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10.已知$-\dfrac{1}{5}x^2y^{m+1}+xy^2-3x^2-6$是关于$x,y$的六次四项式，关于$x,y$的单项式$3x^{2n}y^{5-m}$与该多项式的次数相同，求$m,n.$
答案
10.由$2+(m+1)=6$,得$m=3$.
由$2n+(5-m)=6$,得$n=2$.
由$2n+(5-m)=6$,得$n=2$.
解析
【分析】
解题时首先明确两个核心概念：①多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数；②单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和。首先根据多项式是六次四项式，判断出最高次项为$-\dfrac{1}{5}x^2y^{m+1}$，令该项的次数等于6，即可求出$m$的值；再根据单项式与多项式次数相同，令单项式的次数等于6，代入已求出的$m$值，就能求出$n$的值。
【解析】
第一步：求$m$的值
已知多项式$-\dfrac{1}{5}x^2y^{m+1}+xy^2-3x^2-6$是六次四项式，其最高次项为$-\dfrac{1}{5}x^2y^{m+1}$，该项的次数为$2+(m+1)$，根据多项式次数为6可得：
$2+(m+1)=6$
化简得：$m+3=6$
解得：$m=3$
第二步：求$n$的值
已知单项式$3x^{2n}y^{5-m}$的次数与多项式的次数相同，即次数为6，单项式的次数为$2n+(5-m)$，将$m=3$代入可得：
$2n+(5-3)=6$
化简得：$2n+2=6$
移项计算得：$2n=4$
解得：$n=2$
【答案】
$m=3$，$n=2$
【知识点】
多项式的次数、单项式的次数、一元一次方程求解
【点评】
本题核心考查整式相关概念的应用，解题关键是准确区分多项式次数和单项式次数的定义，结合题意列方程求解即可，只要概念掌握牢固，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确两个核心概念：①多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数；②单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和。首先根据多项式是六次四项式，判断出最高次项为$-\dfrac{1}{5}x^2y^{m+1}$，令该项的次数等于6，即可求出$m$的值；再根据单项式与多项式次数相同，令单项式的次数等于6，代入已求出的$m$值，就能求出$n$的值。
【解析】
第一步：求$m$的值
已知多项式$-\dfrac{1}{5}x^2y^{m+1}+xy^2-3x^2-6$是六次四项式，其最高次项为$-\dfrac{1}{5}x^2y^{m+1}$，该项的次数为$2+(m+1)$，根据多项式次数为6可得：
$2+(m+1)=6$
化简得：$m+3=6$
解得：$m=3$
第二步：求$n$的值
已知单项式$3x^{2n}y^{5-m}$的次数与多项式的次数相同，即次数为6，单项式的次数为$2n+(5-m)$，将$m=3$代入可得：
$2n+(5-3)=6$
化简得：$2n+2=6$
移项计算得：$2n=4$
解得：$n=2$
【答案】
$m=3$，$n=2$
【知识点】
多项式的次数、单项式的次数、一元一次方程求解
【点评】
本题核心考查整式相关概念的应用，解题关键是准确区分多项式次数和单项式次数的定义，结合题意列方程求解即可，只要概念掌握牢固，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
11.如图,某养鸡场有一段旧围栏,现打算利用该围栏的一部分为一边,再用100 m 的新围栏围建一个矩形的养鸡场地.设矩形场地的一边长为 x m,请用含 x 的代数式表示该矩形场地的面积.
