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例1 $(-2)^4$ 的底数是，指数是，它表示的意义是。
【思路导析】由乘方的定义解答。
【请你解答】
【思路导析】由乘方的定义解答。
【请你解答】
答案
解：$(-2)^4$的底数是$\boldsymbol{-2}$，指数是$\boldsymbol{4}$，它表示的意义是$\boldsymbol{4个(-2)相乘}$。
解析
【分析】
解题时先回忆乘方的相关定义：乘方的形式为$a^n$，其中$a$是底数，$n$是指数，代表$n$个$a$相乘。解答本题首先观察式子$(-2)^4$的结构，负号在括号内，说明底数是括号内的整体，再找到右上角的指数，最后根据乘方的意义写出对应的含义即可，注意要和不带括号的$-2^4$区分。
【解析】
根据乘方的定义：求$n$个相同因数乘积的运算叫做乘方，记作$a^n$，其中$a$叫做底数，$n$叫做指数，$a^n$表示的意义是$n$个$a$相乘。
对于$(-2)^4$，括号把$-2$括为一个整体，因此底数为$-2$，右上角的数字为4，即指数是4，它表示的意义是4个$(-2)$相乘。
【答案】
$-2$；$4$；$4个(-2)相乘$
【知识点】
乘方的定义；乘方各部分名称
【点评】
本题是乘方的基础概念题，重点考查对乘方含义的理解，解题时需注意带负号的乘方中，负号是否在括号内直接决定了底数的取值，要避免混淆带括号和不带括号的负数乘方的底数。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆乘方的相关定义：乘方的形式为$a^n$，其中$a$是底数，$n$是指数，代表$n$个$a$相乘。解答本题首先观察式子$(-2)^4$的结构，负号在括号内，说明底数是括号内的整体，再找到右上角的指数，最后根据乘方的意义写出对应的含义即可，注意要和不带括号的$-2^4$区分。
【解析】
根据乘方的定义：求$n$个相同因数乘积的运算叫做乘方，记作$a^n$，其中$a$叫做底数，$n$叫做指数，$a^n$表示的意义是$n$个$a$相乘。
对于$(-2)^4$，括号把$-2$括为一个整体，因此底数为$-2$，右上角的数字为4，即指数是4，它表示的意义是4个$(-2)$相乘。
【答案】
$-2$；$4$；$4个(-2)相乘$
【知识点】
乘方的定义；乘方各部分名称
【点评】
本题是乘方的基础概念题，重点考查对乘方含义的理解，解题时需注意带负号的乘方中，负号是否在括号内直接决定了底数的取值，要避免混淆带括号和不带括号的负数乘方的底数。
【难度系数】
0.9
例2 判断下列各式的符号：
(1)$3^3$； (2)$(-\dfrac{1}{2})^3$； (3)$-(-2)^2$.
【思路导析】正数的任何次幂是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
(1)$3^3$； (2)$(-\dfrac{1}{2})^3$； (3)$-(-2)^2$.
【思路导析】正数的任何次幂是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
(1) ∵3是正数，正数的任何次幂都是正数，
∴$3^3$的符号为正。
(2) ∵$-\frac{1}{2}$是负数，指数3是奇数，负数的奇次幂是负数，
∴$(-\frac{1}{2})^3$的符号为负。
(3) ∵-2是负数，指数2是偶数，负数的偶次幂是正数，
∴$(-2)^2$是正数，正数的相反数是负数，
∴$-(-2)^2$的符号为负。
(1) ∵3是正数，正数的任何次幂都是正数，
∴$3^3$的符号为正。
(2) ∵$-\frac{1}{2}$是负数，指数3是奇数，负数的奇次幂是负数，
∴$(-\frac{1}{2})^3$的符号为负。
(3) ∵-2是负数，指数2是偶数，负数的偶次幂是正数，
∴$(-2)^2$是正数，正数的相反数是负数，
∴$-(-2)^2$的符号为负。
解析
【分析】
判断乘方相关式子的符号，核心依据是乘方的符号法则，解题步骤可分为三步：第一步先确定乘方运算的底数是正数还是负数；第二步看指数是奇数还是偶数，结合“正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂为负、偶次幂为正”判断乘方本身的符号；第三步如果式子中乘方外还有负号，再结合相反数的性质判断整个式子的符号，按这个思路逐个分析三个式子即可。
