0.00001096，先保留负号，数字部分左起第一个非零数字是1，它前面共有5个0，因此n=5，$a=1.096$，可得$-0.00001096=-1.096×10^{-5}$；
(3) 对0.000329，左起第一个非零数字是3，它前面共有4个0，因此n=4，$a=3.29$，可得$0.000329=3.29×10^{-4}$。
【答案】
(1) $3.009×10^{-3}$
(2) $-1.096×10^{-5}$
(3) $3.29×10^{-4}$
【知识点】
1. 科学记数法
2. 负整数指数幂
【点评】
本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，解题核心是准确确定a的取值和指数n的数值，注意负数表示时不要遗漏负号，属于基础题型，熟练掌握规则即可快速求解。
【难度系数】
0.85
要把绝对值小于1的数用科学记数法表示，首先要明确其规范形式为$\boldsymbol{a×10^{-n}}$：一是要满足$1≤\vert a\vert＜10$，二是指数的绝对值n等于原数左边第一个不为0的数字前面所有0的个数（包含小数点前的0）；如果原数是负数，最终结果保留负号即可。接下来我们逐个数处理：先找每个数左起第一个非零数字，数它前面的0的个数确定n，再把原数改写为符合要求的a的形式，最后组合得到结果即可。
【解析】
绝对值小于1的数用科学记数法表示的一般形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤\vert a\vert＜10$，n为原数左起第一个不为零的数字前面所有0的个数（含小数点前的0）。
(1) 对0.003009，左起第一个非零数字是3，它前面共有3个0，因此n=3，$a=3.009$，可得$0.003009=3.009×10^{-3}$；
(2) 对-0.00001096，先保留负号，数字部分左起第一个非零数字是1，它前面共有5个0，因此n=5，$a=1.096$，可得$-0.00001096=-1.096×10^{-5}$；
(3) 对0.000329，左起第一个非零数字是3，它前面共有4个0，因此n=4，$a=3.29$，可得$0.000329=3.29×10^{-4}$。
【答案】
(1) $3.009×10^{-3}$
(2) $-1.096×10^{-5}$
(3) $3.29×10^{-4}$
【知识点】
1. 科学记数法
2. 负整数指数幂
【点评】
本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，解题核心是准确确定a的取值和指数n的数值，注意负数表示时不要遗漏负号，属于基础题型，熟练掌握规则即可快速求解。
【难度系数】
0.85