答案
11.$x(100-2x)\ \mathrm{m}^2$
解析
【分析】
解题时首先观察图形明确围栏的构成：矩形养鸡场的一边借助旧围栏，仅另外三边用新围栏搭建。已知垂直于旧围栏的边长为x m，可先计算出两条垂直边的总长度，再用新围栏的总长度减去两条垂直边的长度，得到平行于旧围栏的边的长度，最后根据矩形面积=长×宽，即可列出面积的代数式。
【解析】
解：由图可知，矩形垂直于旧围栏的边长为x m，因此两条垂直边的总长度为2x m。
已知新围栏总长度为100 m，因此平行于旧围栏的边长为：$100 - 2x$（m）
根据矩形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得养鸡场面积为：
$x × (100 - 2x) = x(100-2x)\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$x(100-2x)\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
列代数式；矩形面积计算；用字母表示数
【点评】
本题是实际场景下的代数式应用问题，解题的关键是结合图形确定新围栏对应矩形的边数，避免误算为四边都需要新围栏，理清各边的长度关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形明确围栏的构成：矩形养鸡场的一边借助旧围栏，仅另外三边用新围栏搭建。已知垂直于旧围栏的边长为x m，可先计算出两条垂直边的总长度，再用新围栏的总长度减去两条垂直边的长度，得到平行于旧围栏的边的长度，最后根据矩形面积=长×宽，即可列出面积的代数式。
【解析】
解：由图可知，矩形垂直于旧围栏的边长为x m，因此两条垂直边的总长度为2x m。
已知新围栏总长度为100 m，因此平行于旧围栏的边长为：$100 - 2x$（m）
根据矩形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得养鸡场面积为：
$x × (100 - 2x) = x(100-2x)\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$x(100-2x)\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
列代数式；矩形面积计算；用字母表示数
【点评】
本题是实际场景下的代数式应用问题，解题的关键是结合图形确定新围栏对应矩形的边数，避免误算为四边都需要新围栏，理清各边的长度关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
12.为增强人们的节水意识，某市实行阶梯式水价：每户每月用水在$8\ \mathrm{m}^3$以内（含$8\ \mathrm{m}^3$），价格为$1.5$元/$\mathrm{m}^3$，超出部分按$3$元/$\mathrm{m}^3$收费.已知小华家上个月用水$a\ \mathrm{m}^3$（超过$8\ \mathrm{m}^3$），那么小华家上个月应交水费多少元（用含$a$的代数式表示）？
答案
12.$8×1.5+3(a-8)=(3a-12)$元.
解析
【分析】
本题是阶梯计费类的代数式应用题，解题时首先要明确收费规则：因为用水量a超过$8\ \mathrm{m}^3$，所以水费分为两部分计算，①$8\ \mathrm{m}^3$以内的部分，按1.5元/$\mathrm{m}^3$收费；②超出$8\ \mathrm{m}^3$的部分，按3元/$\mathrm{m}^3$收费。我们先分别计算两部分的费用，再把两部分费用相加，最后化简代数式即可得到总水费。
【解析】
第一步：计算$8\ \mathrm{m}^3$以内的水费：$8 × 1.5 = 12$（元）
第二步：计算超出$8\ \mathrm{m}^3$部分的水费：超出水量为$(a-8)\ \mathrm{m}^3$，对应费用为$3(a-8)$元
第三步：总水费为两部分费用之和，化简代数式：
$\begin{aligned}&12 + 3(a-8)\\=&12 + 3a - 24\\=&3a - 12\end{aligned}$
【答案】
$(3a-12)$元
【知识点】
列代数式；整式的加减；分段计费
【点评】
本题重点考查分段计费场景下的代数式列写与化简，解题的核心是拆分不同收费标准对应的水量，分别计算费用后求和，题目已明确用水量超过$8\ \mathrm{m}^3$，无需额外分类讨论，计算时注意去括号的运算规则即可。
【难度系数】
0.8
本题是阶梯计费类的代数式应用题，解题时首先要明确收费规则：因为用水量a超过$8\ \mathrm{m}^3$，所以水费分为两部分计算，①$8\ \mathrm{m}^3$以内的部分，按1.5元/$\mathrm{m}^3$收费；②超出$8\ \mathrm{m}^3$的部分，按3元/$\mathrm{m}^3$收费。我们先分别计算两部分的费用，再把两部分费用相加，最后化简代数式即可得到总水费。