【解析】
(1)
∵3是正数，正数的任何次幂都是正数，
∴$3^3$的符号为正。
(2)
∵$-\frac{1}{2}$是负数，指数3是奇数，负数的奇次幂是负数，
∴$(-\frac{1}{2})^3$的符号为负。
(3)
∵-2是负数，指数2是偶数，负数的偶次幂是正数，
∴$(-2)^2$是正数，正数的相反数是负数，
∴$-(-2)^2$的符号为负。
【答案】
(1)正；(2)负；(3)负
【知识点】
乘方的符号法则，有理数乘方运算，相反数的性质
【点评】
本题是乘方的基础题型，解题的易错点是容易把乘方外的负号误计入底数，只要先明确底数的正负和指数的奇偶性，牢记乘方的符号规律，就能快速准确判断结果。
【难度系数】
0.9
判断乘方相关式子的符号，核心依据是乘方的符号法则，解题步骤可分为三步：第一步先确定乘方运算的底数是正数还是负数；第二步看指数是奇数还是偶数，结合“正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂为负、偶次幂为正”判断乘方本身的符号；第三步如果式子中乘方外还有负号，再结合相反数的性质判断整个式子的符号，按这个思路逐个分析三个式子即可。
【解析】
(1)
∵3是正数，正数的任何次幂都是正数，
∴$3^3$的符号为正。
(2)
∵$-\frac{1}{2}$是负数，指数3是奇数，负数的奇次幂是负数，
∴$(-\frac{1}{2})^3$的符号为负。
(3)
∵-2是负数，指数2是偶数，负数的偶次幂是正数，
∴$(-2)^2$是正数，正数的相反数是负数，
∴$-(-2)^2$的符号为负。
【答案】
(1)正；(2)负；(3)负
【知识点】
乘方的符号法则，有理数乘方运算，相反数的性质
【点评】
本题是乘方的基础题型，解题的易错点是容易把乘方外的负号误计入底数，只要先明确底数的正负和指数的奇偶性，牢记乘方的符号规律，就能快速准确判断结果。
【难度系数】
0.9
例3 计算下列各式：
(1)$(-\dfrac{4}{3})^3$；
(2)$-3^3$；
(3)$-3^2+(-3)^2$；
(4)$(1\dfrac{1}{2})^2+(-\dfrac{1}{2})^3$.
【思路导析】由乘方的意义把乘方转化为乘法.(3)中要注意底数的区别,(4)中$(1\dfrac{1}{2})^2$应化为$(\dfrac{3}{2})^2$.
【规范解答】
(1)$(-\dfrac{4}{3})^3=(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{4}{3})=-\dfrac{64}{27}$.
(2)$-3^3=-(3×3×3)=-27$.
(3)$-3^2+(-3)^2=-(3×3)+(-3)×(-3)=-9+9=0$.
(4)$(1\dfrac{1}{2})^2+(-\dfrac{1}{2})^3=(\dfrac{3}{2})^2+(-\dfrac{1}{2})^3=\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{17}{8}=2\dfrac{1}{8}$.
(1)$(-\dfrac{4}{3})^3$；
(2)$-3^3$；
(3)$-3^2+(-3)^2$；
(4)$(1\dfrac{1}{2})^2+(-\dfrac{1}{2})^3$.
【思路导析】由乘方的意义把乘方转化为乘法.(3)中要注意底数的区别,(4)中$(1\dfrac{1}{2})^2$应化为$(\dfrac{3}{2})^2$.
【规范解答】
(1)$(-\dfrac{4}{3})^3=(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{4}{3})=-\dfrac{64}{27}$.
(2)$-3^3=-(3×3×3)=-27$.
(3)$-3^2+(-3)^2=-(3×3)+(-3)×(-3)=-9+9=0$.
(4)$(1\dfrac{1}{2})^2+(-\dfrac{1}{2})^3=(\dfrac{3}{2})^2+(-\dfrac{1}{2})^3=\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{17}{8}=2\dfrac{1}{8}$.