【解析】
第一步：计算$8\ \mathrm{m}^3$以内的水费：$8 × 1.5 = 12$（元）
第二步：计算超出$8\ \mathrm{m}^3$部分的水费：超出水量为$(a-8)\ \mathrm{m}^3$，对应费用为$3(a-8)$元
第三步：总水费为两部分费用之和，化简代数式：
$\begin{aligned}&12 + 3(a-8)\\=&12 + 3a - 24\\=&3a - 12\end{aligned}$
【答案】
$(3a-12)$元
【知识点】
列代数式；整式的加减；分段计费
【点评】
本题重点考查分段计费场景下的代数式列写与化简，解题的核心是拆分不同收费标准对应的水量，分别计算费用后求和，题目已明确用水量超过$8\ \mathrm{m}^3$，无需额外分类讨论，计算时注意去括号的运算规则即可。
【难度系数】
0.8
13.请至少写出两个只含有字母$x,y$的多项式，且满足下列条件：
①六次三项式；②每一项的系数均为1或－1；③不含常数项；④每一项必须同时含有字母$x,y$，但不能含有其他字母。
①六次三项式；②每一项的系数均为1或－1；③不含常数项；④每一项必须同时含有字母$x,y$，但不能含有其他字母。
答案
13.此题答案不唯一,如:$x^3y^3-x^2y^4+xy^5$.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以逐一对应题目给出的条件，一步步构造符合要求的多项式：首先“三项式”说明我们需要写出3个单项式相加或相减；其次“六次”说明这3个单项式中最高次项的次数是6，单项式的次数是所有字母的指数和，且要求每一项同时含x、y，因此每个单项式的x指数≥1、y指数≥1，二者相加的和最高为6；另外每一项系数只能是1或-1，即每个单项式前只能带正号或负号，数字因数不能是其他数；最后不含常数项，也就是不能出现不含x、y的单独数字项。只要凑出3个符合上述要求的单项式组合即可，答案不唯一。
【解析】
我们根据条件逐步构造：
1. 确定项的基本要求：共3个单项式，无常数项，每个单项式必须同时含x、y，无其他字母；
2. 确定次数要求：每个单项式中x的指数加y的指数的和最高为6，保证多项式是六次多项式，且每个单项式的x、y指数均不小于1；
3. 确定系数要求：每个单项式的系数为1或-1。
示例构造过程：
①第一个项取$x^3y^3$：x指数为3，y指数为3，次数$3+3=6$，系数为1，同时含x、y，符合要求；
②第二个项取$-x^2y^4$：x指数为2，y指数为4，次数$2+4=6$，系数为-1，同时含x、y，符合要求；
③第三个项取$xy^5$：x指数为1，y指数为5，次数$1+5=6$，系数为1，同时含x、y，符合要求。
将三个项组合即可得到符合所有条件的多项式，也可构造其他满足要求的结果。
【答案】
此题答案不唯一,如:$x^3y^3-x^2y^4+xy^5$
【知识点】
多项式的相关概念、单项式的次数与系数
【点评】
这是一道开放性试题，核心考查整式相关基础概念的掌握，只要准确理解多项式的次数、项数，以及单项式的系数、次数的定义，就能轻松构造出符合要求的结果，答案不固定。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以逐一对应题目给出的条件，一步步构造符合要求的多项式：首先“三项式”说明我们需要写出3个单项式相加或相减；其次“六次”说明这3个单项式中最高次项的次数是6，单项式的次数是所有字母的指数和，且要求每一项同时含x、y，因此每个单项式的x指数≥1、y指数≥1，二者相加的和最高为6；另外每一项系数只能是1或-1，即每个单项式前只能带正号或负号，数字因数不能是其他数；最后不含常数项，也就是不能出现不含x、y的单独数字项。只要凑出3个符合上述要求的单项式组合即可，答案不唯一。
【解析】
我们根据条件逐步构造：
1. 确定项的基本要求：共3个单项式，无常数项，每个单项式必须同时含x、y，无其他字母；
2. 确定次数要求：每个单项式中x的指数加y的指数的和最高为6，保证多项式是六次多项式，且每个单项式的x、y指数均不小于1；
3. 确定系数要求：每个单项式的系数为1或-1。
示例构造过程：
①第一个项取$x^3y^3$：x指数为3，y指数为3，次数$3+3=6$，系数为1，同时含x、y，符合要求；
②第二个项取$-x^2y^4$：x指数为2，y指数为4，次数$2+4=6$，系数为-1，同时含x、y，符合要求；
③第三个项取$xy^5$：x指数为1，y指数为5，次数$1+5=6$，系数为1，同时含x、y，符合要求。
将三个项组合即可得到符合所有条件的多项式，也可构造其他满足要求的结果。
【答案】
此题答案不唯一,如:$x^3y^3-x^2y^4+xy^5$
【知识点】
多项式的相关概念、单项式的次数与系数
【点评】
这是一道开放性试题，核心考查整式相关基础概念的掌握，只要准确理解多项式的次数、项数，以及单项式的系数、次数的定义，就能轻松构造出符合要求的结果，答案不固定。
【难度系数】
0.7