答案
解：
(1) $(-\dfrac{4}{3})^3=(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{4}{3})=-\dfrac{64}{27}$
(2) $-3^3=-(3×3×3)=-27$
(3) $-3^2+(-3)^2=-(3×3)+(-3)×(-3)=-9+9=0$
(4) $(1\dfrac{1}{2})^2+(-\dfrac{1}{2})^3=(\dfrac{3}{2})^2+(-\dfrac{1}{2})^3=\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{17}{8}=2\dfrac{1}{8}$
(1) $(-\dfrac{4}{3})^3=(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{4}{3})=-\dfrac{64}{27}$
(2) $-3^3=-(3×3×3)=-27$
(3) $-3^2+(-3)^2=-(3×3)+(-3)×(-3)=-9+9=0$
(4) $(1\dfrac{1}{2})^2+(-\dfrac{1}{2})^3=(\dfrac{3}{2})^2+(-\dfrac{1}{2})^3=\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{17}{8}=2\dfrac{1}{8}$
解析
【分析】
解题时先依据乘方的意义（n个相同因数乘积的运算）将乘方运算转化为乘法运算，再按照有理数运算规则计算。需注意：①区分负号在括号内和括号外的乘方的底数：如$-3^n$的底数是3，$(-3)^n$的底数是-3；②带分数进行乘方运算时，要先化成假分数再计算；③混合运算先算乘方，再算加减。逐个分析小题：(1)是3个$-\dfrac{4}{3}$相乘，负因数个数为奇数，结果为负，分子分母分别乘方；(2)是3的三次方的相反数，先算$3^3$再添负号；(3)分别计算两个乘方后再求和，注意两个乘方的底数不同；(4)先把带分数$1\dfrac{1}{2}$化为假分数$\dfrac{3}{2}$，再分别计算两个乘方，通分后求和。
【解析】
(1) $(-\dfrac{4}{3})^3=(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{4}{3})=-\dfrac{64}{27}$
(2) $-3^3=-(3×3×3)=-27$
(3) $-3^2+(-3)^2=-(3×3)+(-3)×(-3)=-9+9=0$
(4) $(1\dfrac{1}{2})^2+(-\dfrac{1}{2})^3=(\dfrac{3}{2})^2+(-\dfrac{1}{2})^3=\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{17}{8}=2\dfrac{1}{8}$
【答案】
(1) $-\dfrac{64}{27}$；(2) $-27$；(3) $0$；(4) $\dfrac{17}{8}$（或$2\dfrac{1}{8}$）
【知识点】
乘方的意义，有理数乘方运算，有理数混合运算
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，核心易错点是区分含负号的乘方的底数，以及带分数乘方的预处理，熟练掌握乘方定义和运算规则即可正确求解。
【难度系数】
0.8
解题时先依据乘方的意义（n个相同因数乘积的运算）将乘方运算转化为乘法运算，再按照有理数运算规则计算。需注意：①区分负号在括号内和括号外的乘方的底数：如$-3^n$的底数是3，$(-3)^n$的底数是-3；②带分数进行乘方运算时，要先化成假分数再计算；③混合运算先算乘方，再算加减。逐个分析小题：(1)是3个$-\dfrac{4}{3}$相乘，负因数个数为奇数，结果为负，分子分母分别乘方；(2)是3的三次方的相反数，先算$3^3$再添负号；(3)分别计算两个乘方后再求和，注意两个乘方的底数不同；(4)先把带分数$1\dfrac{1}{2}$化为假分数$\dfrac{3}{2}$，再分别计算两个乘方，通分后求和。
【解析】
(1) $(-\dfrac{4}{3})^3=(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{4}{3})=-\dfrac{64}{27}$
(2) $-3^3=-(3×3×3)=-27$
(3) $-3^2+(-3)^2=-(3×3)+(-3)×(-3)=-9+9=0$
(4) $(1\dfrac{1}{2})^2+(-\dfrac{1}{2})^3=(\dfrac{3}{2})^2+(-\dfrac{1}{2})^3=\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{17}{8}=2\dfrac{1}{8}$
【答案】
(1) $-\dfrac{64}{27}$；(2) $-27$；(3) $0$；(4) $\dfrac{17}{8}$（或$2\dfrac{1}{8}$）
【知识点】
乘方的意义，有理数乘方运算，有理数混合运算
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，核心易错点是区分含负号的乘方的底数，以及带分数乘方的预处理，熟练掌握乘方定义和运算规则即可正确求解。
【难度系数】
0.8
变式探究
当$a＜0$时，有下列四个结论：①$a^2＞0$；②$a^2=(-a)^2$；③$a^2＞a^3$；④$a^3=-a^3$。其中一定正确的有（填序号）。
当$a＜0$时，有下列四个结论：①$a^2＞0$；②$a^2=(-a)^2$；③$a^2＞a^3$；④$a^3=-a^3$。其中一定正确的有（填序号）。
答案
解：
已知$a＜0$，
① 根据乘方的意义，负数的平方是正数，因此$a^2＞0$，结论正确；
② $(-a)^2=(-a)×(-a)=a^2$，因此$a^2=(-a)^2$，结论正确；
③ 由$a＜0$得$a^2＞0$，$a^3＜0$，正数大于负数，因此$a^2＞a^3$，结论正确；
④ 当$a＜0$时，$a^3＜0$，$-a^3＞0$，显然$a^3≠ -a^3$，结论错误。
其中一定正确的有$\boldsymbol{①②③}$。
已知$a＜0$，
① 根据乘方的意义，负数的平方是正数，因此$a^2＞0$，结论正确；
② $(-a)^2=(-a)×(-a)=a^2$，因此$a^2=(-a)^2$，结论正确；
③ 由$a＜0$得$a^2＞0$，$a^3＜0$，正数大于负数，因此$a^2＞a^3$，结论正确；
④ 当$a＜0$时，$a^3＜0$，$-a^3＞0$，显然$a^3≠ -a^3$，结论错误。
其中一定正确的有$\boldsymbol{①②③}$。
解析
【分析】
解题时先明确已知条件$a＜0$，即$a$为负数，结合乘方的符号规律（负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数），逐个对四个结论进行判断即可。首先判断①：负数的平方是正数，可直接判断正误；判断②：将$(-a)^2$展开计算，对比$a^2$即可；判断③：分别判断$a^2$和$a^3$的正负，根据正数大于负数即可判断；判断④：分别判断$a^3$和$-a^3$的正负，即可判断二者是否相等。
【解析】
已知$a＜0$，
① 根据乘方的意义，负数的平方是正数，因此$a^2＞0$，结论正确；
② $(-a)^2=(-a)×(-a)=a^2$，因此$a^2=(-a)^2$，结论正确；
③ 由$a＜0$得$a^2＞0$，$a^3＜0$，正数大于负数，因此$a^2＞a^3$，结论正确；
④ 当$a＜0$时，$a^3＜0$，$-a^3＞0$，显然$a^3≠ -a^3$，结论错误。
【答案】
$\boldsymbol{①②③}$
【知识点】
乘方的意义；有理数大小比较；乘方的符号规律
【点评】
本题考查乘方的相关性质，解题的关键是熟练掌握负数的乘方符号规律，结合已知条件逐一分析判断，解题时注意不要忽略$a＜0$的前提。
【难度系数】
0.8
解题时先明确已知条件$a＜0$，即$a$为负数，结合乘方的符号规律（负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数），逐个对四个结论进行判断即可。首先判断①：负数的平方是正数，可直接判断正误；判断②：将$(-a)^2$展开计算，对比$a^2$即可；判断③：分别判断$a^2$和$a^3$的正负，根据正数大于负数即可判断；判断④：分别判断$a^3$和$-a^3$的正负，即可判断二者是否相等。
【解析】
已知$a＜0$，
① 根据乘方的意义，负数的平方是正数，因此$a^2＞0$，结论正确；
② $(-a)^2=(-a)×(-a)=a^2$，因此$a^2=(-a)^2$，结论正确；
③ 由$a＜0$得$a^2＞0$，$a^3＜0$，正数大于负数，因此$a^2＞a^3$，结论正确；
④ 当$a＜0$时，$a^3＜0$，$-a^3＞0$，显然$a^3≠ -a^3$，结论错误。
【答案】
$\boldsymbol{①②③}$
【知识点】
乘方的意义；有理数大小比较；乘方的符号规律
【点评】
本题考查乘方的相关性质，解题的关键是熟练掌握负数的乘方符号规律，结合已知条件逐一分析判断，解题时注意不要忽略$a＜0$的前提。
【难度系数】
0.8
